1、1题组训练 15 导数的概念及运算1yln 的导函数为( )1xAy By1x 1xCylnx Dyln(x)答案 A解析 yln lnx，y .1x 1x2(2018东北师大附中摸底)曲线 y5xlnx 在点(1，5)处的切线方程为( )A4xy10 B4xy10C6xy10 D6xy10答案 D解析 将点(1，5)代入 y5xlnx 成立，即点(1，5)为切点因为 y5 ，所以 y1x |)5 6.x 1 11所以切线方程为 y56(x1)，即 6xy10.故选 D.3曲线 y 在点(3，2)处的切线的斜率是( )x 1x 1A2 B2C. D12 12答案 D解析 y ，故曲线在(3，2
2、)（ x 1） （ x 1） （ x 1） （ x 1） （ x 1） 2 2（ x 1） 2处的切线的斜率 ky| x3 ，故选 D.2（ 3 1） 2 124一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t秒后的位移为 s t3 t22t，那么速度为13 32零的时刻是( )A0 秒 B1 秒末C2 秒末 D1 秒末和 2秒末答案 D解析 s t3 t22t，vs(t)t 23t2.13 322令 v0，得 t23t20，t 11 或 t22.5(2018郑州质量检测)已知曲线 y 3lnx 的一条切线的斜率为 2，则切点的横坐标x22为( )A3 B2C1 D.12答案 A解析 设切点坐标为(x
3、0，y 0)，且 x00，由 yx ，得 kx 0 2，3x 3x0x 03.6(2018衡水调研卷)设 f(x)xlnx，若 f(x 0)2，则 x0的值为( )Ae 2 BeC. Dln2ln22答案 B解析 由 f(x)xlnx，得 f(x)lnx1.根据题意知 lnx012，所以 lnx01，因此 x0e.7(2018山西名校联考)若函数 f(x)的导函数的图像关于 y轴对称，则 f(x)的解析式可能为( )Af(x)3cosx Bf(x)x 3x 2Cf(x)1sin2x Df(x)e xx答案 C解析 A 项中，f(x)3sinx，是奇函数，图像关于原点对称，不关于 y轴对称；B
4、项中，f(x)3x 22x3(x )2 ，其图像关于直线 x 对称；C 项中，f(x)13 13 132cos2x，是偶函数，图像关于 y轴对称；D 项中，f(x)e x1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于 y轴对称故选 C.8(2018安徽百校论坛联考)已知曲线 f(x) 在点(1，f(1)处切线的斜率为 1，则ax2x 1实数 a的值为( )A. B32 32C D.34 43答案 D3解析 由 f(x) ，得 f(1) 1，解得 a .故选 D.2ax（ x 1） ax2（ x 1） 2 ax2 2ax（ x 1） 2 3a4 439(2018衡水中学调研卷)已知函数 f(x) x
5、2sinxxcosx，则其导函数 f(x)的图12像大致是( )答案 C解析 由 f(x) x2sinxxcosx，得 f(x)12xsinx x2cosxcosxxsinx x2cosxcosx.由此可知，f(x)是偶函数，其图像关12 12于 y轴对称，排除选项 A，B.又 f(0)1，故选 C.10f(x)与 g(x)是定义在 R上的两个可导函数，若 f(x)，g(x)满足 f(x)g(x)，则f(x)与 g(x)满足( )Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数答案 C11(2017高考调研原创题)设函数 f(x)在(0，)内可
6、导，且 f(ex)xe x，则f(2 017)( )A1 B2C. D.12 017 2 0182 017答案 D解析 令 ext，则 xlnt，所以 f(t)lntt，故 f(x)lnxx.求导得 f(x) 1，故 f(2 017) 1 .故选 D.1x 12 017 2 0182 01712(2018河南息县高中月考)若点 P是曲线 yx 2lnx 上任意一点，则点 P到直线yx2 距离的最小值为( )A1 B. 2C. D.22 3答案 B解析 当过点 P的直线平行于直线 yx2 且与曲线 yx 2lnx 相切时，切点 P到直线4yx2 的距离最小对函数 yx 2lnx 求导，得 y2x
7、 .由 2x 1，可得切点坐1x 1x标为(1，1)，故点(1，1)到直线 yx2 的距离为 ，即为所求的最小值故选 B.213(2018重庆一中期中)已知函数 f(x)e xae x 为偶函数，若曲线 yf(x)的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标等于( )32Aln2 B2ln2C2 D. 2答案 A解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即 exae x e x ae (x) ，解得a1，所以 f(x)e xe x ，所以 f(x)e xe x .设切点的横坐标为 x0，则 f(x 0)ex 0ex 0 .设 tex 0(t0)，则 t ，解得 t2，即 ex02，所以 x
8、0ln2.故选32 1t 32A.14已知 y x3x 1 1，则其导函数的值域为_13答案 2，)15已知函数 f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则 f(0)_答案 120解析 f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，所以 f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.16(2018重庆巴蜀期中)曲线 f(x)lnx x2ax 存在与直线 3xy0 平行的切线，12则实数 a的取值范围是_答案 (，1解析 由题意，得 f(x) xa，故存在切点 P(t，f(t)，使得 ta3，所以1x 1t3a t 有解因为 t0，所以
9、3a2(当且仅当 t1 时取等号)，即 a1.1t17设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x 2.(1)求 x0，f(x)f(x)2(x) 22x 2.5当 x0时，f(x 0)4x 0g(x 0) ，解得，x 0 .故存在 x0 满足条件1x0 12 1218(2018河北卓越联盟月考)已知函数 f(x)x 3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标答案 (1)y13x32(2)直线 l的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)解析 (1)根据题意，得 f(x)3x 2
