1、绝密*启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学注息事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.问答第卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.3.回答第卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。第一卷一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1 ）已知集合 ；,则 中所含元素1,2345A,(,
2、),BxyAxyB的个数为（ ）()3()6()C()D【解析】选 D， ， ， 共 10 个5,12,34xy,12,3xy,12xy,1xy（2 ）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种 种 种 种()A()B0()C()D【解析】选甲地由 名教师和 名学生： 种12124（3 ）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）zi的共轭复数为 的虚部为1:p2:p3:pz1i4:pz1()A23,()B12,()C,()D,【解析】选 C()1iz ii， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为:2p2
3、:pzi3:pz1i4:pz1（4 ）设 12F是椭圆 的左、右焦点， 为直线 32ax上一点，2:1(0)xyEabP21P是底角为 30的等腰三角形，则 的离心率为（ ）E()A()B2()C()D【解析】选 C21FP是底角为 30的等腰三角形 2133()24cPFacea（5 ）已知 na为等比数列， ， 568a，则 0（ ）47a()A7()B()C()D【解析】选 D， 或472a5647478,2aa47,a11010,470（6 ）如果执行右边的程序框图，输入正整数 (2)N和实数 12,.na，输出 ，则（ ）,AB为 ,的和()AB2为 12.n的算术平均数和 分别是
4、,a中最大的数和最小的数()C和 分别是 12.n中最小的数和最大的数DAB【解析】选（7 ）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的1是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A6()B9()C()D【解析】选该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3此几何体的体积为 16932V（8 ）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于CxCxy162,AB两点， ；则 的实轴长为（ ）43AB()2()2()()D【解析】选 C设 交 的准线 于22:(0)xyaxy162:4l(,23)A(4,23)B得： 4)34a（9 ）已知 ，函数 在 上单调递减。则 的取值
5、范围是（ ）0()sin)fx(,)2()A15,24B13,24C10()D0,2【解析】选不合题意 排除9(),x()D合题意 排除3514B另： ，()223(),4242x得： 15,（10 ） 已知函数 ；则 的图像大致为（ ）1()ln)fxx()yfx【解析】选 B()ln1)()100,0()0xgxxggx得： 或 均有 排除()f,ACD（11 ）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形，SABCOB1为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）O2()26()36()23()2【解析】选的外接圆的半径 ，点 到面 的距离ABC3rOABC263dRr为
6、球 的直径 点 到面 的距离为SOS623此棱锥的体积为 112334ABCVd另： 排除6ABCSR,D（12 ）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）P12xyeQln(2)yxPQ()A1ln()Bln)C1()D21ln)【解析】选函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称2xyel(2)yxyx函数 上的点 到直线 的距离为1x1(,)xPeyx12xed设函数 minminl2()()()1l22xxggg由图象关于 对称得： 最小值为yPQin2l)d第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第 24 题为选考
7、题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13 ）已知向量 夹角为 ，且 ；则,ab1,20ab_b【解析】 _322210()04cos45132(14) 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为 ,xy,13xyzxy【解析】 的取值范围为 2z,约束条件对应四边形 边际及内的区域： OABC(0,),1(,2)3,0OABC则 3,zxy（15 ）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命2(10
8、,5)N超过 1000 小时的概率为 【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2(10,5)N得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 213()4P那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 28（16 ）数列 满足 ，则 的前 项和为 na1()nnana60【解析】 的前 项和为 601830可证明： 14244342416nnnnnnb ab123151680aS三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知 分别
9、为 三个内角 的对边，,bcABC,cos3in0aCbc（1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 。a3,b【解析】 （1）由正弦定理得： cos3in0sincosinsinabcABCisi()1s1323060ACaC（2） 1sin34SbcAbc2osa解得： （l fx lby）18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，5 10如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量16yn（单位：枝， ）的函数解析式。 nN（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日
10、需求量（单位：枝） ，整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元） ，求 的分布列，16XX数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由。【解析】 （1）当 时，6n1(05)8y当 时，5610nn得： 08()yN（2） （i） 可取 ， ，X670().1,().2,(80).7PPXPX的分布列为 607.10.20.760.728.6EX210.47D（ii）购进 17 枝时，当天的利润为(453).(5).2(165)0.
11、16750.46.y得：应购进 17 枝76（19 ） （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， ，1ABC12ABC是棱 的中点，D1D（1）证明：（2）求二面角 的大小。11CBA【解析】 （1）在 中，RtA得： 45D同理： 1190D得： 面1,CBC1BDC（2） 面11,B1AA取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接AOH1,OH，面 面 面111CB1C1BD1B得：点 与点 重合HBD且 是二面角 的平面角1O11A设 ，则 ，ACa12a111230CDaOCD既二面角 的大小为11B30（20 ） （本小题满分 12 分）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆
12、心，2:()xpyFlAF为半径的圆 交 于 两点；FAl,D（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；09BAB24p（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，, mnnC求坐标原点到 距离的比值。,n【解析】 （1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边BFD2BDp点 到准线 的距离AldA14242BDS圆 的方程为F2()8xy（2）由对称性设 ，则20,Ap(0,)pF点 关于点 对称得：,BF222000(,)3xBxp得： ，直线3(,)2pA32: 32pmyxy切点2 3xxy pp(,)6pP直线 3:()066nxy坐标原点到 距离的比值为
13、。（lfx lby）,m3:2p（21）（本小题满分 12 分）已知函数 满足满足 ；()fx12()(0)xfefx（1）求 的解析式及单调区间；（2）若 ，求 的最大值。21()fxaxb(1)【解析】 （1） 210()(0)xefxffef 令 得：x()121()()()xfefefe 得： xgx在 上单调递增()10()xgeygxR(),0()0ffffx得： 的解析式为x21)xe且单调递增区间为 ，单调递减区间为(,(,)（2） 得21()(1)0xfxaxbheab(1)xhea当 时， 在 上单调递增0(0yR时， 与 矛盾x)x()x当 时，1a(ln1),(0ln(
14、1)hahxa 得：当 时，ln)xmi)(l)0xb22()(1l)ba令 ；则l0)Fxx(12lnFxx()0,ee 当 时，xemax()2当 时， 的最大值为1,ab1)b2请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 分别为 边 的中点，直线 交,DEABC,DE的外接圆于 两点，若 ，证明：ABC,FG/AB（1） ；（2） :【解析】 （1） ，/AB/DCFDCBFCFB（2） /GEGDG:（23 ）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程已知曲线
15、 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴1C)(3siny2cox为 参 数x为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，2ABCD2且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为,ABDA(2,)3（1 ）求点 的直角坐标；,C（2 ）设 为 上任意一点，求 的取值范围。P122PBCPD【解析】 （1）点 的极坐标为,ABD541(,),(,),3636点 的直角坐标为,C1,(,)（2）设 ；则0(,)Pxy02cos()3inx为 参 数22240tABPDxy（lfxlby）560si56,7（24 ） （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲4已知函数 ()2fxax（1 ）当 时，求不等式 的解集；3()3f（2 ）若 的解集包含 ，求 的取值范围。()4fx1,a【解析】 （1）当 时，a()23fxx或 或23332x或1x4（2）原命题 在 上恒成立()fx1,2在 上恒成立a,在 上恒成立2x30
