1、14.3 三角函数的图像与性质最新考纲 考情考向分析1.能画出 ysin x， ycos x， ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.(2， 2)以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 ysin x， x0,2的图像中，五个关键点
2、是：(0,0)， ，(，0)，(2， 1)，(2，0)(32， 1)(2)在余弦函数 ycos x， x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，(，1)， ，(2，1)(2， 0) (32， 0)2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图像定义域 R Rx|x R，且 x k2值域 1,1 1,1 R周期性 2 2 2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 2k 2， 2k 2 2k，2 k(k 2， k 2)递减区间 2k 2， 2k 32 2k，2 k无对称中心 (k，0) (k 2， 0) (k2， 0)对称轴方程 x k 2 x
3、 k 无知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期14(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x) Asin(x )(A， 0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是 k( kZ)；2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限上是增函数( )(2)由 sin sin 知， 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( )(6 23) 6 23(3)正切函数 ytan x在定
4、义域内是增函数( )(4)已知 y ksin x1， xR，则 y的最大值为 k1.( )(5)ysin| x|是偶函数( )题组二 教材改编2函数 f(x)cos 的最小正周期是 (2x4)答案 33 y3sin 在区间 上的值域是 (2x6) 0， 2答案 32， 3解析 当 x 时，2 x ，0，2 6 6， 56sin ，(2x6) 12， 1故 3sin ，(2x6) 32， 3即 y3sin 的值域为 .(2x6) 32， 34 ytan 2 x的定义域是 答案 Error!解析 由 2x k ， kZ，得 x ， kZ，2 k2 4 ytan 2 x的定义域是Error!.题组三
5、 易错自纠5下列函数中最小正周期为 且图像关于直线 x 对称的是( )3A y2sin B y2sin(2x3) (2x 6)C y2sin D y2sin(x2 3) (2x 3)答案 B解析 函数 y2sin 的周期 T ，(2x6) 22又 sin 1，(23 6)函数 y2sin 的图像关于直线 x 对称(2x6) 36函数 f(x)4sin 的递减区间是 (3 2x)答案 (kZ)k 12， k 512 解析 f(x)4sin 4sin .(3 2x) (2x 3)所以要求 f(x)的递减区间，4只需求 y4sin 的递增区间(2x3)由 2 k2 x 2 k( kZ)，得2 3 2
6、 k x k( kZ)12 512所以函数 f(x)的递减区间是(kZ)12 k ， 512 k 7cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是 答案 sin 68cos 23cos 97解析 sin 68cos 22，又 ycos x在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 97.题型一 三角函数的定义域和值域1函数 f(x)2tan 的定义域是( )(2x6)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!答案 D解析 由正切函数的定义域，得 2x k ， kZ，即 x (kZ)，故选 D.6 2 k2 62函数 y 的定义域为 sin x cos
7、 x答案 (kZ)2k 4， 2k 54解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x和 ycos x的图像，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x的 x为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，454所以原函数的定义域为Error!.5方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为Error!.3(2017郑州月考)已知函数 f(x)sin ，其中 x ，若 f(x)的值域是(x6) 3， a，则实数 a的取值范围是 12， 1答案 3， 解析 x ， x ，3， a 6 6， a 6
8、当 x 时， f(x)的值域为 ，6 6， 2 12， 1由函数的图像(图略)知 a ， a.2 6 76 34(2018长沙质检)函数 ysin xcos xsin xcos x的值域为 答案 12 2， 1解析 设 tsin xcos x，则 t2sin 2xcos 2x2sin xcos x，sin xcos x ，1 t22且 t .2 2 y t (t1) 21， t ， t22 12 12 2 2当 t1 时， ymax1；当 t 时， ymin .212 2函数的值域为 .12 2， 1思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借
9、助三角函数线或三角函数图像来求解(2)三角函数值域的不同求法利用 sin x和 cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成 y Asin(x )(A， 0)的形式求值域；6通过换元，转换成二次函数求值域题型二 三角函数的单调性命题点 1 求三角函数的单调性典例 (1)函数 f(x)tan 的递增区间是( )(2x3)A. (kZ)k2 12， k2 512B. (kZ)(k2 12， k2 512)C. (kZ)(k 6， k 23)D. (kZ)k 12， k 512答案 B解析 由 k 2 x k (kZ)，2 3 2得 x (kZ)，k2 12 k2 512所以函数 f(x)tan