10、1.所以曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率 kf(2)13，所以要求的切线的方程为 y13x32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线 l的斜率为 f(x 0)3x 021，所以直线 l的方程为 y(3x 021)(xx 0)x 03x 016.又直线 l过点(0，0)，则(3x021)(0x 0)x 03x 0160，整理得 x038，解得 x02，所以 y0(2) 3(2)1626，l 的斜率 k13，所以直线 l的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)1曲线 y 在点 M( ，0)处的切线的斜率为( )sinxsinx cosx 12 4A B.12 12C D.22 2
11、2答案 B解析 y cosx(sinxcosx)sinx(cosxsinx)1（ sinx cosx） 2，y|x ，ky|x .1（ sinx cosx） 2 4 12 4 122(2017山东东营一模)设曲线 ysinx 上任一点(x，y)处切线的斜率为 g(x)，则函数yx 2g(x)的部分图像可能为( )6答案 C解析 根据题意得 g(x)cosx，所以 yx 2g(x)x 2cosx为偶函数又 x0 时，y0.故选 C.3(2017山东烟台期末)若点 P是函数 ye xe x 3x( x )图像上任意一点，且12 12在点 P处切线的倾斜角为 ，则 的最小值是( )A. B.56 3
12、4C. D.4 6答案 B解析 由导数的几何意义，kye xe x 32 31，当且仅当 x0 时exe x等号成立即 tan1，0，)，又tanf(3)Cf(0)f(3) D无法确定答案 B解析 由题意知 f(x)的图像是以 x1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以 f(0)f(2)f(3)选 B.6(2013江西，文)若曲线 yx a1(aR)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a_答案 2解析 由题意 yx 1 ，在点(1，2)处的切线的斜率为 k，又切线过坐标原点，所以 2.2 01 07(2017河北邯郸二模)曲线 ylog 2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于
13、_7答案 log2e12解析 y ，k .1xln2 1ln2切线方程为 y (x1)1ln2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln2 12ln2 128若抛物线 yx 2xc 上的一点 P的横坐标是2，抛物线过点 P的切线恰好过坐标原点，则实数 c的值为_答案 4解析 y2x1，y| x2 5.又 P(2，6c)， 5.c4.6 c 29若曲线 yf(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 2xy10，则( )Af(x 0)0 Bf(x 0)0，排除 D，答案为 A.12(2017人大附中月考)曲线 ylgx 在 x1 处的切线的斜率是( )8A. Bln101ln10Clne
14、 D.1lne答案 A解析 因为 y ，所以 y| x1 ，即切线的斜率为 .1xln10 1ln10 1ln1013下列函数求导运算正确的是_(3 x)3 xlog3e；(log 2x) ；1xln2(sin )cos ；( )x.3 3 1lnx答案 14(2016天津文)已知函数 f(x)(2x1)e x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_答案 3解析 f(x)2e x(2x1)e x(2x3)e x，f(0)3.15(2016课标全国，理)已知 f(x)为偶函数，当 x0时，f(x)lnx3x，则 f(x) 3，f(1)2，则在点1x(1，3)处的切线方程为 y32(x
15、1)，即 y2x1.16(2015课标全国)已知曲线 yxlnx 在点(1，1)处的切线与曲线 yax 2(a2)x1 相切，则 a_答案 8解析 由 y1 可得曲线 yxlnx 在点(1，1)处的切线斜率为 2，故切线方程为1xy2x1，与 yax 2(a2)x1 联立得 ax2ax20，显然 a0，所以由a 28a0a8.17yxtanx 的导数为 y_答案 tanxxcos2x解析 y(xtanx)xtanxx(tanx)tanxx( )tanxx tanx .sinxcosx cos2x sin2xcos2x xcos2x918已知函数 f(x)f( )cosxsinx，所以 f( )
16、的值为_4 4答案 1解析 因为 f(x)f( )sinxcosx，所以 f( )f( )sin cos ，所4 4 4 4 4以 f( ) 1.故 f( )f( )cos sin 1.4 2 4 4 4 419(2018山西太原期中)设曲线 y 在点(1，1)处的切线与曲线 ye x在点 P处的切线1x垂直，则点 P的坐标为_答案 (0，1)解析 由 y 得 y ，所以曲线 y 在点(1，1)处的切线的斜率 k1，所以曲线1x 1x2 1xye x在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率为 1.由 ye x，得 ye x，所以 ex01，解得x00，y 01，即点 P(0，1)20若直线 y
17、xb 是曲线 ylnx 的一条切线，则实数 b_.12答案 ln21解析 切线斜率 k ，y ，x2，yln2.12 1x切线方程为 yln2 (x2)12即 y xln21，bln21.1221已知曲线 C：y3x 42x 39x 24.(1)求曲线 C上横坐标为 1的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C是否还有其他公共点答案 (1)y12x8(2)还有两个交点(2，32)，( ，0)23解析 (1)把 x1 代入 C的方程，求得 y4.切点为(1，4)，又 y12x 36x 218x，切线斜率为 k1261812.切线方程为 y412(x1)，即 y12x8.(2)由 y 3x4 2x3 9x2 4，y 12x 8， )得 3x42x 39x 212x40，10即(x1) 2(x2)(3x2)0.x1，2， .23代入 y3x 42x 39x 24，求得 y4，32，0，即公共点为(1，4)(切点)，(2，32)，( ，0)23除切点处，还有两个交点(2，32)，( ，0)23
