1、2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 力学量的平均值和算符的引进 2.4 Schrdinger 方程 2.5 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.6 定态Schrodinger方程,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的性质,3个问题？,描写自由粒子的平 面 波,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。,称为 deBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。,(1) 是
2、怎样描述粒子的状态呢？,(2) 如何体现波粒二象性的？,(3) 描写的是什么样的波呢？,一、 波函数,1、对物质波的两种错误的看法,（1） 波由粒子组成,如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,O,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量
3、子化这样一些量子现象。,（2） 粒子由波组成,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不
4、是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,（1） 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,3.电子的衍射实验,（2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，| (r)|2 x y z 表
5、示在 r 点处，体积元xyz中找到粒子的几率。,二、波函数的统计解释,波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，,正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在该点附近的几率。,例：在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度,假设衍射波波幅用(r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用|(r)|2 描述，但意义与经典波不同。,据此，描写粒子的波可以认为是几率波（概率波），反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率幅（概率幅）。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率（概率）解释，它是量子力学的基本原
6、理。,三、波函数的性质,根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：,1、几率和几率密度,在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r,t )=dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 ，称为几率密度。,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,在 t 时刻， r 点，d = dxdydz 体积内，找到由波函数 (r, t)描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C | (r,t)|2 d。 其中，C是比例系数。,2、绝对值平方可积,由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭
7、情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d,这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数。,若, | (r , t)|2 d , 则 C 0, 这是没有意义的。,3、归一化波函数, (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,由于粒子在全空间出现的几率等于 1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度
8、的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态,可见， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,归一化常数,若 (r , t ) 没有归一化，即 | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数），则有： |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 (1),令 （r, t)= (A)-1/2 (r , t ) (2)则， |（r, t) |2 d= 1 (3) 称满足(3)式的波函数 是归一化的波函数，（3）式称为归一化条件，把 换成的步骤称为归一化， 使
9、 换成的常数 (A)-1/2 称为归一化因子。,注意：对归一化波函数仍有一个模为 1 的因子不定性。若 (r , t )是归一化波函数，那么， expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波。,一、态叠加原理 二、动量空间（表象）的波函数,2.2 态叠加原理,一、态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,考虑电
10、子双缝衍射,则，= C11 + C22 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。,一个电子有 1 和 2 两种可能的状态， 是这两种状态的叠加。,态叠加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . 其中 C1 , C2
11、 ,.,Cn ,.为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分的处于n，.,一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那么它们的线性叠加 = C11 + C22 （其中C1 和 C2 是复常数）也是该体系的一个可能状态，这就是量子力学的态叠加原理。,例：,电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量 p 运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie 平面波表示,根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即,而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。,p,二、动量空间（表象）的波函数,任何一个波函
