1、2018 届河北省邢台市高三上学期第二次月考理数试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 中的元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】联立方程 ，解得 或 ，所以 中共有两个元素，故选 C.2. 已知 ，为虚数单位， ，则 （ ）A. 9 B. -9 C. 24 D. -34【答案】A【解析】因为 ，所以 ，根据复数相等的定义知， ， ，解得 ， ，所以 ，故选 A.3. 设向量 ， ， .若 ，则 （ ）A. -2 B. -3 C. D. 【答
2、案】D【解析】因为 ， ，且 ，所以 ，即，解得 ，故选 D.4. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则下列命题正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】对于 A，若 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则与 可能平行、相交、异面，故不正确；对于 B，若 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则 与 可能平行也可能相交，故 B 不正确；对于 C, 若 , 与 的位置不确定，故 C 不正确；对于 D，若 ，直线 平面 ，则直线 平面 ，又因直线 平面 ，则 正确；故选 D.5. 已知 ，求证 ，用反证法证明时，可假设 ；设 为实数，求证 与 中至少有一个不小于
3、，用反证法证明时可假设 ，且，以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确【答案】C【解析】根据反证法的格式知，正确；错误，应该是 与 都小于 ，故选 C.6. 用数学归纳法证明“ ， ”，则当 时，应当在 时对应的等式的两边加上（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 时，等式左端 ，当 时，等式左端，增加了 项故选 A7. 已知 对一切 都成立，则的值为（ ）A. ， ， B. ， ，C. ， ， D. ， ，【答案】C【解析】由题意知，当 时，分别有解得： ， ， ，故选 C.8. 如图，在四棱锥 中
4、， 平面 ， 为线段 的中点，底面 为菱形，若 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 如图， 平面 从而 ，又 所以 故 故选 B9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱柱挖掉了一个底面是菱形的四棱柱，所以其体积，故选 A.10. 某次夏令营中途休息期间，3 位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人.听完以上 3 人的判断后，胡老师笑着说，你们
5、3 人中有 1 人说的全对，有 1 人说对了一半，另一人说的全不对，由此可推测胡老师（ ）A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人【答案】D11. 已知 .命题 对 ， 有三个零点，命题 ，使得 恒成立.则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知 . 当 时， 只有一个根，即函数只有一个极值点，则函数 最多有 2 个零点，故命题 为假; ，命题 显然为假命题故 为真选 B 12. 已知 表示正整数 的所有因数中最大的奇数，例如： 12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则 ；21的因数有 1,3,7,12，则 ，那么 的值
6、为（ ）A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500【答案】D【解析】由 的定义知 ，且若 为奇数则 则 选 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为_【答案】【解析】因为 ，化简得： ，即 ，所以，又 ，所以 ，故填 。14. 在等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则公差 _【答案】3【解析】由已知可得方程组 15. 已知 ， ，若 ，则 的最小值为_【答案】96【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故最小值为 。点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此
7、类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造 ，研究的式子乘以 1 后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式。16. 已知三棱柱 内接于球 ， ， ， 平面 ，则球 的表面积是_【答案】【解析】在 中 ， ，由余弦定理可得 ，由正弦定理，可得外接圆半径 ，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，得球的半径 ,所以.点睛：本题主要考查了直三棱柱内接于球的性质，以及正弦定理、余弦定理，及解三角形，属于中档题。解题时要注意球的直径与几何体的对角线之间的关系，一般对角线过球心，利用这种关系求球的半径，或者球心与底面外接圆的圆心连线
8、垂直，构造圆半径，球半径构成的直角三角形来解决，求三角形外接圆半径时注意正弦定理的应用。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 （其中 ） ，且 的最小值为-9.（1）确定常数 ，并求 ；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）利用 求出最值， 即可求 ，再用 与 关系，求 ；（2）根据通项特点，采用裂项相消法求和即可。试题解析：（1）因为 ，所以 ，解得 ， .当 时， ，显然当 时，也满足 .所以 .（2）因为 ，所以 .点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等
9、差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误18. 设函数 的部分图象如图所示.（1）求函数 的解析式；（2）当 时，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）试题解析：（1）由图象知 ， ，即 .又 ，所以 ，因此 .又因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 ，即 .（2）当 时， .所以 ，从而有 .19. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， .（1）求 的值；（2）求 的面积.【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）将条件运用正弦定理统一为边，
10、再利用余弦定理求解即可；（2）利用三角形面积公式求解即可。试题解析：（1）因为 ，所以 ，即 .由余弦定理得 ，所以 .（2）因为 ， ， ，所以 .20. 如图，三棱柱 的所有棱长均为 2，底面 侧面 ， ， 为的中点， .（1）证明： .（2）若 是 棱上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 .由底面 侧面 ，可得 侧面 ，即 ，又侧面 为菱形，所以，从而 平面 ，可证得 AB1A1P（2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .利用向量法求解试题解析;（1）取 的中点 ，连接 ，易证 为
11、平行四边形，从而 .由底面侧面 ，底面 侧面 ， ， 底面 ，所以 侧面，即 侧面 ，又 侧面 ，所以 ，又侧面 为菱形，所以 ，从而 平面 ，因为 平面 ，所以 .（2）由（1）知， ， ， ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面 是边长为 2 的菱形，且 ，所以 ， ， ， ， ，得 .设 ，得，所以 ，所以 .而.所以，解得 .所以 ， ，.设平面 的法向量 ，由 得 ，取 .而侧面 的一个法向量 .设二面角 的大小为 .则21. 在 中， ， 是边 的一个三等分点（靠近点 ） ，记 .（1）求 的大小；（2）当取最大值时，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分
12、析; （1）由 ，可得 ，整理得.又 ，所以 ，即 .（2）设 ， ， ，则 ， .由正弦定理得 ，.又 ，由 ，得.因为 ，所以 .因为 ，所以 .所以当 ，即 时，取得最大值 ，由此可得，.试题解析：（1）因为 ，所以 ，即，整理得 .又 ，所以 ，即 .（2）设 ， ， ，则 ， .由正弦定理得 ，.又 ，由，得 .因为，所以 .因为 ，所以 .所以当 ，即 时，取得最大值 ，此时 ，所以 ，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力22. 已知函数 的图象在 处的切线过点 ， .（1）若 ，求函数 的极值
13、点；（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，证明： .（提示）【答案】 （1） 或 2；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求导 ，则 .又 ，曲线在 处的切线过点 利用斜率相等 ，可得 .，又，可得 ，则 ，可得函数 的极值点（2）由题 是方程 的两个根，则 ， ，由，可得 ， ， 是函数 的极大值， 是函数 的极小值，要证 ，只需 ，计算整理可得 ，令，则 ，设 ，利用导数讨论函数的性质即可得证试题解析; ， .又 ，曲线 在 处的切线过点 . ，得 .（1） ， ，令 ，得 ，解得 或 2， 的极值点为 或 2.（2） 是方程 的两个根， ， ， ， ， ， 是函数 的极大值， 是函数 的极小值，要证 ，只需 ，令 ，则 ，设 ，则，函数 在 上单调递减， ，
