1、1专题 06 函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现常常与导数结合考查.（一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图
2、框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第 3 点） ，这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数： ykxb,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.特点：两点确定一条直线.信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数： 2yaxhk，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对
3、称性可得.函数先减再增，存在极值点顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确.特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点.（3）反比例函数： 1yx,其定义域为 ,0,，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出） ，坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称） ，渐近线.信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中， x轴是渐近线，那么当 x，曲线无限向 x轴接2近，但不相交，则函数在 x正半轴就不会有 x轴下方的部分。（2）水平渐近线
4、的判定：需要对函数值进行估计：若 （或 ）时， fx常数 C，则称直线yC为函数 fx的水平渐近线 例如： 当 时， y，故在 x轴正方向不存在渐近线当 x时， 0，故在 轴负方向存在渐近线 0y（3）竖直渐近线的判定：首先 fx在 a处无定义，且当 xa时， fx（或 ） ，那么称xa为 f的竖直渐近线例如： 2logyx在 0处无定义，当 0x时， fx，所以 0x为 2logyx的一条渐近线.综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.2、函数图象变换：设函数 yfx，其它参数均为正数（1）平移变换： fxa： fx的图象向左
5、平移 a个单位： 的图象向右平移 个单位fxb： f的图象向上平移 个单位： 的图象向下平移 a个单位（2）对称变换： fx：与 f的图象关于 y轴对称：与 的图象关于 x轴对称fx：与 f的图象关于原点对称（3）伸缩变换： fkx： f图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 10k： 收 缩： 拉 伸 f： f图象横坐标不变，纵坐标变为原来的 1k： 拉 伸倍 ： 收 缩3（4）翻折变换： fx： ,0fxf即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于 y轴对称的图象 fx： ,0fxff即 x轴上方的图象不变，下方的图象沿 x轴对称的翻上去.（二） 方法与技巧：1、在处理有关判断
6、正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于 x轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于 x轴下方的区域表示原函数的单调减区间（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分（3）极值点（4）对称性（奇偶性）易于判断，进而优先观察（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分. 2、利用图象变换作图的步骤：（1）寻找到模板函数 fx（以此函数作为基础进行图象变换）（2）找到所求函数与
7、的联系（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换.3、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则： 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 横坐标的多次变换中，每次变换只有 x发生相应变化例如： 21yfxyf可有两种方案4方案一：先平移（向左平移 1 个单位） ，此时 1fxf。再放缩（横坐标变为原来的 12） ，此时系数2只是添给 x，即
8、2ffx方案二：先放缩（横坐标变为原来的 ） ，此时 2fxf，再平移时，若平移 a个单位，则fxfafxa（只对 加 a） ，可解得 1，故向左平移 12个单位 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如： 21yfyf有两种方案方案一：先放缩： xfx，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1，即2yfxyf方案二：先平移： 1xyfx，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 a倍，那么1yfxyaf，无论 a取何值，也无法达到 21yfx，所以需要对前一步进行调整：平移 2个单位，再进行放缩即可（ 2）4、变换作图的技巧：（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他
9、们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性 （2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与 y轴的交点等【经典例题】例 1【2017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数 ()yfx的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是【答案】 D5【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D例 2【2017 课标 3】函数 2sin1xy的部分图像大致为（ ）A BDC D【答案】D例 3【2018 届江西师范大学附属中学高三 4 月月考】函数 y=x+cosx 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【
10、答案】B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 0,xx时函数图象6的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除例 4. 已知 R上可导函数 fx的图象如图所示，则不等式 230xfx的解集为( )A.,21, B. ,21,C. 02, D. 3,【答案】D【解析】由图像可得： ,1,x时， 0fx， 1,时， 0fx，所以所解不等式为：230xf或 230f，可得： ,1,3
11、,.例 5【2018 届湖南省衡阳市高三二模】已知函数 2f,dxabcdRe的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. 0,0abcd B. ,0,abcdC. D. 【答案】B例 6【2018 届河北省保定市高三一模】定义在 R上的偶函数 fx满足 1ffx，当 0,1时， 721fx，设函数 132xg，则函数 fx与 g的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】因为 1fxfx，所以 fx周期为 2，函数 12xg关于 对称，作图可得四个交点横坐标关于 对称，其和为 2=4，选 B.【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题
12、、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.例 7【2018 届新疆乌鲁木齐市高三第二次质量监测】已知函数 120xf与 2logxa的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围是（ ）A. ,2 B. ,2 C. ,2 D. ,2【答案】B8【名师点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列