12、数 (r,t) 都可以看做是各种不同动量的平面波的叠加。,令,则 可按p 展开,.(1),以,乘（2）式，对 r 在全空间积分，得,.(2),.(3),是以坐标 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； 是以动量 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。,故展开系数,.(4),在一维情况下，（2）（4）两式变为：,.(5),.(6),补充数学知识： 1、函数 2、Fourier变换,若 (r,t)已归一化，则 c(p, t)也是归一化的,2.3 Schrdinger 方程,一、引 二、引进方程的基本考虑 三、自由粒子满足的方程 四、势场 V (r
13、) 中运动的粒子 五、多粒子体系的Schrdinger方程,这些问题在1926年Schrdinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。,微观粒子量子状态用波函数(r,t)完全描述: 波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：,1、 在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数。 2、 波函数如何随时间演化。,一、引,二、引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t， 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的
14、二阶常微分方程。,让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,1、经典情况,2、量子情况,（3）第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,（1）因为，t = t0 时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间的一阶导数。,（2）另一方面，要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那么。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应该是方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程
15、中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。,三、自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得：,将上式对 t 微商，得：,(1)(2)式,满足上述构造方程的三个条件,讨论：,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E = p2/2 写成如下方程形式：,即得自由粒子满足的方程（3）。,(1)(2)式,做算符替换,四、势场 V(r) 中运动的粒子,该方程称为 Schrdinger 方程，也常称为波动方程。,若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：,将其作用于波函数得：,做（4）式的算符替
16、换得：,五、 多粒子体系的 Schrdinger 方程,设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 i (i = 1, 2,., N) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) 则多粒子体系的 Schrdinger 方程可表示为：,多粒子体系 Hamilton 量,对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：,而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：,假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。,例如：,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一、定域几率守恒
17、二、再论波函数的性质,一、 定域几率守恒,考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即,在讨论了波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内出现的几率(即几率密度)是：,(1),(2),概率密度随时间的变化率,(3),由Schrdinger 方程及其共轭式：,(4),(5),将（4）（5）两式带入（3）式，得,(6),令,称概率流密度矢量,则有,(7),（7）式是概率（粒子数）守恒定律的微分形式，它具有连续性方程的形式。,将（
18、7）式对空间任意一个体积 V 求积分：,(8),应用矢量分析中的高斯定理，把上式等号右边的体积分变为面积分，得,(9),上式表明：单位时间内，V中概率的增加 = 穿过表面S流入体积V的概率。,概率流密度矢量，它在S面上的法向分量表示单位时间内流过S面上单位面积的概率。,对束缚态，,当体积V扩展到整个空间，有,则：,(10),表明在全空间中找到粒子的几率总和不随时间而变。证毕。,讨论：,（1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。,（2） 以粒子质量乘连续性方程等号两边，得：,量子力学的质量守恒定律： 单位时间内体
19、积V内质量的增加 = 穿过V的外界面S流进的质量。,质量密度 质量流密度矢量,其中,（3）同理可得量子力学的电荷守恒定律：,其中,电荷密度 电流密度矢量,二、再论波函数的性质,(1) 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d (2) 已知 (r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 (3) 知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrdinger方程即可确定以后时刻的状态。,1、波
20、函数完全描述粒子的状态,2、波函数标准条件,（1） 根据Born统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。,上式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以S是任意闭合面。要使积分有意义， 必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。,（2）根据粒子数守恒定律 :,概括之，波函数在全空间每一点通常应满足：单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。,量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态,量子力学基本假定 II
21、波函数随时间的演化遵从 Schrdinger 方程,3、量子力学基本假定 I、 II,2.5 定态Schrdinger方程,一、定态Schrdinger方程 二、Hamilton算符和能量本征值方程 三、求解定态问题的步骤 四、定态的性质,一、定态Schrdinger方程,现在让我们讨论有外场情况下的定态 Schrdinger 方程：,令：,若V(r)与时间t无关，可以用分离变量法求解,(1),(2),将（2）式带入（1）式，得,(3),两边同除,，得,(4),（4）式两边是相互无关的物理量，故等式应等于与t,r无关的常数，以 E 表示这个常数，则由等式左右两边等于E，有,(5),(6),方程
