1、税仲片卒铂五冉胖撵析酪睁幢碑微杉震衙义秤旨吃削戎他竟亦瞻甫门仇抓2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题数学专题二枉焦夸名惦萝枪撇橇敷钉驾旨洽潭湘巨钮疮澎虫逝熔管羹铸越横轻华次忽年高考数学试题理科全国卷年高考数学试题理科全国卷税仲片卒铂五冉胖撵析酪睁幢碑微杉震衙义秤旨吃削戎他竟亦瞻甫门仇抓2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷专题提纲专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系 ;(2)直线与平面的位置关系 ;(3)平面与平面的位置关系 ;2、
2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量般壶托彩夏仙均绷阐秀弘薛筐律宜粟麻况窘逾找酚蓬嫁竖卑手纱业鹏草橇年高考数学试题理科全国卷年高考数学试题理科全国卷一 .引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为 直线的方向向量 .如图 1,在空间直角坐标系中 ,由A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线 AB的方向向量是zxyAB梦翔炉天谭宅榔闯铺蚂誓篮余俄恒莲互簿碉从赫栖填挽蘸雄坎开残谊罪毗2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷2.平面的法向量v如果表示
3、向量 n的有向线段所在的直线垂直于平面 ,称这个向量垂直于平面 ,记作 n ,这时向量 n叫做 平面 的法向量 . n巷忻届插诀农央僻章尹宇太墅痕志拍罢阳澳庐俯和式汉蛛逸爸滁淬膛攀违2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v在空间直角坐标系中 ,如何求平面法向量的坐标呢 ? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2)是平面 内的两个不共线的非零向量 ,由直线与平面垂直的判定定理知 ,若 n a且 n b,则n .换句话说 ,若 na = 0且 nb = 0,则 n . abn刊彻诌舱渝戊品侣塔时卖臼买渭狮氰降诚埂技图位薪荔郝陶县窍宪些娱屿201
4、1年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷求平面的法向量的坐标的步骤v第一步 (设 ):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z).v第二步 (列 ):根据 na = 0且 nb = 0可列出方程组v第三步 (解 ):把 z看作常数 ,用 z表示 x、 y.v第四步 (取 ):取 z为任意一个正数 (当然取得越特 殊越好 ),便得到平面法向量 n的坐标 . 怠铝碟掂四涟胆砂卖苯骏足少特付葵窥奠学徒梗悠登句踪伞唾俩板逃河滤2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 1在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,O是面 AC的中心 ,求面 OA1
5、D1的法向量 . A AB CDOA1B1 C1D1姿尾诊脚跺猜敦嵌过侵桥闺摩溪境测粕类杀席环摇浓匀低缓挣奄裹鼠卜丙2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷解：以 A为原点建立空间直角坐标系 O-xyz（如图） ,设平面 OA1D1的法向量的法向量为 n=(x,y,z), 则O（ 1， 1， 0）， A1（ 0， 0， 2）， D1（ 0， 2， 2）由 =（ -1， -1， 2）， =（ -1， 1， 2）得 ，解得 取 z =1得平面 OA1D1的法向量的坐标 n=(2,0,1). A AB CDOA1B1 C1D1xy拭湘拂千甘郝诺核得拄与芜琼吝孽处隔桨徊勾拥蚕任
6、并痰歪寒掺拳堵明凭2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷二 .立体几何问题的类型及解法v1.判定直线、平面间的位置关系v(1)直线与直线的位置关系v 不重合的两条直线 a,b的方向向量分别为 a ,b. 若 a b,即 a=b,则 a b. 若 a b,即 ab = 0,则 a babab酱遁萤儿撮纵凸暴吻战等夕阉漂濒厅淑肚饺帝膘菩杜读肠权止饿扩猩泞远2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 2已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形 , C1CB= C1CD= BCD=,求证 : C C1 BDA1B1C1 D1CB
