1、1二次函数知识点汇总 姓名： 。1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax(1)抛 物 线 的 顶 点 是 坐 标 原 点 ， 对 称 轴 是 轴 .(2)函 数 的 图 像 与 的y）（ 0y2a符 号 关 系 . 当 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ； 当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶0a点 为 其 最 高 点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合 ) 轴的抛物线.cbxay2 y4.二 次 函 数 用 配 方 法 可 化 成 ： 的 形 式 ， 其 中khxy2.kbh4，5.二
2、次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ；2axykxy22xaykxay2.cb6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ：当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 相 等 ， 抛 物 线 的 开 口 大 小 、 形 状 相 同 .0a0aa平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口a方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法： ，顶点是 ，对称轴是abcx
3、acbxy4222 ），（ abc422直线 .ax(2)配 方 法 ： 运 用 配 方 法 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 的 形 式 ， 得 到 顶 点 为 ( , )， 对 称khxy2 hk轴 是 .h(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya(2) 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 .由 于 抛
4、物 线 的 对 称 轴 是 直 线 ,故 ：b cbx2 abx2 时 ， 对 称 轴 为 轴 ； (即 、 同 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 左 侧 ；0y0aby (即 、 异 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 右 侧 .aby(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccx22当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：0xcycbxay2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0c0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2
5、axy( 轴)0xy(0,0)k( 轴) (0, )k2hh( ,0)hxy x( , )cba2当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。一三点式。1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ ，0） ，B（ ，0） ，C（0，-3）三点，求抛物线的332解析式。2，已知抛物线 y=a(x-1) +4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。二顶点式。1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1） ，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a) 2-2a 的顶点为
6、（3，1） ，求抛物线的解析式。三交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0） ， （1，0）求抛物线 y= a(x-2a)(x-b)的解析式。21四定点式。1，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 经过 x 轴上一定52axy点 Q，直线 经过点 Q,求抛物线的解析式。2)(xy2，抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的
7、解析式。五平移式。2，把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2，抛物线 向上平移 ,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.3xy六距离式。31，抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m0) 与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。七对称轴式。1，抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y
8、轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。1，已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= OC，求此抛物线的解析式。43八对称式。1.平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0） ，AC=16，D（2，6） 。AD 交 y 轴于E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式。2.求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点
9、，求抛物线的解析式。2， 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。十判别式式。1.已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。2.已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。3.已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。12.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为( )ycbaxyc,0(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbx
10、ay2 h).cbha2(3)抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对一元二次方程cy2x12x的 两 个 实 数 根 .抛 物 线 与 轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别02x式 判 定 ：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa(5)一次函数 的图像