22、（5)的解是,(7),c为任意常数。于是Schrdinger方程的解为,(8),该方程称为定态 Schrdinger 方程，(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻(r,0)的定态波函数。,（8）式波函数的角频率=E/。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。,空间波函数(r)可由方程(6),和具体问题(r)应满足的边界条件得出。,二、Hamilton算符和能量本征值方程,1、Hamilton 算符,二方程的特点：都是以一个算符作用于(r, t)等于E
23、(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。,两边乘,两边乘,(9),(10),是相当的。这两个算符都称为能量算符。,也可看出，作用于任一波函数上的二算符,再由 Schrdinger 方程：,与经典力学中,称为哈密顿（Hamilton)函数相似。,这种算符又称为哈密顿算符，以,(11),2、能量本征值方程,将,改写成,（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数。这与数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题。,于是有，,（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条
24、件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 的本征值；称为算符 的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。,三、求解定态问题的步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：,1、列出定态 Schrdinger方程,2、根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得：,3、写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数,4、通过归一化确定归一化系数 Cn,四、定态
25、的性质,2、几率流密度与时间无关,1、粒子在空间的几率密度与时间无关,综上所述，当满足下列三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数： （1） 描述的状态其能量有确定的值； （2） 满足定态Schrdinger方程； （3） |2 与 t无关。,3、任何不显含t的力学量平均值与t 无关,2.6 一维无限深方势阱,一、一维无限深方势阱 二、宇称 三、讨论,求解薛定谔方程分 4 步： 1、列出各势域的一维 S 方程 2、解方程 3、使用波函数标准条件定解 4、定归一化系数,一、一维无限深方势阱,(1),1、列出各势域的 S 方程,区：,区：,区：,令,(2),(3),(4),(5),方程简化为：,
26、(6),(7),(8),2.解方程,区,区,区,（1）区、区中，V,根据波函数应满足有限性和连续性条件，则有（见附录）（6）式（8）式的解：,(9),（2）区即（7）式的解：,(10),（1）由波函数 连续条件,3、使用标准条件,代入（9）（10）式，得,(11),(12),由（12）式，得,(13),A和B不能同时为零，否则 到处为零，这在物理上是没有意义的。因此我们得到两组解：,(14),(15),(16),由此可得，,对于第一组解，n为奇数；对于第二组解，n为偶数。n=0对应于恒为零的解。n等于负整数的解与n等于正整数解线性相关（仅差一负号），都不取。,(17),将（17）式代入,得体系
27、的能量为,，n为正整数,(18),对应于不同的n,能级是分立的。,将（15）（16）代入（10）式，并考虑（9）式（17）式，得到一组解的波函数为：,(19),常系数A可由归一化条件,(20),（19）（20）可以并为一个式子,(21),另一组解的波函数为：,(22),求出。,4.由归一化条件定系数A,取实数，则有,(23),一维无限深方势阱中粒子的定态波函数,(24),由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。,体系能量最低的态称为基态，其上为第一激发态，第二激发态，。一维无限深方势阱
28、中粒子的基态是n=1的本征态。,三、宇称,空间反射：空间矢量反向的操作。,（1）如果有：,称波函数具有正宇称（或偶宇称）；,称波函数具有负宇称（或奇宇称）；,（2）如果有：,，则波函数没有确定的宇称。,，则波函数有确定的宇称。,四、讨论,1、n = 1, 基态,与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。,2、n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。而n = k, k=1,2,.,可见，n取负整数与正整数描写同一状态。,3、波函数宇称,4、n*(x) = n(x) 即波函数是实函数。,5、定 态 波 函 数,2.7 线性谐振子,一、引言 二、
29、线性谐振子 三、实例,一、引言,1、何谓谐振子,在经典力学中，质量为 的粒子，受弹性力 F= -kx 作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：,其解为 x= Asin(t + )。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。,若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则,(1),2、为什么研究线性谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论
30、在理论上还是在应用上都是很重要的。,例如双原子分子，两原子间的势 V 是二者相对距离 x 的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值 V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：,(2),取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：,可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。,(3),二、线性谐振子,1、方程的建立,线性谐振子的 Hamilton量：,(4),则定态 Schrdinger 方程可写为 ：,为简单计，引入无量纲变量代替 x,(5),(6),2、求解,（1）渐近解,为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 时波函数的行为。在此
31、情况下， 1,当 时，应有 c2 = 0，,(12),(13),其中 H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： 当有限时，H()有限； 当时，H()的行为要保证() 0。,(2) H()满足的方程,将()表达式代入方程得关于待求函数 H()所满足的方程：,(14),(15),(3) 级数解,我们以级数形式来求解。 为此令：,(16),(17),(18),(19),用 k 代替 k,该式对任意都成立，故同次幂前的系数均应为零,(20),(21),a0 0, a1=0 Heven(); a1 0, a0=0 Hodd().,即： ak+2(k+2)(k+1)- ak2k + ak(