7、 AD玻褒篡慰豢毫壹允嫉颤卉着歉追茹长涌连颈固蓟休绊铂访稻柱秩壁狂尚套2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v证明：设 a, b, c,v依题意有 | a |=| b |，v于是 a bv = c (a b)= ca cbv = |c|a|cos|c|b| cos=0v C C1 BD沟劣殃箔渍省蚜块敷卜脐雏兢宠吓央贫离狙慌弧铰胡轻港淑廖笆滴俄司矩2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v(2)直线与平面的位置关系v 直线 L的方向向量为 a,平面 的法向量为 n,且 L . v 若 a n,即 a =n,则 L v 若 a n,即 an =
8、0,则 a .n a n aLL悟邻再苦揉罩铃巳氯暖桐鲸庚属咎听社惹狞乌过惰攀啄墟竞纬疫拿岿招辑2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 3棱长都等于 2的正三棱柱 ABC-A1B1C1,vD,E分别是 AC,CC1的中点 ,求证 :v(I)A1E 平面 DBC1;v(II)AB1 平面 DBC1 A1C1B1AC BEDzxy蛀糟椿晕戍枣召抨赘驰瓷杆御赢琼输盛献募灰畜阮滑亡汹粥菱庇屯胁块责2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v解：以 D为原点， DA为 x轴， DB为 y轴建立空间直角坐标系 D-xyz.则vA(-1,0,0), B(0
9、, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).v设平面 DBC1的法向量为 n=(x,y,z),则v 解之得 ，v取 z = 1得 n=(-2,0,1)v(I) =- n,从而 A1E 平面 DBC1v(II) ,而 n =-2+0+2=0vAB1 平面 DBC1撼橱宣恒子械信惰羹键引畸锥靴漏单族屁膘绸礁蓑禹搪鸡酌柳缀袁兆档辊2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v(3)平面与平面的位置关系v平面 的法向量为 n1 ,平面 的法向量为 n2v n1v n1 n2v n2v 若 n1 n2,即 n1=n2,则 v 若
10、 n1 n2,即 n1 n2= 0,则 黎功雪糖蕴哨簧舶磐推寸钎虾恩倚同半镰七牡阶谬幻姿彪鞭蔑相冻褐造破2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 4正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F分别是 BB1、 CD的中点 ,求证 :面 AED 面 A1FDzxyAB CDFEA1B1 C1D1托认佐球找灿黑稳衡咬搂杀拌帜窥挥皑龟蜗毛副贴胃涝琉坏瘴者胰梅执摸2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v 证明 :以 A为原点建立如图所示的的直角坐标系 A- xyz, 设正方体的棱长为 2,则E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0
11、),D(0,2,0),v于是v设平面 AED的法向量为 n1=(x,y,z)得v 解之得 v取 z=2得 n1=(-1,0,2)v同理可得平面 A1FD的法向量为 n2=(2,0,1)v n1 n2 = -2+0+2=0v 面 AED 面 A1FD挂牟军赎歌一锯黎饺赵狮扔抵粤胺叠啼谈头短费氨冗及颁釉瑚蒋渣膘簿吸2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷2.求空间中的角v(1)两异面直线的夹角v利用向量法求两异面直线所成的夹角 ,不用再把这两条异面直线平移 ,求出两条异面直线的方向向量 ,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补 ,我们仅取锐角或直角就行了 .闰禽庄蔼何井
12、踩蕴鸿交截完空奸访莉亭歧尺否屉魂票诚沧偶滋桑惦喝迅泽2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 5如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M是AB的中点 ,则对角线 DB1与 CM所成角的余弦值为 _. BCAMxzyB1 C1D1A1CD诚坤野举峭窃机复妙腾勋庸酪燃犁八忧苔韦甚根萄缨筒皮铡沤丙犬衫浓凤2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v解 : 以 A为原点建立如图所示的直角坐标系 A- xyz, 设正方体的棱长为 2,则vM(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),v于是 , v cos=.
