1、12014 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=x|-10，则( )Asin 0 Bcos0 Csin20 Dcos2 03设 ，则|z|=( )iz1A B C D222234已知双曲线 的离心率为 2，则 a=( )0(132ayxA2 B C D1655设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x) g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x )|是奇函数 D|f
2、(x)g(x)| 是奇函数6 设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点，则 ( )FCEBA B C DA21217在函数 y= cos|2x|， y=|cosx|， ， 中，)6cos(xy )42tan(xy最小正周期为 的所有函数为 ( )A B C D8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱9执行下面的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的 M=( )A B C D2037165810已知抛物线 C：y 2=x 的焦点为 F，A(x 0,y0)是 C 上一点
3、，| AF|= x0，则 x0=( )54A1 B2 C4 D8211设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a= ( ),1xyaA -5 B3 C-5 或 3 D5 或-312已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )A(2,+) B(1,+) C(-, -2) D(-, -1) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上13将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_.14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C
4、 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.15设函数 ，则使得 f(x)2成立的 x 的取值范围是_.13,()xef16如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角：MAN=60， C 点的仰角CAB=45 以及MAC=75；从 C 点测得MCA=60. 已知山高 BC=100m，则山高 MN=_m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6 题，共 70 分。17 （本小题满分 12 分）已知a n是递增的等差数列，a
5、 2，a 4 是方程 x2-5x+6=0 的根。()求a n的通项公式； ()求数列 的前 n 项和.n318 （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125)频数 6 26 38 22 8()在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：()估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；()根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”
6、的规定？19(本题满分12分)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面 BB1C1C.()证明：B 1CAB ;()若 ACAB 1，CBB 1=60，BC=1 ，求三棱柱 ABC-A1B1C1的高.420 （本小题满分 12 分）已知点 P(2,2)，圆 C: x2+y2-8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点.()求 M 的轨迹方程； ()当| OP|=|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积.21 （本小题满分 12 分）设函数 f(x)= alnx+ -bx
7、(a1)，曲线 y=f(x)在点(1, f (1)处的切线斜率为21x0()求 b; ()若存在 x01，使得 f(x0)0)，依题 f (1)=0，解得 b=1， 3 分()(1)afxb()由() 知f(x)= alnx+ -x， ，22(1)(1)axaxf因为a1，所以f (x )=0有两根： x=1或 。 4分(1)若 ，则 ，在(1,+)上，f (x )0，f (x )单调递增.121a所以存在x 01，使得f( x0)0，f (x )单调递增.,所以存在x 01，使得f( x0)1， 则 。存在 x01，符合条件。11()1af分综上，a 的取值范围为： 。 122,)(,)分2
8、2解：() 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）cos3inxy直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0 5 分()曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin)到 l 的距离为 ，5|4cos3in6|d则 ，其中 为锐角，且 ，25| |sin()6|sin30dPA ta当 sin (+)=-1 时，|PA |取得最大值，最大值为 ，258当 sin (+)=-1 时，|PA |取得最小值，最小值为 . 10 分252014 年全国高考新课标 1 卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集
9、合 M=x|-10，则( )CAsin 0 Bcos0 Csin20 Dcos2 03设 ，则|z|=( )Biz1A B C D222234已知双曲线 的离心率为 2，则 a=( )D)0(132ayxA2 B C D1655设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )CAf(x) g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g( x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数6设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点，则 ( )AFCEBA B C DA21217在函数 y= cos
10、|2x|， y=|cosx|， ， 中，)6cos(xy )42tan(xy最小正周期为 的所有函数为 ( )AA B C D8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱9执行下面的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的 M=( )DA B C D2037165910已知抛物线 C：y 2=x 的焦点为 F，A(x 0,y0)是 C 上一点，| AF|= ，则 x0=( )054AA1 B2 C4 D811设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a= ( )B,1xy
11、aB -5 B3 C-5 或 3 D5 或-312已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )CA(2,+) B(1,+) C(-, -2) D(-, -1) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上13将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_. 2314甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_. A
12、15设函数 ，则使得 f(x)2成立的 x 的取值范围是_.(-,813,()xef16如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角：MAN=60， C 点的仰角CAB=45 以及MAC=75；从 C 点测得MCA=60. 已知山高 BC=100m，则山高 MN=_m. 150三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做 6 题，共 70 分。17 （本小题满分 12 分）已知a n是递增的等差数列，a 2，a 4 是方程 x2-5x+6=0 的根。()求a n的通项公式； ()求数列 的前 n 项和.n17解：() 解 x2
13、-5x+6=0 得的两个根为 2，3，依题 a2=2，a 4=3，2 分所以 2d=1，故 ，从而 ， 4 分11a10所以通项公式为 an=a2+(n-2)d 6 分1() 由() 知 ，设 的前 n 项和为 Sn，则1， ， 8 分234.2nnS3412.2nS-得 3411.nS()所以， 12 分1nn18 （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125)频数 6 26 38 22 8()在答题卡上作出这些数据的频率分
