1、1题组训练 25 三角函数的性质1(2018重庆南开中学月考)函数 f(x)(1 tanx)cosx的最小正周期为( )3A2 B.32C D.2答案 A解析 f(x)(1 tanx)cosx cosx2cos(x )，则 T2.3cosx 3sinxcosx 32函数 f(x)(1cos2x)sin 2x是( )A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为 的奇函数 D周期为 的偶函数2 2答案 D解析 f(x)(1cos2x)sin 2x2cos 2xsin2x sin22x ，则 T 且为偶12 1 cos4x4 24 2函数3(2018江西六校联考)下列函数中，最小正周期是 且在区间
2、( ，)上是增函数的2是( )Aysin2x BysinxCytan Dycos2xx2答案 D解析 ysin2x 在区间( ，)上的单调性是先减后增；ysinx 的最小正周期是2T 2；ytan 的最小正周期是 T 2；ycos2x 满足条件故选 D.2 x2 4函数 y2sin( 2x)(x0，)的增区间是( )6A0， B ， 3 12 712C ， D ，3 56 56答案 C解析 y2sin( 2x)2sin(2x )，由 2k2x 2k，kZ，6 6 2 6 322解得 kx k，kZ，即函数的增区间为 k， k，kZ，3 56 3 56当 k0 时，增区间为 ， 3 565已知函
3、数 f(x)2sin(x )( ， )是偶函数，则 的值为( )3 2 2A0 B.6C. D.4 3答案 B解析 因为函数 f(x)为偶函数，所以 k (kZ)又因为 ， ，3 2 2 2所以 ，解得 ，经检验符合题意，故选 B.3 2 66(2017课标全国)设函数 f(x)cos(x )，则下列结论错误的是( )3Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图像关于直线 x 对称83Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在( ，)上单调递减2答案 D解析 由三角函数的周期公式可得 T 2，所以周期是2 也正确，所以 A正确；21由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴 x 代入函数 f(x
4、)cos( )83 83 3cos31，所以 B正确；f(x)cos(x )cos(x )0，解得其中3 3一个解是 x ，所以 C正确；函数 f(x)在区间( ，)有增有减，D 不正确，所以选择 D.6 27设 f(x)xsinx，若 x1，x 2 ， ，且 f(x1)f(x2)，则下列结论中，必成立的2 2是( )Ax 1x2 Bx 1x 20Cx 1x22答案 D38已知函数 ysinx 在 ， 上是增函数，则 的取值范围是( )3 3A ，0) B3，0)32C(0， D(0，332答案 C解析 由于 ysinx 在 ， 上是增函数，为保证 ysinx 在 ， 上是增函2 2 3 3数
5、，所以 0 且 ，则 00)，xR，若 f(x)在区 x2 12 12间(，2)内没有零点，则 的取值范围是( )A(0， B(0， ，1)18 14 58C(0， D(0， ， 58 18 14 58答案 D解析 f(x) (1cosx) sinx sinx cosx sin(x )，当 12 12 12 12 12 22 4时，f(x) sin( x )，x(，2)时，f(x)( ， ，无零点，排除 A、B；当12 22 12 4 12 22 时，f(x) sin( x )，x(，2)时，存在 x使 f(x)0，有零点，排除 C.故316 22 316 4选 D.411若 ycosx 在区
6、间，上为增函数，则实数 的取值范围是_答案 0)(1)若 f(x)在0，上的值域为 ，1，求 的取值范围；32(2)若 f(x)在0， 上单调，且 f(0)f( )0，求 的值3 3答案 (1) ， (2)256 53解析 f(x)sinxsin(x )sin(x )3 3(1)由 x0，得 x ， ，f(x)在0，上的值域为 ，1，3 3 3 326即最小值为 ，最大值为 1，则 ，得 .32 2 3 43 56 53综上， 的取值范围是 ， 56 53(2)由题意 f(x)在0， 上单调，得 ，解得 00)的图像向右平移 个单位4 4长度，得到函数 yg(x)的图像若 yg(x)在 ， 上
7、为增函数，则 的最大值为( )6 3A3 B2C. D.32 54答案 C解析 函数 f(x)2sin(x )(0)的图像向右平移 个单位长度，可得 g(x)4 42sin(x ) 2sinx 的图像若 g(x)在 ， 上为增函数，则4 4 6 3 2k 且 2k，kZ，解得 312k 且2 6 3 2 6k，kZ.0，当 k0 时， 取得最大值为 .故选 C.32 322(2018福建宁德一模)将函数 y3sin(2x )的图像上各点沿 x轴向右平移 个单位6 6长度，所得函数图像的一个对称中心为( )A( ，0) B( ，0)712 67C( ，0) D( ，3)58 23答案 A解析 将
8、函数 y3sin(2x )的图像上各点沿 x轴向右平移 个单位长度，可得函数6 6y3sin2(x ) 3sin(2x )的图像由 2x k，kZ，可得6 6 6 6x ，kZ.故所得函数图像的对称中心为( ，0)，kZ.令 k1 可得一个对k2 12 k2 12称中心为( ，0)故选 A.7123(2018福建六校联考)若函数 f(x)2sin(x)对任意 x都有 f( x)f(x)，3则 f( )( )6A2 或 0 B0C2 或 0 D2 或 2答案 D解析 由函数 f(x)2sin(x)对任意 x都有 f( x)f(x)，可知函数图像的一3条对称轴为直线 x .根据三角函数的性质可知，
9、当 x 时，函数取得最大值或12 3 6 6者最小值f( )2 或2.故选 D.64已知函数 f(x)cos cos( 2x)，则函数 f(x)满足( )23 2Af(x)的最小正周期是 2B若 f(x1)f(x 2)，则 x1x 2Cf(x)的图像关于直线 x 对称34D当 x ， 时，f(x)的值域为 ， 6 3 34 34答案 C解析 因为 f(x) (sin2x) sin2x，其最小正周期 T ，所以 A项不正确；12 12 22B项显然不正确；由 2x k，得 x (kZ)，当 k1 时，函数 f(x)的图像的2 k2 4对称轴为 x ，所以 C项正确；当 x ， 时，2x ， ，所
