1、14.2 平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1平面向量基本定理如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标运算设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b( x1 x2， y1 y2)， a b( x1 x2， y1 y2)， a( x 1， y 1)，| a| ，| a b| .x21 y21 x2 x12 y2 y123平面向量共线的坐标表示设 a(
2、 x1， y1)， b( x2， y2)，则 a bx1y2 x2y10.诊断自测1概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示( )(3)设 a， b 是平面内的一组基底，若实数 1， 1， 2， 2满足2 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( )(4)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 .( )x1x2 y1y2答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A4P119T11)已知| |1，| | ， ，点 C 在线段
3、AB 上，OA OB 3 OA OB AOC30.设 m n (m， nR)，则 等于( )OC OA OB mnA. B3 C. D.13 33 3答案 B解析 依题意，以 O 为原点， OA、 OB 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0， )，设 C(x， y)，由 m n 得 x m， y n，又 AOC30，知 ，故3 OC OA OB 3 yx 333，选 B.mn(2)(必修 A4P101A 组 T5)已知向量 a(2,3)， b(1,2)，若 ma nb 与 a2 b 共线，则 _.mn答案 12解析 解法一：由已知条件可得 ma nb(2 m,3m)
4、( n,2n)(2 m n,3m2 n)，a2 b(2,3)(2,4)(4，1) ma nb 与 a2 b 共线， ，即2m n4 3m 2n 1n2 m12 m8 n， .mn 12解法二：注意到向量 a(2,3)， b(1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而ma nb 与 a2 b 共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有 .m1 n 2 mn 123小题热身(1)已知向量 a(1,2)， b(1,0)， c(3,4)若 为实数，( a b) c，则 ( )A. B. C1 D214 12答案 B解析 a b(1 ，2)，由( a b) c，得(1 )4320， .故12选 B.(
5、2)(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是( )A e1(0,0)， e2(1,2)B e1(1,2)， e2(5，2)C e1(3,5)， e2(6,10)3D e1(2，3)， e2(2,3)答案 B解析 设 a k1e1 k2e2，A 选项，(3,2)( k2,2k2)，Error!无解B 选项，(3,2)( k15 k2,2k12 k2)，Error!解之得Error!故 B 中的 e1， e2可把 a 表示出来同理，C，D 选项同 A 选项，无解故选 B.题型 1 平面向量基本定理及应用(2015北京高考)在 ABC 中，点 M， N 满足 2 ，
6、.若 x y 典 例 AM MC BN NC MN AB ，则 x_， y_.AC 用向量三角形法则表示出 .MN 答案 12 16解析 由 2 知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，由 ，知 N 为 BC 的中点，作AM MC BN NC 出草图如下：则有 ( )，所以 ( ) ，又因为 x y ，AN 12AB AC MN 12AB AC 23 AC 12AB 16AC MN AB AC 所以 x ， y .12 16方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示
7、出来3强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，4如平行、相似等冲关针对训练设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD AB， BE BC.若12 23 1 2 ( 1， 2为实数)，则 1 2的值为_DE AB AC 答案 12解析 ( )DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB ， 1 2 ， 1 ， 2 ，故 1 2 .16AB 23AC DE AB AC 16 23 12题型 2 平面向量共线的坐标表示及应用角度 1 求点的坐标已知 A(2,3)， B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且| AP|
8、|BP|，则 典 例 32点 P 的坐标为_方程组法答案 (8，15)解析 设 P(x， y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且 ，得( x2， y3)AP 32BP (x4， y3)，32即Error!解得Error!所以点 P 的坐标为(8，15)角度 2 研究点共线问题(2018佛山调研)设 (1，2)， ( a，1)， ( b,0)， 典 例 OA OB OC a0， b0， O 为坐标原点，若 A， B， C 三点共线，则 的最小值是( )1a 2bA2 B4 C6 D8用到均值不等式、向量问题实数化答案 D解析 由题意可得， (1，2)， ( a，1)， ( b,0)，所以O
9、A OB OC ( a1,1)， ( b1，2)AB OB OA AC OC OA 又 A， B， C 三点共线， ，AB AC 5即( a1)21( b1)0，2 a b1，又 a0， b0， (2a b)4 448，当且仅当 时，1a 2b (1a 2b) (ba 4ab) ba 4ab取“” 故选 D.方法技巧1利用两向量共线求点的坐标利用向量共线的坐标表示构造所求点的坐标的方程组，解方程组即可注意方程思想的应用如角度 1 典例2研究点(向量)共线问题两平面向量共线的充要条件有两种形式(1)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y10.
