1、1热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题(对应学生用书第 36 页)命题解读 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)
2、讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围(本小题满分 12 分)(2015全国卷)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围思路点拨 (1)求出导数后对 a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求 a的范围规范解答 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) A 2 分1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上是增加的 3
3、 分若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 x 取得最大值，最大值为1af ln a ln a a1. 9 分(1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.2因此， a 的取值范围是(0,1). 12 分答题模板 讨论含参函数 f(x)的单调性的一般步骤第一步：求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)第二步：求函数 f(x)的导数 f( x)第三步：根据 f( x)0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论第四步：求解(令 f( x)0 或令 f( x)0)ax当 a0 时，
4、f( x)0， f( x)没有零点；当 a0 时，设 u(x)e 2x， v(x) ，ax因为 u(x)e 2x在(0，)上是增加的， v(x) 在(0，)上是增加的，ax所以 f( x)在(0，)上是增加的又 f( a)0，当 b 满足 00 时， f( x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设 f( x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0， x0)时， f( x)0.故 f(x)在(0， x0)上是减少的，在( x0，)上是增加的，所以当 x x0时， f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)由于 2e2x0 0，所以 f(x0) 2 ax0 aln 2 a aln .ax0 a
5、2x0 2a 2a故当 a0 时， f(x)2 a aln .2a 角度 2 不等式恒成立问题(2016全国卷)已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；6(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求 a 的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时， f(x)( x1)ln x4( x1)，f(1)0， f( x)ln x 3， f(1)2.1x故曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20.(2)当 x(1，)时， f(x)0 等价于 ln x 0.a x 1x 1设 g(x)l
6、n x ，a x 1x 1则 g( x) ， g(1)0.1x 2a x 1 2 x2 2 1 a x 1x x 1 2当 a2， x(1，)时， x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0， g(x)在(1，)上是增加的，因此 g(x)0；当 a2 时，令 g( x)0 得 x1 a1 ， x2 a1 . a 1 2 1 a 1 2 1由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1， x2)时， g( x)0， g(x)在(1， x2)上是减少的，因此 g(x)0.综上， a 的取值范围是(，2 角度 3 存在型不等式成立问题设函数 f(x) aln x x2 bx(a1)
7、，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线1 a2斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)0， f(x)在(1，)上是增加的.12 a1 a4 分7所以，存在 x01，使得 f(x0)1，故当 x 时， f( x)12 a1 a (1， a1 a) ( a1 a， )0， f(x)在 上是减少的，在 上是增加的. 8 分(1，a1 a) ( a1 a， )所以存在 x01，使得 f(x0) ，所以不合题意. 10 分(a1 a) a1 a a22 1 a aa 1 aa 1若 a1，则 f(1) 1 恒成立，所以 a1.1 a2 a 12 aa 1综上， a 的取值范围是( 1， 1)(1，). 12 分2 2规律方法 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题2不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论3 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 f(x) g(a)对于 x D 恒成立，应求 f(x)的最小值；若存在 x D，使得 f(x) g(a)成立，应求 f(x)的最大值应特别关注等号是否成立问题