32、-1) = 0 从而导出系数 ak 的递推公式：,则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2,由上式可以看出： a0 决定所有角标k为偶数的系数；a1 决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：,只含偶次幂项,只含奇次幂项,(22),(23),(24),3、应用标准条件,单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。,因为H()是一个幂级数，故应考虑它的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及x=0, x 或=0,。,(I)=0 exp-2/2|
33、=0 = 1 Heven()|=0 = a0 Hodd()|=0 = 0 皆有限,(II) 需要考虑无穷级数H()的收敛性,为此考察相邻两项之比：,考察幂级数exp2的展开式的收敛性,比较二级数可知：当时， H()的渐近行为与exp2相同。,(25),(26),(27),所以总波函数有如下发散行为：,为了满足波函数有限性要求，幂级数 H() 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H() 从某一项（比如第 n 项,令n=k）起,以后各项的系数均为零，即 an 0, an+2 = 0.,(28),(29),(30),(31),结论:基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。,
34、4、厄密多项式,将 = 2n+1代入厄米微分方程,得,(32),(33),(30)代入（31）式，得一维线性谐振子的能级公式,由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是 n ,其系数是 2n。,其解是厄密多项式 H(),则波函数的解,厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：,从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：,(34),(35),(36),(37),基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)的递推关系：,例：已知 H0 = 1, H1=2，则根据上述递推关系得出： H2 = 2H1-2nH0= 42 -2,下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H0=1 H1=2 H2=42-2H3=83
35、-12H4 = 164-482+12 H5=325-1603+120,(38),(39),5、求归一化系数,作变量代换，因为=x，d=dx,分 步 积 分,该式第一项是一个多项式与exp-2 的乘积，当代入上下限=后，该项为零。,(40),继续分步积分到底,因为Hn的最高次项n的系数是2n，所以dnHn/dn = 2n n!。,于是归一化系数,(41),(42),则谐振子波函数为：,6、讨论,（1）上式表明，Hn()的最高次项是(2)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含的奇次项。,(43),（3） 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以
36、能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0=1/2 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。,（2） n具有 n 宇称,上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-2/2是的偶函数，所以n的宇称由厄密多项式 Hn() 决定为 n 宇称。,(44),（4） 波函数,然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：0() = |0()|2 = N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在= 0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。,以基态为例
37、，在经典情形下，粒子将被限制在|x| V0 情况,上述三个区域的 Schrdinger 方程可写为：,(2),I区,II区,III 区,(3),(4),因为 E 0, E V0, 所以 k1 0,k2 0. 上面的方程可改写为：,(5),(6),定态波函数是1,2,3 分别乘以含时因子 exp-iEt/。,（6）式 1 中第一项是沿 x 正向传播的平面波，第二项是沿 x 负向传播的平面波。由于在 x a 的III 区没有反射波，所以 C=0，于是解为：,（1） 波函数连续,利用波函数标准条件来定系数。首先， 解单值、有限条件满足。,(7),(8),综合整理记之,（2） 波函数导数连续,(9),
38、(10),(11),(12),（3） 求解线性方程组,（4） 透射系数和反射系数,求解方程组得:,为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。,(13),(14),其物理意义是：描述贯穿到 x a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂直 x 方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。,同理得反射系数：,2、E V0 情况,因 k2 = 2(E-V0)/1/2，当 E V0 时，k2 是虚数，,故可令： k2=ik3， 其中k3=2(V0-E)/ 1/2。 这样把前面公式中的 k2 换成 ik3,(23),得,即使 E
39、1时,透射系数则变为：,(26),(27),粗略估计，认为 k1 k3 （相当于E V0/2）, 则 D0 = 4是一常数。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。,于是：,故4可略,其中：,(28),(29),例1: 入射粒子为电子。,设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得 D 0.51。,若a=5 10-8cm = 5 ， 则 D 0.024，可见 透射系数迅速减小。,质子与电子质量比 p/e 1840。 对于a = 2 则 D 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。,例2: 入射粒子换成质子。,2、任意形状的势垒,则 x1 x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即,此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。,对每一小方势垒透射系数,可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。,(30),四、应用实例,1、原子钟 2、场致发射（冷发射）3. 扫描隧道显微镜（STM）4. 衰变5. 隧道二极管,