10、如角度 2 典例(2)若 a b(b0)，则 a b.冲关针对训练1(2017许昌二模)已知 ABC 的三个顶点的坐标为 A(0，1)， B(1,0)， C(0，2)，O 为坐标原点，动点 M 满足| |1，则| |的最大值是( )CM OA OB OM A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 7 2 7答案 A解析 设点 M 的坐标是( x， y)， C(0，2)，且| |1，CM 1，则 x2( y2) 21，x2 y 22即动点 M 的轨迹是以 C 为圆心、1 为半径的圆 A(0,1)， B(1,0)， ( x1， y1)，OA OB OM 则| | ，几何意义表示：点 M(x， y)
11、与点 N(1，1)之OA OB OM x 12 y 12间的距离，即圆 C 上的点与点 N(1，1)的距离点 N(1，1)在圆 C 外部，| |的最大值是| NC|1 1 1，故选 A.OA OB OM 0 12 2 12 262(2018湖北武昌调考)已知点 P(1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1)若向量 与向量 a( ，1)共线，则 _.PQ 答案 23解析 点 P(1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，1)，向量 2 2(11，12)(4，6)PQ PM 又 与向量 a( ，1)共线，PQ 416 0，即 .231(2016全国卷)已知向量 a(1， m)， b
12、(3，2)，且( a b) b，则 m( )A8 B6 C6 D8答案 D解析 由题可得 a b(4， m2)，又( a b) b，432( m2)0， m8.故选 D.2(2018福州一中模拟)已知 ABC 和点 M 满足 0.若存在实数 m 使得MA MB MC m 成立，则 m( )AB AC AM A2 B3 C4 D5答案 B解析 由 0，知点 M 为 ABC 的重心，设点 D 为边 BC 的中点，则MA MB MC ( ) ( )，所以 3 ，故 m3，故选 B.AM 23AD 23 12AB AC 13AB AC AB AC AM 3(2017福建四地六校联考)已知 A(1,0)
13、， B(4,0)， C(3,4)， O 为坐标原点，且 OD ( )，则| |等于_12OA OB CB BD 答案 2 2解析 由 ( ) ( )，知点 D 是线段 AC 的中点，故 D(2,2)，所OD 12OA OB CB 12OA OC 以 (2,2)，故| | 2 .BD BD 22 22 24(2017湘中名校联考)已知在 ABC 中， AB AC6， BAC120， D 是 BC 边上靠近点 B 的四等分点， F 是 AC 边的中点，若点 G 是 ABC 的重心，则 _.GD AF 7答案 214解析 连接 AD， AG，如图依题意，有 ( )AD AB BD AB 14BC A
14、B 14AC AB ， ， ( ) 34AB 14AC AF 12AC GD AD AG AD 23 12AB AC 34AB 14AC 13AB 13AC 512AB 112，AC 故 2 66 62 GD AF (512AB 112AC ) 12AC 524AB AC 124AC 524 12 124 154 32.214基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知向量 a， b 不共线， c ka b(kR)， d a b.如果 c d，那么( )A k1 且 c 与 d 同向 B k1 且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向 D k1 且 c 与 d 反向答案 D解析 c d，(
15、ka b)( a b)，存在 使 ka b (a b)，Error! Error! c a b， c 与 d 反向故选 D.2(2018襄樊一模)已知 (1，3)， (2，1)， ( k1， k2)，若OA OB OC A， B， C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )A k2 B k C k1 D k112答案 C解析 若点 A， B， C 不能构成三角形，则向量 与 共线因为 (2，1)AB AC AB OB OA (1，3)(1,2)， ( k1， k2)(1，3)( k， k1)所以 1(k1)AC OC OA 2 k0，解得 k1，故选 C.3(2018怀化一模)设
