1、 1 江西师范大学附属中学2017届高三数学12月月考试题 理 2016. 12 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1定义集合 2 2 1 , log 2 2 xx A x f x B y y ，则 R AB （ ） A 1, B 0,1 C 0,1 D 0,2 2若复数 43 (cos ) (sin ) 55 zi 是纯虚数（i为虚数单位） ，则 tan() 4 的值为( ) A 7 B 1 7 C 7 D 7 或 1 7 3下列说法正确的是（ ） A R a ，“ 1 1 a ”是“ 1 a ”的必要不充分条件 B
2、“ q p 为真命题”是“ q p 为真命题”的必要不充分条件 C命题“ R x ，使得 0 3 2 2 x x ”的否定是：“ R x ， 0 3 2 2 x x ” D命题 p ：“ R x ， 2 cos sin x x ”，则 p 是真命题 4已知向量 , ab rr 满足 2, 3 a a b a r r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ） A 2 3 B 2 3C 1 2 D 1 25为了得到函数 3cos2 yx 的图象，只需把函数 3sin(2 ) 6 yx 的图象上所有的点( ) A向右平移 3 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 3 个单位 D向左平
3、移 6 个单位 6已知等差数列 n a 满足 3 5 7 2 1 7, 26, ( ), 1 n n a a a b n N a 数列 n b 的前n项 和为 , n S 则 100 S 的值为（ ） A 101 25B 35 36C 25 101D 3 107我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依 据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 b a 和 d c （ , , , * a b c d N ） ，则 bd ac 是x的更为 精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159 ，若令 31 49 10 15 ，则第一次用“调日 2
4、法”后得 16 5 是 的更为精确的过剩近似值， 即 31 16 10 5 ， 若每次都取最简分数， 那么第三次用“调 日法”后可得 的近似分数为 A 22 7B 63 20C 78 25D 109 358两圆 2 2 2 2 4 0 x y ax a 和 2 2 2 4 1 4 0 x y by b 恰有三条公切线，若 , a R b R 且 0 ab ，则 22 11 ab 的最小值为( ) A1 B3 C 1 9D 4 99在平面直角坐标系中，点P是由不等式组 0 0 1 x y xy 所确定的平面区域内的动点，Q是直线20 xy 上任意一点，O为坐标原点，则| OP OQ 的最小值为（
5、 ） A 5 5B 2 3C 2 2D1 10如图，正三棱柱 ABCA1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各 条棱长均相等，D 为 AA1的中点M，N 分别是线段 BB1和线段 CC1上的 动点（含端点） ，且满足 BM=C1N当 M，N 运动时，下列结论中不正确 的是( ) A平面DMN平面 BCC1B1 B三棱锥A1 DMN的体积为定值 CDMN可能为直角三角形 D平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 (0, 4 11.已知关于x的方程 2 | 2 x k k x 在区间 1, 1 kk 上有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范 围是( ) A. 02 k B. 03 k
6、C. 02 k D. 01 k 12已知正三棱锥P ABC 的底面边长为6，底边BC在平面 内,绕BC 旋转该三棱锥，若某个时刻它 在平面 上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是 （ ） A (0, 6 B 6 (0, 6,3 2C 6 (0, 2D 36 (0, 6 3, 2A 1B 1C 1A B C D M N 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共 20分请把答案填在题中横线上） 13在计算“12+23+ +n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k项：k（k+1）= 1 ( 1)( 2) ( 1) ( 1) 3 k k k k k k 由此得12
