1、第二章 线性方程组2.1 消元法练习题1. 用消元法解下列线性方程组1） 234234503746xx2） 123412341325xx3）124312417xx2. 讨论下列含有参数的线性方程组，在方程有解时，求方程的解.1） 230x2）12321231x3）1234axb3.证明：线性方程组 1213451xaxa有解的充分必要条件是 ，并在有解时求其通解.10i2.2 n 维向量练习题1 判断并说明理由i）向量组 线性相关的充要条件是 中任意一个向量12,()m 12,m是其余向量的线性组合.ii）如果向量 不能由向量组 线性表示，那么向量组 ，12,m 12,m线性无关.iii)如果
2、向量组 线性相关，则其任一部分组也线性相关.12,m2 设向量 试求向量(2,4)(0,2),(2,04)TTT. ,3 在下列向量中，将向量 表示为其余向量的线性组合.（1） .123(,2)(,0),(1,0)(,1)TTTT(2) 123(,34),(,),(,1,)(0,17),TTTT.424 判断下列向量组是线性相关，还是线性无关.（1） 23(,3)(1,4),(1,47).TTT（2） 123(,7),(,14),(1,).TTT5 设有向量， ， ， .1213120试问当 取何值时，（1） 可由 线性表示，且表达式唯一？123,（2） 可由 线性表示，且表达式不唯一？（3）
3、 不能由 线性表示？123,6 设有向量， ， ， ， .102315312a418a135b试问当 取何值时，,ab（1） 不能由 线性表示？1234,（2） 有 的唯一的表达式？并写出该表达式.7设 是 个互不相同的数， 。证明：向量组12,rtt rn线性无关.1,(,2)Tniii 8如果向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一，证明： 线12,s 12,s性无关.2.3-2.4 向量组的秩和矩阵的秩练习题1 判断并说明理由i) 如果两个向量组等价，则它们所含的向量个数相同.ii) 如果 则 中任意 个向量都线性无关.12,srr 12,s riii) 如果 则 中任一部分组都线性无关
4、.12,sr 12,siv) 若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价.ABB2 求下列向量组的一个极大无关组，指出向量组的秩并将其余向量用此极大无关组线性表示.（1） 234,01,2,13,52.TTTT（2） 12345,3,4,1,1,2,3,12.TTTT3把下列矩阵化为阶梯形并求其秩.（1） 01220;（2）1204;36104已知矩阵30214.56A（1） 计算 的所有三阶子式；（2） 利用（1）的结果求矩阵 的秩.A5设向量组 问 取何值时，该向量组的123,0,1,1,0.TTTtt秩为 2 .6设矩阵125,06A其中 为参数，求矩阵 的秩.7证明：如果向量组
5、（I）可以由向量组（ II）线性表示，那么（I）的秩不超过（II）的秩.8设 是一组 维向量，已知单位向量 可被它们线性表出，证明：12,n 12,n线性无关.2.5 线性方程组解的一般理论练习题1. 求解下列齐次线性方程组，并用基础解系表示方程组的全部解.（1）123445036871xx（2）12345123450547xx2. 判断下列非齐次线性方程组是否有解？在有解时，求出方程组的解.在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解.（1）1234123486521048751xxxx（2）12341234548921xx3讨论下列含参数的线性方程组.当参数为何值时，方程组无解、有唯一解
6、、有无穷多组解？在有无穷多组解时，试用导出组的基础解系表示全部解.（1） 123145x（2） 12313xab（3） 123412341650xxab4设矩阵 齐次线性方程组 的基础解系含有 2 个线性无关的解120,At0AX向量，试求方程组 的全部解.X5. 设三元非齐次线性方程组 ，已知 ， 是它的三个解，并且有Axb()1r23,， ， ，1232301310试求方程组的全部解.6. 证明：如果 是一线性方程组的解，那么 （其中12,t 12t）也是一个解.12t第二章综合练习题一、填空题1. 若 元线性方程组 有解， ，则当 时，有唯一解; 当 时，nAxb()r_有无穷多解. 2