16、向量 a(1，3)， b(2,4)， c(1，2)，若表示向量 4a,4b2 c,2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d( )8A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案 D解析 设 d( x， y)，由题意知 4a(4，12)，4 b2 c(6,20)，2( a c)(4，2)，又 4a4 b2 c2( a c) d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)( x， y)(0,0)，解得 x2， y6，所以 d(2，6)故选 D.4(2017河南高三质检)在 ABC 中， BAC60， AB5， AC4， D 是 AB 上一点，且 5，则| |等于( )
17、AB CD BD A6 B4 C2 D1答案 C解析 设 ， ， ( ) 2 5，AD AB CD AD AC AB CD AB AD AC AB AB AC 可得 25 15， ，| | | |2，故选 C.35 BD 25AB 5在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 a， b，其中 a(3,1)，OA OB b(1,3)若 a b，且 0 1，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正OC 确的是( )答案 A解析 由题意知 (3 ， 3 )，取特殊值， 0， 0，知所求区域包OC 含原点，排除 B；取 0， 1，知所求区域包含(1,3)，排除 C，D，故选 A.6(2018茂名检测
18、)已知向量 a(3，2)， b( x， y1)且 a b，若 x， y 均为正9数，则 的最小值是( )3x 2yA24 B8 C. D.83 53答案 B解析 a b，2 x3( y1)0，即 2x3 y3，又x， y0， (2x3 y) 8，当且仅当3x 2y (3x 2y) 13 13(6 9yx 4xy 6) 13(12 29yx4xy)2x3 y 时，等号成立 的最小值是 8.故选 B.32 3x 2y7(2017济南二模)如图所示，两个非共线向量 、 的夹角为 ， N 为 OB 中点，OA OB M 为 OA 上靠近 A 的三等分点，点 C 在直线 MN 上，且 x y (x， y
19、R)，则 x2 y2的OC OA OB 最小值为( )A. B. C. D.425 25 49 23答案 A解析 因为点 C， M， N 共线，则 ， 1，OC OM ON 23 OA 12 OB 由 x y ，OC OA OB x ， y (1 )，23 12 12x2 y2 2 (1 )2 2 ，(23 ) 14 2536 2 14设 g( ) 2 ，2536 2 14由二次函数的性质可知：当 时， g( )取最小值，925最小值为 g ，(925) 425所以 x2 y2的最小值为 ，故选 A.425108(2017河南中原名校联考)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E
20、为 AO 的中点，若 ( ， 为实数)，则 2 2( )DE AB AD A. B. C1 D.58 14 516答案 A解析 ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 .故选 A.14 34 589(2018安徽十校联考)已知 A， B， C 三点不共线，且 2 ，则AD 13AB AC ( )S ABDS ACDA. B. C6 D.23 32 16答案 C解析 如图，取 ， 2 ，以 AM， AN 为邻边作平行四边形 AMDN，AM 13AB AN AC 此时 2 .AD 13AB AC 由图可知 S AB
21、D3 S AMD， S ACD S AND，12而 S AMD S AND， 6.故选 C.S ABDS ACD10如图所示，在四边形 ABCD 中， AB BC CD1，且 B90， BCD135，记11向量 a， b，则 ( )AB AC AD A. a b2 (122)B a b2 (122)C a b2 (122)D. a b2 (122)答案 B解析 根据题意可得 ABC 为等腰直角三角形，由 BCD135，得 ACD1354590.以 B 为原点， AB 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作 DE y 轴于点 E，则 CDE 也为等腰直角三角
22、形由 CD1，得 CE ED ，22则 A(1,0)， B(0,0)， C(0,1)， D ， (1,0)， (1,1)， (22， 1 22) AB AC AD .令 ，则有Error!得Error! a b.故选 B.(22 1， 1 22) AD AB AC AD 2 (1 22)二、填空题11在梯形 ABCD 中， AB CD，且 DC2 AB，三个顶点 A(1，2)， B(2,1)， C(4,2)，则点 D 的坐标为_12答案 (2,4)解析 在梯形 ABCD 中， DC2 AB， AB CD， 2 .设点 D 的坐标为( x， y)，则DC AB (4 x,2 y)， (1，1)，