13、出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.例 8【2018 届甘肃省天水市第一中学高三上学期期中】已知 是 上的奇函数，则数列 的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9【名师点睛】由函数 是 上的奇函数，结合函数图像的平移，得到函数 的图像关于对称，可得 ，可用倒序相加法求和 .例 9【2018 届广西陆川县中学高三 3 月月考】若函数 yfx满足：对于 yfx图象上任意一点 P，在其图象上总存在点 P，使得 0O成立，称函数 是“特殊对点函
14、数” 给出下列五个函数： 1yx； 2xye (其中 e 为自然对数的底数)； lnyx； si1yx；x/k*-w 2其中是“特殊对点函数”的序号是_(写出所有正确的序号)【答案】10对于 10,P， 2120xyx；所以不是“特殊对点函数” ；由图知,对于任意一点 P，在其图象上总存在点 P，使得 OP，所以是“特殊对点函数” ；由图知,对于任意一点 P，在其图象上总存在点 P，使得 OP，所以是“特殊对点函数” ；综上“特殊对点函数”的序号是【名师点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单
15、调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.11例 10【2018 届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数将 的图象向右平移两个单位，得到函数 的图象.（1）求函数 的解析式；（2）若方程 在 上有且仅有一个实根，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)借助平移的知识可以直接求出函数解析式（2）先换元 将问题转化为 有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解.（1） （2）设 ，则 ，原方程可化为 ，于是只须法 2：由 ， ，得 ， ，设 ，则 ， .记 ，则 在 上是单调函数，因为故要使题设成
16、立，只须 .即 .从而 .【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论.【精选精练】1【2018 届山东省天成大联考第二次】函数 的图象大致是（ ）12A. B. C. D. 【答案】D【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2 【2018 届福
17、建省三明市第一中学高三下学期开学】给出下列四个函数： ； ； ； .这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. B. C. D. 【答案】A13【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项3【2018 届安徽省江淮十校高三第三次（4 月）联考】若直角坐标系内 A、 B两点满足：（1）点 A、 B都在fx图象上；（2）
18、点 A、 B关于原点对称，则称点对 ,是函数 fx的一个“和谐点对” ， ,与,BA可看作一个“和谐点对”.已知函数 2(0) xfe，则 f的“和谐点对”有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】作出函数 2yx（ 0）的图像关于原点对称的图像，看它与函数 20xye的交点个数即可，观察可得交点个数为 2.选 B.【名师点睛】新定义型题一是按定义处理问题，二是转化为己学过的知识与方法处理，本题 ,AB与 ,可看作一个“和谐点对” ，其实是部分图像关于原点对称与另一部分图像交点个数问题.4【2018 届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三） 】函数 的部分图象大致
19、为（ ）14A. B. C. D. 【答案】D【名师点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题5【高考题】函数 2axbfc的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）15A. 0,abc B. 0,abcC. D. 【答案】C【解析】观察函数图像突出的特点便可确定 ,abc的符号：特点 1：渐近线在 x正半轴，从解析式可知 fx的竖直渐近线为 0xc即 c，所以 0 特点 2： 时
20、， fx仍大于 0，通过解析式可得 fx的符号由 ab决定，所以从“ 时，fx仍大于 0”中可推断出 a 特点 3：图像与 y轴交点纵坐标为正， 20bfc，所以 综上所述，选项 0,bc 6 【2018 届北京市汇文实验中学高三九月月考】函数 fx的图像向右平移 1 个单位长度,所得图像与曲线xye关于 轴对称,则 fxA. +1x B. 1x C. +1e D. 1xe【答案】D【名师点睛】本题主要考查的是函数的图象与图象变化，还考查了函数解析式的求解以及常用方法。首先求出与函数 xye的图象关于 y轴对称的图象的函数解析式，然后换 x为 1即可得到要求的答案.7 【2018 届河南省中原
21、名校（即豫南九校）高三第六次考评】函数 xfea与 2gxa在同一坐标系内的图象不可能是（ ）16A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 2gxa的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数 gx的图像,在选项 C 中,上面的图像是函数 f的图像, 下面的是函数 gx的图像,所以 02a,所以 ,由题得 xfea,因为 a0,所以 0x恒成立，所以函数 f(x)在定义域内单调递增，不是选项 C 中的图像，故选 C.8已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D179 【2018 届广东省高三一模】设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则的取值范围是 （ ）A.
22、 B. C. D. 【答案】B【解析】画出函数 的图象如图所示【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象解题中有两个关键：一是结合图象得到 ；二是根据图象判断出 c 的取值范围，进而得到 的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围10 【2018 届福建省数学基地校】为了得到函数 2log1yx的图象，可将函数 2logyx图象上所有点的A. 纵坐标缩短到原来的 12倍，横坐标不变，再向左平移 1 个单位长度B. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度C. 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位长度D. 横坐标伸长到原来
23、的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 1 个单位长度【答案】B【解析】 221loglogyxx所以 2l纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度得到 2log1yx的图像，选 B.1811 【2018 届江西省新余市第一中学高三第二模】已知 21yfx为奇函数， yfx与 ygx图像关于 yx对称，若 120x，则 12gx（ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】 2yfx为奇函数，故 21yfx的图象关于原点 0,对称，而函数 yfx的图象可由 1f图象向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍得到，故 的图象关于点 ,0对
24、称，又 yfx与 ygx图象关于 yx对称，故函数 ygx的图象关于点0,对称， 12x，即 12，故点 12,g，关于点 0,1对称，故12gx，故选 B.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换” “翻折变换” “对称变换” “伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的.12 【2018 年北京市丰台区高三年级一模】函数 y = f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，函数 f(x)的图象是由
25、一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.当 1,x时，y 的取值范围是_;如果对任意 ,ab (b 0)，都有 2,1y，那么 b 的最大值是_.【答案】 2 19当 1fx时， 2x或 7，又因为函数为偶函数，图象关于 y轴对称，所以对于任意 ,(0)ab，要使得 2,1，则 aR， 7b或 2，则实数 的最大值是 2【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.