10、 的递增区间是(2x3)(kZ)，故选 B.(k2 12， k2 512)(2)(2017哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y sin x cos x12 32的递增区间是 (x 0，2)答案 0，6解析 y sin x cos xsin ，12 32 (x 3)由 2k x 2 k (kZ)，2 3 2解得 2k x2 k (kZ)56 67函数的递增区间为 (kZ)，2k 56， 2k 6又 x ，递增区间为 .0，2 0， 6命题点 2 根据单调性求参数典例 已知 0，函数 f(x)sin 在 上是减少的，则 的取值范围是 ( x4) (2， )答案 12， 54解析 由 x， 0
11、，得2 x ， 2 4 4 4又 ysin x的递减区间为 ， kZ，2k 2， 2k 32所以 Error!kZ，解得 4k 2 k ， kZ.12 54又由 4k 0， kZ 且 2k 0， kZ，得 k0，所以 .12 (2k 54) 54 12， 54引申探究本例中，若已知 0，函数 f(x)cos 在 上是增加的，则 的取值范围( x4) (2， )是 答案 32， 74解析 函数 ycos x的递增区间为2 k，2 k， kZ，则 Error!kZ，解得 4k 2 k ， kZ，52 14又由 4k 0， kZ 且 2k 0， kZ，52 (2k 14) 14得 k1，所以 .32
12、， 74思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )(其中 0)的单调区间时，要视“x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，可借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求8解跟踪训练 (2017济南模拟)若函数 f(x)sin x ( 0)在区间 上是增加的，在区0，3间 上是减少的，则 等于( )3， 2A. B.23 32C2 D3答案 B解析 由已知得 ，T4 3 T ， .43 2T 32题 型 三 三 角 函 数 的 周 期 性 、 奇 偶 性 、 对
13、 称 性命题点 1 三角函数的周期性典例 (1)在函数 ycos|2 x|， y|cos x|， ycos ， ytan 中，(2x6) (2x 4)最小正周期为 的所有函数为( )A BC D答案 A解析 ycos|2 x|cos 2 x，最小正周期为 ；由图像知 y|cos x|的最小正周期为 ； ycos 的最小正周期 T ；(2x6) 22 ytan 的最小正周期 T ，故选 A.(2x4) 2(2)若函数 f(x)2tan 的最小正周期 T满足 10， | |2) 4f(x)的零点， x 为 y f(x)图像的对称轴，且 f(x)在 上单调，则 的最大值4 (18， 536)为 答案
14、 9解析 因为 x 为 f(x)的零点， x 为 f(x)的图像的对称轴，所以 4 4 4 ( 4) T4，即 T ，所以 2 k1( kN)，又因为 f(x)在 上单调，kT2 2 2k 14 2k 14 2 (18， 536)所以 ，即 12，536 18 12 T2 22若 11，又| | ，则 ，2 4此时， f(x)sin ， f(x)在 上是增加的，在 上是减少的，不满(11x4) (18， 344) (344， 536)足条件若 9，又| | ，则 ，2 410此时， f(x)sin ，满足 f(x)在 上单调的条件(9x4) (18， 536)由此得 的最大值为 9.思维升华
15、(1)对于函数 y Asin(x )，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式： y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ，2| |ytan( x )的最小正周期为 .| |跟踪训练 (1)(2017安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin( x )的最小正周期为 4，且任意 xR，有 f(x) f 成立，则 f(x)图( 0， | |0， 0)若 f(x)在区间上具有单调性，且 f f f ，则 f(x)的最小正周期为 6， 2 (2) (23) (6)解析 (1)A 项，因为 f(x)c
16、os 的周期为 2k( kZ)，所以 f(x)的一个周期为(x3)2，A 项正确；B项，因为 f(x)cos 图像的对称轴为直线 x k (kZ)，所以 y f(x)的图(x3) 3像关于直线 x 对称，B 项正确；8312C项， f(x)cos .令 x k (kZ)，得 x k ，当 k1 时，(x43) 43 2 56x ，所以 f(x)的一个零点为 x ，C 项正确；6 6D项，因为 f(x)cos 的递减区间为 (kZ)，(x3) 2k 3， 2k 23递增区间为 (kZ)，2k 23， 2k 53所以 是 f(x)的递减区间， 是 f(x)的递增区间，D 项错误(2， 23) 23
17、， )故选 D.(2)由图像知，周期 T2 2，(54 14) 2， .2由 2 k， kZ，不妨取 ，14 2 4 f(x)cos .( x4)由 2k0时，Error! a3 3， b5；2当 a0， 函 数 f(x) 2asin 2a b， 当 x 时 ，(2x 6) 0， 2 5 f(x)1.(1)求常数 a， b的值；(2)设 g(x) f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间(x2)解 (1) x ，2 x ，0，2 6 6， 76sin ，(2x6) 12， 12 asin 2 a， a，(2x6) f(x) b,3a b，又5 f(x)1， b5,3 a b1，因此 a
18、2， b5.(2)由(1)得 f(x)4sin 1，(2x6)g(x) f 4sin 1(x2) (2x 76)4sin 1，(2x6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin 11，sin ，(2x6) (2x 6)122 k 2x 2k ， kZ，6 6 5619其中当 2k 2x 2 k ， kZ 时，6 6 2g(x)是增加的，即 k x k ， kZ，6 g(x)的递增区间为 ， kZ.(k ， k 6又当 2k 2x 2k ， kZ 时，2 6 56g(x)是减少的，即 k xk ， kZ.6 3 g(x)的递减区间为 ， kZ.(k 6， k 3) g(x)的递增区间为 ， kZ，(k ， k 6递减区间为 ， kZ.(k 6， k 3)
