1、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 2009 年全国高考理科数学试题及答案（全国卷）一选择题：1. 10i2-A. B. C. D. +4-24i2+4i2-4i解：原式 .故选 A.i()-22. 设集合 ，则 =1|3,|04xAxBABA. B. C. D. ,2,14.解： . .故选 B.1|0|(1)40|44xBxx (3,)AB3. 已知 中， ， 则AC2cot5cosAA. B. C. D. 12313513123解：已知 中， ， .Bct(,)2故选 D.22cos 1351tan1()A4.曲线 在点 处的切线方程为 2xy,A. B. C. D. 020
2、xy450xy450xy解： ,11122|()()xxx故切线方程为 ,即 故选 B.)y0y5. 已知正四棱柱 中， 为 中点，则异面直线 与1ABCD12AB， E1ABE所成的角的余弦值为1CDA. B. C. D. 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 解：令 则 ,连 异面直线 与 所成的角即1AB21ABCD1BE1CD1AB与 所成的角。在 中由余弦定理易得 。故选 CE1E130cosA6. 已知向量 ，则 2,0,|52aba|bA. B. C. D. 51 25解： 。故选 C2220|0|A|57. 设 ，则 323log,l,logabcA. B. C. D.
3、 cabbacbca解： 322lllc.故选 A.233ogog8. 若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数tan04yx6的图像重合，则 的最小值为tan6yxA B. C. D. 1141312解： 6tantan(ta)646nyxyxx 向 右 平 移 个 单 位，14()62kkZ又 .故选 Dmin09. 已知直线 与抛物线 相交0ykx2:8Cyx于 两点， 为 的焦点，若 ，则AB、 FC|FABkA. B. C. D. 13232解：设抛物线 的准线为 直线 2:8Cyx:lx恒过定点 P .如图过 分 别作 于 ,0ykx2,0AB、 AM 中国校长网中国校长网资
4、源频道 http:/ 于 , 由 ,则 ,点 B 为 AP 的中点.连结 ,则BNl|2|FAB|2|MNOB, 点 的横坐标为 , 故点 的坐标为1|2O|O1, 故选 D0(,)()3k10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种解：用间接法即可. 种. 故选 C224430C11. 已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交21,xyab： F3于 两点，若 ,则 的离心率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.AB、 4FBm A B. C. D. 657589解：
5、设双曲线 的右准线为 ,过 分 21xyCab： lA、别作 于 , 于 , ,AMlBNlDM于由直线 AB 的斜率为 ,知直线 AB 的倾斜角为3,16060|2DA由双曲线的第二定义有|(|)AMBNFBe.1|(|)2又 故选 A15643|2Fee12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选 B第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题
6、卡上。 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 13. 的展开式中 的系数为 6 。4xy3xy解： ，只需求 展开式中的含 项的系数：24()4()xyxy246C14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 9 . nanS53a95S解： 为等差数列，n95315.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成 45角的平面截球 的表面OAMOAOAO得到圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 .C748解：设球半径为 ，圆 的半径为 ，Rr2274r,得由因为 。由 得 .故球 的表24O22217()84RR2O面积等于 .816. 已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为
7、,则四边形ACBD、 2xy1M的面积的最大值为 。解：设圆心 到 的距离分别为 ,则 .O、 12d、 2213dO+四边形 的面积AB 2211|(4)8()52SABCd-三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ，Cabc3os()cs2ACB，求 。2bacB分析：由 ，易想到先将 代入3os()cs2AB()B得 然后利用两角和与差的余弦公式cs()cC3()cos()2CA展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得3in42ba，进而得 .故 。大部分考生做到
8、这里忽略了2siisBA3sinB3或 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 检验，事实上，当 时，由 ，进而得23B1cos()2BAC，矛盾，应舍去。cos()cs()1AC也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。2babc或 3评析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中， 、 分别1ABC,ABCDE为 、 的中点， 平面 1ADE1（I）证明： （II）设二面角 为 60，求 与平面 所成的1角的大小。（I）分析一：连结 BE， 为直三棱柱， 1ABC190,BC为 的中点， 。又 平面 ，E1ED（射影相等的两条斜线段相等）
9、而 平面 ，BDA（相等的斜线段的射影相等） 。A分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ，CFAFDE，得 也可。ABC分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可。1D1BC作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角，AGGA.不妨设 ，则 .在 中，由60C23A2,4RTD，易得 .DB6设点 到面 的距离为 ， 与平面1h1BC所成的角为 。利用C，可求得 ，又133BBCDSES23可求得 41sin0.h即 与平面 所成的角为1 3.分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所BCDBCAF
10、ED面 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，AFEDBC面 AFEDAEDF、并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。O面 OCB。以下略。即 为 所 求分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角BDn1CD即为 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。1BCn总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 已知na,nS1,a142nSa（I）设 ，证明数列 是等比数列 12
11、bb（II）求数列 的通项公式。n解：（I）由 及 ，有1,a142nSa1214,a22353b由 ， 则当 时，有 14nS 12nS得 1,2()nnaaa又 ， 是首项 ，公比为的等比数列12nbb13b（II）由（I）可得 ，113nn24n数列 是首项为 ，公差为 的等比数列2a4， ()4n2(1)nna评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1nb与 的 关 系 即 可第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的1123n模型： ，主要的处理手段是两边除以 1(,nnapq为 常 数 ) 1nq总体来说，09 年高考理科数学全国 I、这两套试题都将数列
12、题前置,主要考查构造新数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法） ，一改往年的将数列结合不等 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20（本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有
13、1 名女工人的概率；（III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率1462085CP（III） 的可能取值为 0，1 ，2，3， ，2341056()7CP1214634205058()7PC，26105() 31()()()()75P分布列及期望略。评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，(2)用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的
14、能力。（21） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 与 相交2:1(0)xyCab3lC于 、 两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 到 的距离为ABl Ol2（I）求 ， 的值；ab（II） 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立？Cl POAB若存在，求出所有的 P 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为(,0)Fc: 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 则 ，解得 .又 .|0|2c1c3,2ceab（II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、2:3xyC1(,)AxyB2(,)xy
15、由题意知 的斜率为一定不为 0，故不妨设 l :lm代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。2()40my由韦达定理有： 122,3y122,3.假设存在点 P，使 成立，则其充要条件为：OAB点 ，点 P 在椭圆上，即 。12(,)xy的 坐 标 为 2211()()3xy整理得 。 221 12346xy又 在椭圆上，即 .AB、 13,y故 120xy将 及代入解得22112()()mymy21m, = ,即 .12y或 12x243(,)P当 ;3,(),:1Ply时当 .22,(),:mlx时评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ，主要讲的是算理和算法。算法是解
16、决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。 例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。22.(本小题满分 12 分)设函数 有两个极值点 ，且21fxaInx12x、 12x（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性； 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （II）证明： 214Infx解: （I）2(1)axaf x令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两2()gx12x、 ()0gx个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得1480()ag1a当 时， 在 内为增函数；1(,)x0,()fxf1,x当 时， 在 内为减函数；22)当 时， 在 内为增函数；,()x,(fxf ,x（II）由（I） ，210,0ga2)a+2 22()1fxlnxxlnx设 ，()1h则 2()xxlxlx当 时， 在 单调递增；1(,0)0,)h1,02当 时， ， 在 单调递减。xx()ln(,)24当 时故 124Infxh
