1、1第二节 不等式的证明考纲传真 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法(对应学生用书第 166 页)基础知识填充1不等式证明的方法(1)比较法： 求差比较法： 知道 aba b0， ab，只要证明 a b0 即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由 ab0 1 且 a0， b0，因此当 a0， b0 时，要证明 ab，只要证明 1 即可，ab ab这种方法称为求商比较法(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的
2、结论，即“由因寻果”的方法这种证明不等式的方法称为综合法(4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法(5)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法反证法是常用的证明方法它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：对任意实数 a， b， c， d，有( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2(
3、当向量( a， d)与向量( c， d)共线时等号成立)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则| | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立2一般形式的柯西不等式设 a1， a2， an与 b1， b2， bn是两组实数，则有( a a a )21 2 2n(b b b )( a1b1 a2b2 anbn)2，当向量( a1， a2， an)与向量21 2 2n(b1， b2， bn)共线时，等号成立(2)算术几何平均不等式若 a1， a2， an为正数，则 ，当且仅当 a1 a2 ana1 a2 ann na1a2an时，等号成立基本能力自测1(思考辨析)判断
4、下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实( )(4)使用反证法时， “反设”不能作为推理的条件应用( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)若 a b1， x a ， y b ，则 x 与 y 的大小关系是( )1a 1bA x y B x yC x y D x yA x y a 1a (b 1b) a
5、b .b aab a b ab 1ab由 a b1 得 ab1， a b0，所以 0，即 x y0，所以 x y. a b ab 1ab3(教材改编)已知 a b0， M2 a3 b3， N2 ab2 a2b，则 M， N 的大小关系为_M N 2 a3 b3(2 ab2 a2b)2 a(a2 b2) b(a2 b2)( a2 b2)(2a b)( a b)(a b)(2a b)因为 a b0，所以 a b0， a b0,2 a b0，从而( a b)(a b)(2a b)0，故 2a3 b32 ab2 a2B 4已知 a0， b0 且 ln(a b)0，则 的最小值是_. 1a 1b3【导学
6、号：00090380】4 由题意得， a b1， a0， b0， (a b)2 1a 1b (1a 1b) ba ab22 4，baab当且仅当 a b 时等号成立125已知 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明 因为 x0， y0，所以 1 x y23 0,1 x2 y3 0，3xy2 3x2y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y(对应学生用书第 167 页)比较法证明不等式已知 a0， b0，求证： .ab ba a b证明 法一： ( ) (ab ba) a b (ab b) (ba a) a bb b aa 0， a b
7、a bab a b a b 2ab . 10 分ab ba a b法二：由于 ab baa b aa bbab a b a b a ab bab a b 1a bab 11. 8 分2abab又 a0， b0， 0，ab . 10 分ab ba a b规律方法 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的4性质，把证明 a b 转化为证明 1( b0)ab2作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号变式训练 1 (2018长沙模拟)设 a， b 是非负实数，求证： a2
8、b2 (a b)ab证明 因为 a2 b2 (a b)ab( a2 a )( b2 b )ab ab a ( ) b ( )a a b b b a( )(a b )a b a b . 6 分因为 a0， b0，所以不论 a b0，还是 0 a b，都有 a b 与 a b同号，所以( a b ) 0，12 12(a32 b32)所以 a2 b2 (a b). 10 分ab综合法证明不等式(2018长春模拟)设 a， b， c 均为正数，且 a b c1，证明：(1)ab bc ac ；13(2) 1.a2b b2c c2a证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22
9、 ca，得 a2 b2 c2 ab bc ca，由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1，所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca . 5 分13(2)因为 b2 a， c2 b， a2 c，a2b b2c c2a故 ( a b c)2( a b c)，a2b b2c c2a则 a b c，所以 1. 10 分a2b b2c c2a a2b b2c c2a5规律方法 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A 为已知条件或数学定义、定理、公理， B 为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“” 2综合法证明不等式，
10、要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键变式训练 2 (2017石家庄调研)已知函数 f(x)2| x1| x2|.(1)求 f(x)的最小值 m；(2)若 a， b， c 均为正实数，且满足 a b c m，求证： 3. b2a c2b a2c【导学号：00090381】解 (1)当 x1 时， f(x)2( x1)( x2)3 x3； 2 分当1 x2 时， f(x)2( x1)( x2) x43,6)；当 x2 时， f(x)2( x1)( x2)3 x6.综上， f(x)的最小值 m3. 5 分(2)证明： a， b，
11、c 均为正实数，且满足 a b c3，因为 ( a b c)b2a c2b a2c (b2a a) (c2b b) (a2c c)2 2( a b c). 8 分(b2aa c2bb a2cc)(当且仅当 a b c1 时取“”)所以 a b c，b2a c2b a2c即 3. 10 分b2a c2b a2c分析法证明不等式(2015全国卷)设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d，证明：(1)若 abcd，则 ；a b c d(2) 是| a b|cD由(1)，得 . 8 分a b c d若 ，a b c d则( )2( )2，a b c d即 a b2 c d2 .ab cd
12、因为 a b c d，所以 abcD于是( a b)2( a b)24 ab 是| a b|c d|的充要条件. 10 分a b c d规律方法 1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明2当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆3分析法证明的思路是“执果索因” ，其框图表示为： QP1 P1P2 P2P3得 到 一 个 明 显成 立 的 条 件变式训练 3 已知 a b c，且 a b c0，求证： Ab2 ac 3证明 要证 a，b2 ac 3只需证 b2 ac3 a2. a b c0，只需证 b2 a(a b)3 a2，只需证 2a2 ab b20， 4 分只需证( a b)(2a b)0，只需证( a b)(a c)0. a b c， a b0， a c0，( a b)(a c)0 显然成立，故原不等式成立. 10 分