11、 与二次函数 的图像 的交点，knxyl 0acbxyG4由方程组的解的数目来确定：cbxaynk2方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lG(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故 021， xBA1x202xacb12, acbacxxx 44222121213二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程 是二次函数 当 y 的值为 0 时的情况cbay2 xy2(2)二 次 函 数 的 图 象 与 轴 的 交 点 有 三 种 情 况 ： 有 两 个
12、 交 点 、 有 一 个 交 点 、xx没 有 交 点 ； 当 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 时 ， 交 点 的 横 坐 标 就 是 当时 自 变 量 的 值 ， 即 一 元 二 次 方 程 的 根 0y 02cba(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程cbay2有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个cbxa2 cbxay2x交点时，则一元二次方程 有两个相等的实数根；当二次函数02x的图象与 轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根y 014.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)
13、二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值知识点一、二次函数的概念1下列函数中，其形状为抛物线的是（ ）A B C Dxy35xyxy2121xy2若函数 是二次函数，则 的值为 .1312mm3若二次函数 的图象经过点（2，1） ，则 的值为 .5知识点二、二次函数的图象和性质1、二次函数的性质： 二次函数 cbxay2 khxay2开口方向 0 时，开口 ；0 时，开口 。 0 时，开口 ；0 时，开口 。对称轴顶点坐标 （ ， ） （ ， ）练一练：函数 开口方向 对称轴 顶点坐标2xy12)(35xy
14、22、二次函数的增减性以 分界.（1）当 a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 .即当 时， 随 的增xyx大而 ；在对称轴的右侧，曲线从左往右 .即当 时， 随 的增大而 .（2）当 a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 .即当 时， 随 的增xyx大而 ；在对称轴的右侧，曲线从左往右 .即当 时， 随 的增大而 .3、二次函数的最值在 处取得.（1）当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最 点， 因而 y 有 值；（2）当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最 点， 因而 y 有 值；练一练：（1）二次函数 ，当 时， 有最 值为 ；1)5(22xyx当 时， 随 的增大而 ；当 时， 随 的增大
15、而 x xx。（2）抛物线 上三点（2，a） 、(1，b)， （3，c） ，则 a、b、c 的大小关系2xy是（ ）6 -54321O345xyA、abc B bac C cab D 无法比较大小4、二次函数的平移规律：平方内 ， 。（1）把抛物线 向左平移 2 个，再向上平移 3 个单位，所得的函数关系式是（ 21yx）A、 B、 C、 D、2()42()yx2()4yx2(6yx（2）将抛物线 先向下平移 1 个，再向左平移 4 个单位，则平移后的函数式是：5xy练一练：已知抛物线的解析式为 ，请按下列要求作答：4)(2xy（1）开口向_，顶点坐标是_，对称轴是_，（2）在右边空白处画出它
16、的大致图像；（3）观察图像，当 时， 随 的增大而 ，xyx当 时， 随 的增大而 ，当 =_时， 有最_值 = _。（4）图像与 轴的交点是： ，与 轴的交点是： 。y（5）当 时， 0；当 时, 0 时 x 的取值范围知识点七、二次函数的 、 、 、 、 、 的几何意义abchk如下图，抛物线的解析式为 yax 2bxc ：（1）如图， 由图可得： （2） 由图可得：a_0 a_0b_0 b_0c_0 c_0_0 b 24ac_0知识点八、直线和抛物线的交点1在右边的网格中作函数 的图象，利用图象求：12xy（1）方程 的近似解（精确到十分位）012x（2）方程 的近似解（精确到十分位）（
17、3）方程 的近似解（精确到十分位）2已知函数 yax 2bxc （a ，b，c 为常数，且 a0）的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2bxc 40 的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实数根 B有两个异号实数根C有两个相等实数根 D无实数根3 （1）抛物线 与 轴的交点是： ；29yxy（2）抛物线 与 轴的交点是： ；(0)abc（3）抛物线 与 轴的交点是： 。（4）抛物线 与 x 轴交点为 ，与 y 轴交点为 652。（5）二次函数 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 1my。4若抛物线 与 轴有两个交点 A、B，且已知 AB=3,求 的值。2x10知识点九、二次函数与二次方
18、程、不等式的关系1如图 1 一元二次方程 ax2bxc3 的解为_2如图 2 是二次函数 yaxb的部分图象，由图象可知不等式 20axbc的解集是（ ）A、 5x B、 5 C、 15x且 D、 15或3二次函数 的图象如图 3，若方程 有实数根，则 m 的最大值2 20abxm为（ ）A.-3 B.3 C.-5 D.9图 1 图 34利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式：（1）方程 ax2bxc 0 的根为_；（2）方程 ax2bxc 3 的根为_；（3）方程 ax2bxc 4 的根为_；（4）不等式 ax2bxc 0 的解集为_；（5）不等式 ax2bxc 0 的解集为_；（6）不
19、等式4ax 2bxc0 的解集为_5如图，直线记为 y1，抛物线记为 y2：（1）若 y1y 2，则 x 的范围是 ；（2）若 y1y 2，则 x 的 值 是 ；（3）若 y1y 2，则 x 的范围是 。知识点十、二次函数与实际问题（1、面积问题 2、最大利润问题 3、抛物线型桥梁、涵洞问题）图 2yx111、面积问题：要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用 40 米的篱笆围成矩形花圃 ABCD，已知墙长 16 米，设 AB 长为 x 米，矩形 ABCD 面积为 S 平方米。（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最