10、以34 6 3 3 238 sin2x ，所以 D项不正确故选 C.34 12 125已知函数 f(x) sinxcosx(0)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，3若相邻交点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为( )3A. B.2 23C D2答案 C解析 f(x) sinxcosx2(sinx cosx )2sin(x )，332 12 6令 f(x)1，得 sin(x ) .6 12x 1 2k 或 x 2 2k.6 6 6 56|x 1x 2|min ，(x 2x 1) ，2，T .3 23 26(2018山西怀仁期中)若函数 f(x)sinx cosx(xR)，
11、又 f()2，f()30，且|的最小值为 ，则正数 的值是( )34A. B.13 32C. D.43 23答案 D解析 利用辅助角公式将函数解析式变形得 f(x)2sin(x )由 f()2，f()30，且|的最小值为 ，得 T ，T3， 3， .故选 D.34 14 34 2 237(2015天津，文)已知函数 f(x)sinxcosx(0)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数 yf(x)的图像关于直线 x 对称，则 的值为_答案 2解析 f(x)sinxcosx sin(x )，因为函数 f(x)的图像关于直线 x 对24称，所以 f() sin( 2 ) ，所以 2
12、k，kZ，即24 2 4 29 2 k，kZ，又函数 f(x)在区间(，)内单调递增，所以 2 ，即4 4 2 2 ，取 k0，得 2 ，所以 .4 4 28函数 g(x)sin 22x的单调递增区间是( )A ， (kZ) Bk，k (kZ)k2 k2 4 4C ， (kZ) Dk ，k (kZ)k2 4 k2 2 4 2答案 A9下列函数中，周期为 ，且在 ， 上为减函数的是( )4 2Aysin(2x ) Bycos(2x )2 2Cysin(x ) Dycos(x )2 2答案 A解析 对于选项 A，注意到 ysin(2x )cos2x 的周期为 ，且在 ， 上是减函2 4 2数，故选
13、 A.10已知 f(x)sin 2xsinxcosx，则 f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A，0， B2， ， 4 34C， ， D2， ， 8 38 4 4答案 C解析 由 f(x) sin2x (1cos2x) ，得该函数的最小正周期是12 12 2sin（ 2x 4） 12.当 2k 2x 2k ，kZ，即 k xk ，kZ 时，函数2 4 2 8 38f(x)是增函数，即函数 f(x)的单调增区间是k ，k ，其中 kZ.由 k0 得8 38到函数 f(x)的一个单调增区间是 ， ，结合各选项知，选 C.8 3811若将函数 f(x)sin2xcos2x 的图像向右平移
14、 个单位，所得图像关于 y轴对称，则 的最小正值是( )A. B.8 410C. D.38 54答案 C解析 f(x)sin2xcos2x sin ，将其图像向右平移 个单位得到 g(x)2 (2x4) sin sin 的图像2 2(x8 ) 2 (2x 4 2 )g(x) sin 的图像关于 y轴对称，即函数 g(x)为偶函数，2 (2x4 2 ) 2k ，kZ，即 ，kZ.4 2 k2 8因此当 k1 时， 有最小正值 .3812(2016天津，理)已知函数 f(x)4tanxsin( x)cos(x ) .2 3 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 ，
15、上的单调性4 4答案 (1)x|x k，kZ T2(2)增区间 ， ，减区间 ， 12 4 4 12解析 (1)f(x)的定义域为x|x k，kZ2f(x)4tanxcosxcos(x ) 4sinxcos(x ) 4sinx( cosx sinx)3 3 3 3 12 32 2sinxcosx2 sin2x sin2x (1cos2x)3 3 3 3 sin2x cos2x2sin(2x )所以 f(x)的最小正周期 T .3 33 22(2)令 z2x ，函数 y2sinz 的单调递增区间是 2k， 2k，kZ.3 2 2由 2k2x 2k，得 kx k，kZ.2 3 2 12 512设
16、A ， ，Bx| kx k，kZ，易知 AB ， 4 4 12 512 12 4所以，当 x ， 时，f(x)在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上4 4 12 4 4 12单调递减13(2016山东，文)设 f(x)2 sin(x)sinx(sinxcosx) 2.311(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移 个单位，得到函数 yg(x)的图像，求 g( )的值3 6答案 (1)增区间k ，k (kZ) (2)12 512 3解析 (1)f(x)2 sin(x)sinx(sinxcosx) 232
17、sin2x(12sinxcosx)3 (1cos2x)sin2x13sin2x cos2x 13 32sin(2x ) 1，3 3由 2k 2x 2k (kZ)，得 k xk (kZ)，2 3 2 12 512所以 f(x)的单调递增区间是k ，k (kZ)12 512(或(k ，k )(kZ)12 512(2)由(1)知 f(x)2sin(2x ) 1，3 3把 yf(x)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到 y2sin(x ) 1 的图像，3 3再把得到的图像向左平移 个单位，3得到 y2sinx 1 的图像，3即 g(x)2sinx 1.3所以 g( )2sin 1 .6 6 3 3