7、. 若 为 5 阶方阵， ，则齐次线性方程组 的一个基础解系含有()4r*0AX个解向量. _3. 若非齐次线性方程组增广矩阵经初等行变换化为 ，那么该方程01143组的通解是 . _4. 含有 个方程的齐次线性方程组 的系数行列式n12nxx，则此方程组有 解， 线性 关. 120n _12, _5. 若方程组1231()4(2)x有无穷多解，那么 . _二、选择题1. 齐次线性方程组 有非零解的充要条件是（ ）0AxA. 系数矩阵 的任意两个列向量线性相关.B. 系数矩阵 的任意两个列向量线性无关.C. 系数矩阵 中至少有一个列向量是其余列向量的线性组合.D. 系数矩阵 中任一列向量都是其
8、余列向量的线性组合.2. 要使 都是线性方程组 的解，只要系数矩阵 为（ 12(,0)(3,1)TT 0AxA） A. B. 23423C. D. 01210423. 设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩AmnAx（ ） ()rA. 小于 B. 小于 nC. 等于 D. 等于4. 设非齐次线性方程组 的导出组为 ，若 仅有零解，则 （ xb0xAxb）A. 必有无穷多组解 B. 必有唯一解C. 必定无解 D.选项（A） 、 （B ） 、 （C）均不对5. 设线性方程组121341xa如果此方程组有解，则常数 应该满足的条件是（ ） 234,aA. B. 12340
9、a12340aC. D. 三、计算题1. 求 的值，使齐次线性方程组123(3) 0()()xx有非零解，并求出通解.2. 设线性方程组12314xabcd已知 是此方程组的两个解，试求该方程组的全部解.120,TT四、证明题设 与 为两个 n 阶方阵，试证 方程组 与 有完全AB()rAB0ABx相同的解.第二章提高练习题一、填空题1 若 4 元线性方程组 的同解方程组是 那么 基础解系有0Ax1320x()rA_,个解向量. _2 设， ，1211nnaaA 12nxb则非齐次线性方程组 的解是(;,)ijij Ax_.x3 方程组123342xx无解，则 _.4 设 为 3 阶非零矩阵，
10、且 则12,3AtB0,AB_.t5 已知线性方程组1231xabcd的两个解为 则该方程组的全部解为1214,33TT_.二、选择题1 设向量组 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）. 123,A. B. 1,123123,C. D. 123, 123,52若向量组 线性无关； 线性相关，则（ ）成立. ,A. 必可由 线性表示,B. 必不可由 线性表示C. 必可由 线性表示,D. 必不可由 线性表示3. 设矩阵 的秩为 ， 为 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（ ）.mnA()RnmIA. 的任意 个列向量必线性无关B. 的任意一个 阶子式不等于零C. 若矩阵 满足 ，则B0BD.
11、通过初等行变换，必可以化为 的形式(,0)mI4. 设 为 矩阵，且 的行向量线性无关，则（ ）. A45AA. 的列向量组线性无关B. 方程组 的增广矩阵 的行向量组线性无关xbC. 方程组 的增广矩阵 的任意 4 个列向量构成的向量组线性无关BD. 方程组 有唯一解5. 齐次线性方程组120naxaxbb的基础解系含有 个解向量，则（ ）. nA. B. 12a 12nbC. D. 120ab(1,2)iamnb三、计算题1.已知向量组 与向量组123,10具有相同的秩，且 可由 线性表示，求1239,0,63173123,的值.,ab2. 设向量组 ，试问：当 满足什么条件1231,054abc,abc时有（1） 可由 线性表出，且表示法唯一.123,（2） 不能由 线性表出？（3） 可由 线性表出，且表示法不唯一？并求出一般表达式.123,3已知线性方程组（I）1243641xx(II) 123451xmxnt（1）求解线性方程组（I） ，用其导出组的基础解系表示全部解；（2）问当方程组（II）中的参数 为何值时，方程组（ I） ， （II）同解？,t四、证明题证明：非齐次线性方程组（1）121212nmmnaxaxb有解的充分必要条件是齐次线性方程组（2）12112120mnnayay的任意一组解 满足方程组（3）,my120.bby
