1、2018 届江西师范大学附属中学高三 4 月月考数学(理)试题2018.4一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确选项。1. 设集合 AxR|x i|2,ByR|y ,则 R(AB )( )log2x 1A x|0x3 Bx |x0 或 x C x|x 或 x Dx|x0 或 x 312 3 52.已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p) ,若 E(X )=30,D(X )=20,则 n,p 分别等于( )An=45,p= Bn=45 ,p= Cn=90,p= Dn=90,p=23 1233.已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数,则下列命题一
2、定为真命题的是( ) A B ,()xf,()(xRffxC D 000()f000)4.数列a n的通项 an 是关于 x 的不等式 x2xnx(nN *)的解集中的整数个数,则数列a n的前 n 项和Sn=( )An 2 Bn(n+1) C D(n+1)(n+2)125.函数 y=x+cosx 的大致图象是( )A B C D6. 和 是抛物线 上不同两点, 为焦点 ,1,Pxy),(2Qxy42F|2|PFQ以下正确选项是( )A B 2112C Dyy7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B1632C D73568.执行如图所
3、示的程序框图,输出的 S 值为( ) A1 B C D2015201620179. (x 2+3xy) 5 的展开式中,x 5y2 的系数为( )A90 B30 C30 D9010.函数 是偶函数,则函数 的对称轴是 ( )1yfx21yfxA B C D0 12x11. 已知平面直角坐标系 上的区域 D 由不等式组 给定.若 M(x,y)为 D 上动点,点 A 的坐xOy02yx标为( ,1)则 的最大值为2zMAA. B. C.4 D.343212.定义域和值域均为 (常数 a0)的函数 和 大致图象如图所示,给出下列四个命,a()yfxg()yx题:方程 有且仅有三个解;()0fgx方程
4、 有且仅有三个解;f方程 有且仅有九个解;()0fx方程 有且仅有一个解。那么,其中一定正确g的命题是( )A B C D二、填空题 :本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知向量 夹角为 ,且 ,则,ab60|1,|2|7ab|b_.ABCDEA1B1C114.已知 xy=2x+y+2(x1) ,则 x+y 的最小值为 15.设椭圆 的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 在椭圆上运动, 的最大值为2(0)yab 12|PFm, 的最小值为 n,且 m2n,则该椭圆的离心率的取值范围为 12PF16.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球,四个球
5、两两相切,其中底层两球与2容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 .三、解答题:共 70 分。第 17 题到第 21 题为必答题,每题 12 分。第 22 题和第 23 题为选做题,考生只需选择其中之一做答,该小题 10 分。17.在ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,S 是该三角形的面积,且 24sin(3)si()cos(2)314A(1)求角 A 的大小;(2)若角 A 为锐角, ,求边 BC 上的中线 AD 的长.1,bS18.如图,在直三棱柱 中,AB=BC,D 、E 分别为 的1CBA1AB、中点.(1)证明:ED 为异面直线 BB1
6、与 AC1 的公垂线段;w.w.w.zxxk.c.o.m (2)设 AB=1, ,求二面角 A1ADC1 的大小 .2119.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据:编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81 已知甲厂生产的产品共有 98 件.(1)求乙厂生产的产品数量;(2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x175,且 y75 时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
7、(3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列及其均值(即数学期望).20. 已知椭圆21(0)xyab的两个焦点分别为 和 ,过点 的1(,0)Fc2(,)0c2(,0)aEc直线与椭圆相交于 ,AB两点,且 , 。12/FAB12|=|F(1) 求椭圆的离心率; (2) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 2上有一点 (,)0Hmn在 1AFC的外接圆上,求nm的值 21.已知函数 axxf 2)1l()。 ( 为常数, 0a)(1)求证:当 0a时, (f在 ),上是增函数;(2)若对任意的 )2,1(,总存在 120x,使不等式
8、 )1()20amxf成立,求实数 m的取值范围。22. 已知关于 的不等式 (其中 ) 。x2|21|logxa0(1)当 时,求不等式的解集;4a(2)若不等式有解,求实数 的取值范围。a23.已知曲线 的极坐标方程是 ,直线 的参数方程是 ( 为参数) C2sinl 32,54xtyt(1)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设直线 与 轴的交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.lxMNCMN试卷答案1. B 由集合 A 得 2,x2 1Ax| x ,3 3由集合 B 得 By |y0,ABx|0x ,3R(AB)x|x0 或 x 32.C【考点】二项分布与 n 次独立重复