7、 1 (1 2 3 0 1 2) 3 1 2 3 (2 3 4 1 2 3) 3 1 ( 1) ( 1)( 2) ( 1) ( 1) 3 n n n n n n n n . 相加，得12+23+ +n（n+1） 1 ( 1)( 2) 3 n n n 类比上述方法，请你计算“123+234+ ( 1)( 2) n n n ”，其结果是_ （结果写出关于n的一次因式 的积 的形式） 14如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 15若正数a，b，c满足c 2 4bc2ac8ab8，则 a2bc的最小 值为_ 16已知函数 2 ( 0) () ( 0) x xx fx ex ，若关于 x
8、的方程 ( ) 0 f f x m 恰 有两个不等实根 1 x 、 2 x ，则 12 xx 的最小值为_ 三、解答题（本大题共6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分10分) 设 ABC 的内角 , A B C 所对应的边分别为 , a b c , 已知 sin( ) sin sin a b a c A B A B （）求角B （）若 6 3, cos 3 bA ,求 ABC 的面积。 18(本小题满分12分) 已知正项等比数列 n a 满足 1 2 3 ,2 , 6 a a a 成等差数列,且 2 4 1 5 9 a aa （1）求数列 n a 的通项公
9、式; （2）设 3 (1 log ) n n n b a a ,求数列 n b 的前 n 项和 n T 8 4 4 4 19 （本小题满分12分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形， , ADE BCF 均为等边三角形， 1 / / , 2 EF AB EF AD AB （）过BD作截面与线段FC交于点N ，使得AF /平面BDN ， 试确定点N 的位置，并予以证明； （）在（）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值 A B C D E F5 20(本小题满分12分) 如图，四边形ABCD中， BCD 为正三角形， 2 AB AD ， 3 2 BD ，AC
10、与 BD交于 O 点将 ACD 沿边 AC 折起，使 D 点至 P 点，已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 ，且 P 点在平面 ABCD 内的 射影落在 ACD 内 （）求证： AC 平面 PBD； （）若已知二面角 D PB A 的余弦值为 7 21 ，求 的大小 21(本小题满分12分) 已知椭圆 22 1 22 : 1( 0) xy C a b ab 的一个焦点与抛物线 2 2 : 2 ( 0) C y px p 的焦点 F 重合， 且点 F 到直线 10 xy 的距离为 2 ， 1 C 与 2 C 的一个交点的纵坐标为 6 （）求椭圆 1 C 的方程； （）过点F的直线l 与 1
11、 C 交于 , AB两点，与 2 C 交于 C，D两点，求 11 | | | | AB CD 的取值范围 22(本小题满分12分) 已知函数 ( ) ln ( , f x a x bx a b R )， 2 11 ( ) ( ) ( 0) 2 g x x m x m m ，且 () y f x 在点 (1, (1) f 处 的切线方程为 10 xy (）求 , ab 的值； (）若函数 ( ) ( ) ( ) h x f x g x 在区间 (0,2)内有且仅有一个极值点，求m的取值范围； D A B C O P6 (）设 1 ( , ) ( ) M x y x m m 为两曲线 ( ) (
12、) y f x c c R ， () y g x 的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为 12 , ll若取 1 m ，试判断当直线 12 , ll与x轴围成等腰三角形时c 值的个数并说明理 由 7 高三数学（理）答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A D D C B A A C D B 13. ) 3 )( 2 )( 1 ( 4 1 n n n n 14. 64 6 15. 2 2 16. 1 ln 2 17. 解（）因为 sin( ) sin sin a b a c A B A B 所以 b a c a c b a ， 所以 2 2 2 a b ac c