14、布直方图：()估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；()根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？18解：()4 分()质量指标值的样本平均数为=800.06+900.26+1000.38x+1100.22+1200.08=100.所以平均数估计值为 100，6 分质量指标值的样本方差为s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+(10)20.22+(20)20.08=104.方差的估计值为 104. 8 分()依题 0.38+0.22+0.08=0.68 0
15、)，依题 f (1)=0，解得 b=1， 3 分1afxb()由() 知f(x)= alnx+ -x， ，22()()1xaf因为a1，所以f (x )=0有两根： x=1或 。 4分1a(1)若 ，则 ，在(1,+)上，f (x )0，f (x )单调递增.121a所以存在x 01，使得f( x0)0，f (x )单调递增.,所以存在x 01，使得f( x0)1， 则 。存在 x01，符合条件。111()21aaf分综上，a 的取值范围为： 。 12,)(,)分22 （本小题满分 10 分）选修 4-1，几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线
16、交于点 E，且 CB=CE.()证明： D=E ；()设 AD 不是O 的直径， AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明： ADE 为等边三角形. 22证明：() 证明：依题 A,B,C,D 四点共圆，所以D= CBE，又 CB=CE，CBE= E ，所以D= E. 5 分()设 BC 的中点为 N，连结 MN，则由 MB=MC，知 MNBC，故 O 在直线 MN 上，又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 O MAD，即 MNAD 。所以 ADBC，故A=CBE，又CBE=E ，故 A =E，由() 知，D=E，所以 ADE 为等边三角形。10 分23 （本小题满分 10 分）
17、选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C： ，直线 l： （t 为参数）2149xy2+xy()写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；()过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值.23解：() 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 3 分2cos3inxy直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0 5 分()曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin)到 l 的距离为 ，5|4cos3in6|d则 ，其中 为锐角，且 ，825| |sin()6|sin30dPA ta分14当 sin (+)=-1 时，|PA |取得最大
18、值，最大值为 ，25当 sin (+)=1 时，|PA |取得最小值，最小值为 . 10 分24 （本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲若 a0,b0，且 ab1()求 a3+b3 的最小值；()是否存在 a,b，使得 2a+3b=6? 并说明理由.24解：()由 ，得 ab2，且当 时等号成立 3 分2ab所以 a3+b3 ，且当 时等号成立342所以 a3+b3 的最小值为 . 5 分2()由() 知， ， 8 分643ab而 ，从而不存在 a,b，使得 2a+3b=6. 10 分46小题详解一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，
19、只有一项是符合题目要求的1已知集合 M=x|-10，则( ) CAsin 0 Bcos0 Csin20 Dcos2 0解：tan0 ， 在一或三象限，所以sin与cos同号，故选C3设 ，则|z|=( ) B1ziA B C D22223解： ，故选 B111,()iizzi4已知双曲线 的离心率为 2，则 a=( ) D)0(32ayxA2 B C D16515解： ，解得 a=1，故选 D223cabe5设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) CAf(x) g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数 C f(x)
20、|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x )|是奇函数解：设 F(x)=f(x)|g(x)|，依题可得 F(-x)=-F(x)， F(x )为奇函数，故选 C6设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点，则 ( )EBA B C DA2121解： = ,故选 A+C()A7在函数 y= cos|2x|， y=|cosx|， ， 中，6cosxy )42tan(xy最小正周期为 的所有函数为 ( ) AA B C D解：由 是偶函数可知y=cos|2 x|=cos2x，最小正周期为cosy；y= |cosx|的最小正周期也是 ；中函数最小正周期也是 ；正确答案为，故选 A8
21、如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱. 故选 B9执行下面的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的 M=( )DA B C D20371658解：运行程序 M,a,b,n 依次为 ; ; ；输出 .3(,2)3(,)158(,4)158故选 D.10已知抛物线 C：y 2=x 的焦点为 F，A(x 0,y0)是 C 上一点，| AF|= ，则 x0=( )0AA1 B2 C4 D816解：根据抛物线的定义可知|AF|= ，解之得 x0=1. 故选 A001
22、54x11设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a= ( )B,yaA-5 B3 C-5 或 3 D5 或-3解：联立x+y=a与x-y=-1解得交点 M ， z取得最值 ，1(,)2172a解之得a=-5或a=3. 但a=-5 时，z取得最大值，舍去，所以a=3，故选B.12已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )CA(2,+) B(1,+) C(-, -2) D(-, -1) 解：依题 a0，f (x)=3ax2-6x，令 f (x)=0，解得 x=0 或 x= ，2当 a0 时，在 (-,
23、0)与( ,+)上，f (x)0，f (x)是增函数。在(0, ) 上，f (x)a a0，f( x)有小于零的零点，不符合题意。当 a2 20，f (x)是增函数。要使 f(x)有唯一的零点 x0，且 x00，只要 ，即 a24，()0f所以 a0，g(t)是增函数。要使 a=-t3+3t 有唯一的正零根，只要 ag(-1)=-2，故选 C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上13将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_. 23解：设数学书为 1，2，语文书为 A，则所有的排法有 (1,2,A)，(1,A
24、,2)，(2,1, A)， (2, A,1)，(A,1,2)，(A,2,1)共 6 种，其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种情况，故所求概率为 .463P14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；17乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_. A解：丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过 B 城市，乙说：我没去过 C 城市， 三人同去过同一个城市应为，乙至少去过，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，可判断乙去过的城市为 A.本题考查逻辑推理，反证法的思想。15设函数 ，则
25、使得 f(x)2成立的 x 的取值范围是_.(-,813,()xef解：当x1时，由 ex-12可得x1+ln 2，故x1；当x1时，由 2可得x8，13故1 x8，综上可得x 8.16如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角：MAN=60， C 点的仰角CAB=45 以及MAC=75；从 C 点测得MCA=60. 已知山高 BC=100m，则山高 MN=_m. 150解：在 RtABC 中，由条件可得 ，102C在 MAC 中，MAC=45；由正弦定理可得 ，故sin6i45A，在直角 RtMAN 中，MN=AMsin60 =150.3102AMC