9、试验的模型【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可【解答】解:随机变量 X 服从二项分布 B(n,p) ,若 E(X)=30,D(X)=20,可得 np=30,npq=20,q= ,则 p= ,n=90,故选 C3.C4.C 【考点】数列的求和【分析】通过解不等式求出数列a n的通项 an判断数列a n是什么数列,即可数列a n的前 n 项和 Sn【解答】解:不等式 x2xnx(nN *)的解集为x|0xn+1通项 an是解集中的整数个数a n=n(nN *)a n+1a n=n+1n=1(常数) ,数列a n是首先为 1,公差为 1 的等差数列前 n 项和 Sn= 故选 C5.B
10、【考点】函数的图象与图象变化;函数的图象【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数,从而排除 A、C 两个选项,再看此函数与直线 y=x 的交点情况,即可作出正确的判断【解答】解:由于 f(x)=x+cosx,f(x)=x+cosx,f(x)f(x) ,且 f(x)f(x) ,故此函数是非奇非偶函数,排除 A、C;又当 x= 时,x+cosx=x,即 f(x)的图象与直线 y=x 的交点中有一个点的横坐标为 ,排除 D故选:B6. A试题分析:在抛物线 中焦参数为 ,因此 , ,所以24yx2p1PFx21Qx,即 故选 A21()x217.A【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体
11、积,等基础知识,考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查数学抽象、直观想象等【试题简析】该几何体可以看成:在一个半球上叠加一个 圆锥,然后挖掉一个相同的 圆锥,所以该几1414何体的体积和半球的体积相等,因此 ,故选 A.326Vr【错选原因】错选 B:把该几何体可以看成:在一个半球上叠加一个 圆锥,且未挖掉一个相同的 圆锥.错选 C:把该几何体可以看成:在一个半球上叠加一个 圆锥,且未12挖掉一个相同的 圆锥.14错选 D:圆锥的公式记忆错误.8.D【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用
12、循环计算 S 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案【解答】解:由于 = ,则 n=1,S= 1;n=2,S= + 1= 1;n=3,S=2 + + 1=21;n=2016,S= 1;n=2017,S= 1.20172016,此时不再循环,则输出 S= 1 故选:D9. . D【考点】二项式系数的性质【分析】(x 2+3xy) 5的展开式中通项公式:T r+1= (y) 5r (x 2+3x) r,令 5r=2,解得 r=3展开(x 2+3x) 3,进而得出【解答】解:(x 2+3xy) 5的展开式中通项公式:T r+1= (y) 5r (x 2+3x) r,令 5r=2,解得 r=3(x
13、 2+3x) 3=x6+3(x 2) 23x+3(x 2)(3x) 2+(3x) 3,x 5y2的系数= 9=90故选:D【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10.A11 C本题考查向量数量积的坐标运算、不等式组表示的可行域以及借助于数形结合求最值的能力,难度中等。作出不等式组对应的平面区域如图,且 ,即为 ,2zOMAxy2xzz 的几何意义是斜率为 的直线在 y 轴上的纵截距,当目标函数经过点2时取得最大值 4. 2,12.答案:C 13. 3试题分析:对 两边平方得 ,即 ,解得 .|2|7ab2247ab230b3b考点:向量运算.14.7【考点】基
14、本不等式【分析】由题意可得 y= ,整体代入变形可得 x+y=x1+ +3,由基本不等式可得【解答】解:xy=2x+y+2,y= ,x+y=x+ =x1+ +1=x1+ +32 +3=7当且仅当 x1= 即 x=3 时取等号,故答案为:715. ,1)【考点】椭圆的简单性质【分析】由题椭圆定义利用配方法求得 的最大值 m,再由平面向量的坐标运算求得 的最小值 n,由 m2n,结合隐含条件求得椭圆的离心率的取值范围【解答】解:|PF 1|+|PF2|=2a,|PF 2|=2a|PF 1|(ac|PF 1|a+c) ,|PF 1|PF2|=|PF1|(2a|PF 1|)=|PF 1|2+2a|PF
15、1|=(|PF 1|a) 2+a2ac|PF 1|a+c|PF 1|PF2|= (|PF 1|a) 2+a2b 2,a 2, 的最大值 m=a2;设 P(x,y) ,则 =(cx,y)(cx,y)=x2+y2c 2=x2+ c 2= ,xa,a,x 20,a 2, 的最小值为 n=b2c 2,由 m2n,得 a22(b 2c 2)=2(a 22c 2)=2a 24c 2,a 24c 2,解得 故答案为: 16. cm3.1()2解析:设四个实心铁球的球心为 ,其中 为下层两球的球心, 分别为四1234,O12,O,ABCD个球心在底面的射影。则 ABCD 是一个边长为 的正方形。所以注水高为
16、. 故应注水213241(1)2()17.解析:(1 )原式 2 分4 分因 6 分( 2)因 A 为锐角,则而面积 8 分解法一:又由余弦定理 ,10 分又 ,即 12 分解法二:作 CE 平行于 AB,并延长 AD 交 CE 地 E,在ACE 中,又即这样 12 分18.证明:() 设 O 为 AC 中点,连接 EO,BO ,则 EO C1C,又 C1C B1B,所以 12 EO DB,EOBD 为平行四边形,EDO B ABBC, BOAC,又平面 ABC平面 ACC1A1,BO面 ABC,故 BO平面 ACC1A1,ED平面 ACC1A1,BDAC 1,EDCC 1,EDBB 1,ED
17、 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线6 分解:()连接 A1E,由 AB=1,AA1AC 可知,A 1ACC1 为正方形,2A 1EAC 1,又由 ED平面 ACC1A1 和 ED平面 ADC1 知平面ADC1平面 A1ACC1,A 1E平面 ADC1作 EFAD ,垂足为 F,连接 A1F,则A1FAD ,A 1FE 为二面角 A1ADC 1 的平面角由已知 AB ED=1, AA1AC , AE=A1E=1,2 2,26DEF ,AEEDAD 3tanA 1FE = ,A 1FE60w.w.w.zxxk.c.o.m 1F3所以二面角 A1ADC 1 为 6019.( 1)乙厂生产的产品总数为 ; 3 分45398(2 )样品中优等品的频率为 ,乙厂生产的优等品的数量为 ;6 分223514(3 ) , ,0,12325()iPC(0,1)的分布列为0 1 2350