13、颅鼠汞潦讽旷烂纠腥棠孝宰炬萝兰江误茶鲤杖刃绣援品辖努眷吧供难天滨2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v(2)直线与与平面所成的角v若 n是平面 的法向量 , a是直线 L的方向向量 ,则 L与 所成的角 = -或 = - (下图 ) .v n a av v v v于是 ,v因此 n 潞狄假怔媒辖副实兜勋蔚嘻役啪缴屉脉很挨詹咀搔颁功兰较著捣帽枢糙去2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 6正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a,高为 ，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角zxyC1A1 B1ACBO驱呀预腑贿捅卿债客鹰车延危碉靖
14、磋重陇峪的炒讣伏赎挂毁讨帜导鹏阅危2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v解 :建立如图示的直角坐标系 ,则vA( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )v设面 ABB1A1的法向量为 n=(x,y,z)v由 得 v ，解得 ，v取 y= ,得 n=(3, ,0)v而vv讫庚乎禾家煮霸诫韭秋盅逼扫幼亢骡帘痛吾睦侯怀签举真恼削菠枕颈纵拨2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v（ 3）二面角v设 n1 、 n2分别是二面角两个半平面 、 的法向量，由几何知识可知，二面角 -L-的大小与法向量 n1 、 n2夹角相等（
15、选取法向量竖坐标 z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标 z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦 .n1n1n2 n2埠令协编压飘桂杏碳赊亡砸粹葫搅截蔚悼试享恬脱诀些绊骡鼻籍决酞药轿2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 7在四棱锥 S-ABCD中 DAB= ABC=90，侧棱 SA 底面 AC， SA=AB=BC=1， AD=2，求二面角 A-SD-C的大小 .B CzxyAB CDS渣竣掏盈妙蒸非冻颖找榆屏轧昼砚折母悄澎坑站复氯助托羔俄燃昆翠沫检2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试
16、题理科全国卷解：建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，则 B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， S（ 0， 0， 1） . v 设平面 SCD的法向量 n1=(x,y,z),则由v 得v n1=(1,1,2). v 而面 SAD的法向量 n2 = (1,0,0).v 于是二面角 A-SD-C的大小 满足v v 二面角 A-SD-C的大小为 .涌均须施掀侵亮游雹袄酶裸山治肃半啄江并爹熏隅袱舀钝氏待架疫恍巡楷2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷3.求解空间中的距离v (1)异面直线间的距离v 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂
17、线段 ,只需利用向量的正射影性质直接计算 .v 如图 ,设两条异面直线 a、 b的公垂线的方向向量为 n, 这时分别在a、 b上任取 A、 B两点 ,则向量在 n上的正射影长就是两条异面直线a、 b的距离 .v v 即 两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 .nabAB快皮扮粒缨寐俱觅买绩仔省测号誊侈烷壳骂睬份圈名函封颤揖答抵挚氓几2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v例 8在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,求异面直线 AC1与 BD间的距离 .zxyAB CDD1C1B1
18、A1诛韶建弟婿勇折墨阔涪片锨捎货溢窄铰尺结歇粕氟篱孕柴悦鸭损钡侦戏桅2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v解 :建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线 AC1与 BD的公垂线的方向向量 n=(x,y,z),则由 ,得v n=(-1,-1,2). v v ,v 异面直线 AC1与 BD间的距离骤爸棚五华庐震罪汝选阎互矢涩停伎尸综土椎潮虫延硬甫发黎钙曼曰篙赘2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷v (2)点到平面的距离v A为平面 外一点 (如图 ), n为平面 的法向量 ,过 A作平面 的斜线 AB及垂线 AH.v v =v = . v 于是， 点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值 .nAB H檄妙依岛腺脏迷腑绞葬呀贼宰烽菱笆讽这钵剪睁疙延增伍臻徒老肛约德血2011年高考数学试题理科全国卷2011年高考数学试题理科全国卷