23、DC AB (4 x,2 y)2(1，1)，即(4 x,2 y)(2，2)，Error!解得Error!故点 D 的坐标为(2,4)12在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设向量 p( a c， b)，q( b a， c a)，若 p q，则角 C 的大小为_答案 60解析 由 p q，得( a c)(c a) b(b a)，整理，得 b2 a2 c2 ab.由余弦定理，得 cosC .a2 b2 c22ab 12又 0C180， C60.13(2017太原三模)在 ABC 中， AB3， AC2， BAC60，点 P 是 ABC 内一点(含边界)，若 ，则|
24、|的最大值为_AP 23AB AC AP 答案 2133解析 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系， AB3， AC2， BAC60， A(0,0)， B(3,0)， C(1， )，3设点 P 为( x， y)，0 x3，0 y ，3 ，AP 23AB AC ( x， y) (3,0) (1， )(2 ， )，23 3 3Error!13 y (x2)，3直线 BC 的方程为 y (x3)，32联立，解得Error!此时| |最大，| AP| .AP 499 13 213314(2018江西南昌一模)已知三角形 ABC 中， AB AC， BC4， BAC120
25、，3 ，若点 P 是 BC 边上的动点，则 的取值范围是_BE EC AP AE 答案 23， 103解析 因为 AB AC， BC4， BAC120，所以 ABC30， AB .因为 3433 BE ，所以 .EC BE 34BC 设 t ，则 0 t1，所以 t ，又 ，BP BC AP AB BP AB BC AE AB BE AB 34BC 所以 ( t )AP AE AB BC (AB 34BC ) 2 t t 2AB BC AB 34BC AB 34BC t4 cos150 4 cos150 t424 t ，163 433 34 433 34 23因为 0 t1，所以 4 t ，2
26、3 23 103即 的取值范围是 .AP AE 23， 103三、解答题15给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .OA OB 23如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 上运动若 x y ，其中 x， yR，求 x yAB OC OA OB 的最大值解 以 O 为坐标原点， 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则OA 14A(1,0)， B .(12， 32)设 AOC ，( 0，23)则 C(cos ，sin )，由 x y ，得Error!OC OA OB 所以 xcos sin ， y sin ，33 233所以 x ycos sin 2sin ，3 ( 6)
27、又 ，所以当 时， x y 取得最大值 2.0，23 316(2018湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点B(1，0)，| |1，且 AOC x，其中 O 为坐标原点OC (1)若 x ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求| |的最小值；34 OC OD (2)若 x ，向量 m ， n(1cos x，sin x2cos x)，求 mn 的最小值及对0， 2 BC 应的 x 值解 (1)设 D(t,0)(0 t1)，由题易知 C ，(22， 22)15所以 ，OC OD ( 22 t， 22)所以| |2 t t2 t2 t1 2 (0 t1)，OC OD 12 2 12 2 (t 22) 12所以当 t 时，| |2最小，最小值为 .22 OC OD 22(2)由题意得 C(cosx，sin x)， m (cos x1，sin x)，BC 则 mn1cos 2xsin 2x2sin xcosx1cos2 xsin2 x1 sin .2 (2x 4)因为 x ，所以 2 x ，0， 2 4 4 54所以当 2x ，即 x 时， 4 2 8sin 取得最大值 1，(2x 4)所以 mn 的最小值为 1 ，此时 x .2 8