13、， 所以 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac ，又因为 B 0 ，所以 3 B （）由 3 6 cos , 3 A b 可得 3 sin 3 A , 由 B b A a sin sin 可得 2 a ， 而 sin sin sin cos cos sin C A B A B A B 3 3 2 6 所以 ABC 的面积 C ab S sin 2 1 3 3 2 2 18. 解(1)设正项等比数列 n a 的公比为 0 q q 由 3 9 9 9 2 3 2 4 2 2 3 5 1 2 4 q a a q a a a a ,因为 0 q ,所以 3 q . 又因
14、为 6 , 2 , 3 2 1 a a a 成等差数列,所以 3 0 12 6 9 0 4 6 1 1 1 1 2 3 1 a a a a a a a 所以数列 n a 的通项公式为 n n a 3 . (2) 依题意得 n n n b 3 1 2 ,则 n n n T 3 1 2 3 7 3 5 3 3 3 2 1 1 4 3 2 3 1 2 3 1 2 3 7 3 5 3 3 3 n n n n n T 由 -得 2 3 2 1 3 3 3 3 2 3 1 2 2 n n n n T 1 2 1 2 1 3 2 3 3 1 3 3 2 3 1 2 n n n n n 所以数列 n b 的前
15、n项和 1 3 n n n T A B C D E FN O 8 19. 解： （）当N 为线段FC的中点时，使得 / AF 平面BDN， 证法如下： 连结AC ,BD，设AC BD O ， 四边形ABCD为矩形 O为AC 的中点 又N 为FC的中点 ON 为 ACF 的中位线 / AF ON AF 平面BDN，ON 平面BDN / AF 平面BDN，故N 为FC的中点时，使得 / AF 平面BDN. （）过O作 / PQ AB分别与 , AD BC 交于 , PQ， 因为O为AC 的中点，所以 , PQ分别为 , AD BC 的中点 ADE 与 BCF 均为等边三角形，且AD BC ADE
16、BCF ，连结 , EP FQ，则得EP FQ / EF AB， / AB PQ， 1 2 EF AB / EF PQ 1 2 EF PQ 四边形EPQF 为等腰梯形. 取EF 的中点M ，连结MO，则MO PQ ， 又 , AD EP AD PQ EP PQ P AD 平面EPQF 过O点作OG AB 于G，则 / OG AD , OG OM OG OQ 分别以 , OG OQ OM 的方向为 , x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ， 不妨设 4 AB ，则由条件可得： 1 3 2 (0,0,0), (1, 2,0), (1,2,0), (0,1, 2), ( 1, 2,0
17、), ( , , ) 2 2 2 O A B F D N 8 分 设 ( , , ) n x y z 是平面ABF 的法向量，则 0 0 n AB n AF 即 40 3 2 0 y x y z 所以可取 ( 2,0,1) n 由 3 1 2 ( , , ) 2 2 2 BN ，可得 | | 2 | cos , | 3 | | | BN n BN n BN n 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为 2 3 . 20. 解：()易知O为BD的中点，则AC BD ，又AC PO ， 又BD PO O ， , BD PO 平面PBD， 所以AC 平面PBD A B C D E FG O P N
18、M Q z y x D A B y O P z x C 9 ()方法一：以OB为x轴，OC 为y 轴，过O垂直于 平面ABC向上的直线为z 轴建立如图所示空间 直角坐标系，则 (0, 1,0) A , ( 3,0,0) B( 3 cos ,0, 3 sin ) P 易知平面PBD的法向量为 (0,1,0) j ( 3,1,0) AB ， ( 3 cos ,1, 3 sin ) AP 设平面ABP的法向量为 ( , , ) n x y z 则由 n AB n AP 得， 30 3 cos 3 sin n AB x y n AP xy z=0 解得， 3 cos 1 sin yx + zx ，令
19、1 x ，则 cos 1 (1, 3, ) sin n 则 2 2 | | 3 21 | cos , | 7 | | | (cos 1) 4 sin nj nj nj + 解得， 2 2 (cos 1) 3 sin + ，即 3sin cos 1 = ，即 1 sin 62 ，又 0, 2 ， 3 故 3 21. 解： （） 2 2 :2 C y px 的焦点F 的坐标为 ( ,0) 2 p由点F 到直线 10 xy 的距离为 2 得 | 1| 2 2 2 p 0 p 解得 2 p 又 (1 ) F ，0 为椭圆的一个焦点 22 1 ab 1 C 与 2 C 的公共弦长为26 ， 1 C 与