20、大？最大面积是多少？注：若顶点不在自变量的取值范围，函数的最值要根据结合图像来确定。练一练（1）矩形的周长为 48，一边长为 x，面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为 ，当 x= 时，函数有最大值，为 。（2）如图，矩形 ABCD 的两边长 AB=18cm，AD =4cm，点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，P在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速向 B 点方向运动， Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度匀速向 C 点运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动。设运动时间为 x秒，PBQ 的面积为 y（cm 2）.（1）求 y 关于 x 的函数关系
21、式，并写出 x 的取值范围；（2）求PBQ 的面积的最大值.2、最大利润问题某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与日销售量 y（件）之间关系如下表：x（元） 130 150 165y（件） 70 50 35若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？练一练某旅行社团去外地旅游，30 人起组团，每人收费 800 元，旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅行团每增加 1 人，每人的收费就降低 10 元。请计算当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？DCBA123、抛物线型桥梁、涵洞问题：
22、运用数学建模的思想某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽 AB4 米，顶部 C 离地面的高度为 4.4 米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为 2.8 米，装货宽度为 2.4 米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？专题一、抛物线与三角形、四边形等图形结合问题1、二次函数 的图象的顶点与原点的距离为 5，求 的值cxy62 c2、如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0 ） 、B(1,0) 、C(2，1)，交 y 轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM
23、 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标。3、如图，已知 A，B 两点坐标分别为（28，0）和（0， 28） ，动点 P 从 A 开始在线段 AO上以每秒 3 个单位长度的速度向原点 O 运动动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1 个单位长度的速度向上平行移动（即 EFx 轴） ，并且分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E，F，连接FP，设动点 P 与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t 秒（1）当 t=1 秒时，求梯形 OPFE 的面积；（2）t 为何值时，梯形 OPFE 的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形 OPFE 的面积等于APF 的面积时，求线段 PF 的
24、长13图 2专题二、二次函数专项训练（1）1根据右表中的二次函数 的自变量 与函数 的对应值，可判断该二次函2yaxbcxy数的图象与 轴（ x ） A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在 轴两侧 yC有两个交点，且它们均在 轴同侧 D无交点y2二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为（ ）A （3， 3） B （2， 2） C （1，3） D （0，6）3已知函数 的图象如图 1 所示，那么关于 的方程axbcx的根的情况是（ ）20A无实数根; B有两个相等实数根;C有两个异号实数根; D有两
25、个同号不等实数根4抛物线 的对称轴是直线（ ） (1)3()yaxaA、 B、 C、 D、3x3x5抛物线 2的图象与坐标轴交点的个数是（ ）A、没有交点 B、只有一个交点 C、有且只有两个交点 D、有且只有三个交点6 （09 兰州）二次函数 的图象如图 2 所示，则下列关系式不正确的是（ cbxay2）A、 0 B、 0 C、 0 D 、 0acaacb427函数 与 的图象可能是（ ）2yx3 102y74xyxyxyx ABCDO O O O148生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润 y 和月份 n 之间函数关系式为 2yn1
26、4，则该企业一年中应停产的月份是（ ）A1 月、2 月、3 月 B2 月、3 月、4 月C1 月、2 月、12 月 D1 月、11 月、12 月9如右图为抛物线 的图象，回答下列问题：2yaxbc(0)（1）图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，（2）当 时， 随 的增大而增大，当 = 时，函数有最 值，这个值为 x x。（3）当 = 时， =0，y当 满足 时， ， 当 满足 时， 。00y10二次函数 nxy62的部分图像如右图所示，若关于 x的一元二次方程 02x的一个解为 1x，则另一个解 2= 。11在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x-3 ） 2+k 与 y 轴的交点，
27、点 B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 12已知抛物线 的顶点 A 在直线 上，求抛物线的顶点坐标hy42 14x13如图二次函数经过 A、B、C 三点，（1）求此二次函数的解析式； （2）求该函数的顶点坐标 P 和与 x 轴的另一个交点 D；（3）求ADP 的面积； （4）当 时， 随 的增大而减小，y（5）当 时， 0；当 时, 0。y14.已知二次函数 ，解答下列问题：24yx（1）用配方法二次函数 化成 的形式为 ，2x2()yaxhk（2）该函数的开口方向是 ，对称轴方程是 ，顶点坐标是 。选取适当的数据填入下表，并在右边的网格内描点画图；x y y x 12312341223O15（3）当 时， 随 的增大而减小，yx当 时， 随 的增大而增大。15.如图是抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽 4米，水位上升 3 米就达到警戒线 CD，这时水面宽 46米，若洪水到来时，水位以每小时 0.25 米速度上升，求3水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