20、2 C 都关于x轴对称， 而 2 C 的方程为 2 4 yx ，从而 1 C 与 2 C 的公共点的坐标为 3 ( , ) 2 b 22 96 1 4ab 联立解得 22 9, 8 ab ， 1 C 的方程为 22 1 98 xy ，点F 的坐标为 (1,0) （）当l过点F 且垂直于x轴时，l的方程为 1 x 代入 22 1 :1 98 xy C 求得 8 3 y 16 | 3 AB 把 1 x 代入 2 2 :4 C y x 求得 2 y | | 4 CD 此时 1 1 3 1 7 | | | | 16 4 16 AB CD 10 当l与x轴不垂直时，要使l与 2 C 有两个交点，可设l的
21、方程为 ( 1)( 0) y k x k ， 此时设 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) A x y B x y C x y D x y 把直线l的方程与椭圆 1 C 的方程联立得 22 ( 1) 1 98 y k x xy 得 2 2 2 2 (8 9 ) 18 9 72 0 k x k x k 可得 2 12 2 18 89 k xx k ， 2 12 2 9 72 89 k xx k ， 2 1 36 64( 1) 0 k 22 1 2 1 2 | | 1 ( ) 4 AB k x x xx 2 2 2 22 2 2 2 18 9 72
22、48( 1) 1 ( ) 4 8 9 8 9 8 9 k k k k k k k 把直线l的方程与抛物线 2 C 的方程联立得 2 4 ( 1) yx y k x 得 2 2 2 2 (2 4) 0 k x k x k ， 可得 2 34 2 24 k xx k ， 2 2 16( 1) 0 k 22 3422 2 4 4( 1) | | 2 2 kk CD x x kk 22 22 1 1 8 9 | | | | 48( 1) 4( 1) kk AB CD k k 2 2 2 2 2 2 8 9 12 21 8 7 13 48( 1) 48( 1) 16 48( 1) k k k k k k
23、 2 11 k 2 13 13 0 48 48( 1) k 11 | | | | AB CD 17 ( , ) 6 16 综上可得 11 | | | | AB CD 的取值范围是 17 ( , 6 16 . 22. 解：(） () a f x b x ， (1) 1 f a b ，又 (1) 0 fb ， 1, 0 ab (） 2 11 ( ) ln ( ) 2 h x x x m x m ； 11 ( ) ( ) h x x m xm 由 ( ) 0 hx 得 1 ( )( ) 0 x m x m ， xm 或 1 x m 0 m ，当且仅当 1 02 m m 或 1 02 m m 时，函数
24、 () hx在区间 (0,2)内有且仅有一个极 值点 若 1 02 m m ，即 1 0 2 m ，当 (0, ) xm 时 ( ) 0 hx ；当 ( , 2) xm 时 ( ) 0 hx ，函数 () hx有 极大值点xm ， 11 若 1 02 m m ，即 2 m 时，当 1 (0, ) x m 时 ( ) 0 hx ；当 1 ( , 2) x m 时 ( ) 0 hx ，函数 () hx有 极大值点 1 x m ， 综上，m的取值范围是 1 | 0 2 2 m m m 或 (）当 1 m 时，设两切线 12 , ll的倾斜角分别为 , ， 则 1 tan ( ) ( ) 2 f x
25、g x x x ，tan = ， 2 x ， , 均为锐角，当 ，即 2 1 2 x 时，若直线 12 , ll能与x轴围成等腰三角形， 则 2 ；当 ，即 12 x 时，若直线 12 , ll能与x轴围成等腰三角形，则 2 由 2 得， 2 tan 1 2tan tan2 tan ，得 2 1 2( 2) 1 ( 2) x xx = ，即 2 3 8 3 0 xx ，此方程有唯 一解 47 (2,1 2) 3 x ，直线 12 , ll能与x轴围成一个等腰三角形 由 2 得， 2 tan 1 2tan tan2 tan ，得 2 1 2 1 1 x x x -2= ，即 32 2 3 2 0 x x x ， 设 32 ( ) 2 3 2 F x x x x ， 2 ( ) 3 4 3 F x x x ， 当 (2, ) x 时， ( ) 0 Fx ， () Fx在 (2, ) 单调递增，则 () Fx在(1 2, ) 单调递增，由 于 5 ( ) 0 2 F ，且 5 12 2 ，所以 (1 2) 0 F ，则 (1 2) (3) 0 FF ， 即方程 32 2 3 2 0 x x x 在 (2, ) 有唯一解，直线 12 , ll能与x轴围成一个等腰三角形 因此，当 1 m 时，有两处符合题意，所以 12 , ll能与x轴围成等腰三角形时，c值的个数有2个
