1、12.9 函数模型及其应用最新考纲 考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0)反比例函数模型 f(x) b(k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型f(x) ax2 bx c(a， b， c 为
2、常数， a0)指数函数模型f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)对数函数模型f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)幂函数模型 f(x) axn b (a， b 为常数， a0)2.三种函数模型的性质函数性质y ax(a1) ylog ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的增减性增加的 增加的 增加的2增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图像的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0)的函数模型称
3、为“对勾”函数模型：ax(1)该函数在(， 和 ，)上是增加的，在 ，0)和(0， 上是减少a a a a的(2)当 x0 时， x 时取最小值 2 ，a a当 x1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度( )(5)“指数爆炸”是指数型函数 y abx c(a0， b0， b1)增长速度越来越快的形象比喻( )题组二 教材改编2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )3A收入最高值与收入最低值的比是 31B结余最高的月份是 7 月C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D前 6 个月的平均收入为 40 万元答
4、案 D解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31，故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前6 个月的平均收入为 (406030305060)45(万元)，故 D 错误163生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22 x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业12一个月应生产该商品数量为 万件答案 18解析 利润 L(x
5、)20 x C(x) (x18) 2142，12当 x18 时， L(x)有最大值4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 答案 3解析 设隔墙的长度为 x(00，当 p(30，)时， L( p)0， m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 元答案 4.24解析 m6.5， m6，则 f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知 总 收 入 K 是 单 位 产 品 数 Q 的 函 数 ，
6、K(Q) 40Q Q2， 则 总 利 润 L(Q)的 最 大 值 是 120万 元答案 2 500解析 L(Q)40 Q Q210 Q2 000120 Q230 Q2 000 (Q300) 22 500.120 120则当 Q300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元题型三 构建函数模型的实际问题命题点 1 构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为 y30 x570，令 30x5700，解得 x
7、19.(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 元答案 95解析 设每个售价定为 x 元，则利润 y( x80)400( x90)2020( x95)2225当 x95 时， y 最大8命题点 2 构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，14已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)
8、到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数ax典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 9答案 5解析 根据图像求得 y( x6) 211，年平均利润 12 ，yx (x 25x) x 10，当且仅当 x5 时等号成立25x要使平均利润最大，客车营运年数为 5.(2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面
9、要求面积为 9 平方米，3且高度不低于 米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长3的和)为 y 米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x .答案 2 3解析 由题意可得 BC ，18x x2 y 2 6 .18x 3x2 18x3x2 3当且仅当 (2 x0，解得 x2.3， x 为整数，3 x6， xZ.当 x6 时， y503( x6) x1153 x268 x115.令3 x268 x1150，有 3x268 x115185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多思维升华 构建数学模型解决实
10、际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，至少应过滤 次才能达到市场要求(已知 lg 1320.301 0，lg 30.477 1)答案 8解析 设至少过滤 n 次才能达到市场要求，则 2% n0.1%，即 n ，(113) (23) 120所以 nlg 1lg 2，所以 n7.39，所以 n8.23(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 00
11、0 元，每天需要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关系是 R(x)Error!则总利润最大时，该门面经营的天数是 答案 300解析 由题意，总利润yError!当 0 x400 时， y (x300) 225 000，12所以当 x300 时， ymax25 000；当 x400 时， y60 000100 x40 时， W xR(x)(16 x40) 16 x7 360.40 000x所以 WError!4 分(2)当 040 时， W 16 x7 360，40 000x由于 16 x2 1 600，40 000x
12、40 000x 16x当且仅当 16 x，即 x50(40，)时，取等号，40 000x所以此时 W 的最大值为 5 760.10 分综合知，当 x32 时， W 取得最大值 6 104 万美元12 分12解函数应用题的一般步骤：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据
13、，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01A.y2 x2 B y (x21)12C ylog 2x D y 1logx答案 B解析 由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.2某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前 3 年年产
14、量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A，C 图像符合要求，而13后 3 年年产量保持不变，故选 A.3国家规定某行业征税如下：年收入在 280 万元及以下的税率为 p%，超过 280 万元的部分按( p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为( p0.25)%，则该公司的年收入是( )A560 万元 B420 万元C350 万元 D320 万元答案 D解析 设该公司的年收入为 x 万元( x280)，则有( p0.25)%，280p% x 280p 2%x解得 x320.故该公司的年收入为 320 万元4(2018湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投
15、入若该民企 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( )A2017 年 B2018 年C2019 年 D2020 年答案 D解析 设从 2016 年起，过了 n(nN )年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元，则130(112%) n200，则 n 3.8，由题意取 n4，lg 2013lg 1.12 0.30 0.110.05则 n2 0162 020.故选 D.5某单位为鼓励职工节约用水，作出了以
16、下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A13 m 3 B14 m 3 C18 m 3 D26 m 3答案 A解析 设该职工用水 x m3时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 yError!则 10m( x10)2 m16 m，解得 x13.6某汽车销售公司在 A， B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1 x0.1 x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22 x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16
17、 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A10.5 万元 B11 万元C43 万元 D43.025 万元14答案 C解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16 x)辆，所以可得利润y4.1 x0.1 x22(16 x)0.1 x22.1 x320.1 20.1(10.5) 232.(x 10.5)因为 x0,16且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元7某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 ye kt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个数)，则 k ，经过 5 小时，
18、1 个病毒能繁殖为 个答案 2ln 2 1 024解析 当 t0.5 时， y2，2e12k， k2ln 2， ye 2tln 2，当 t5 时， ye 10ln 22 101 024.8西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为L (x0)则当年广告费投入 万元时，该公司的年利润最大512 (x2 8x)答案 4解析 由题意得 L 512 (x2 8x) 2 21.5，512 x28x当且仅当 ，即 x4 时等号成立x2 8x当 0，即 x4 时， L 取得最大值 21.5.x4x故当年广告费
19、投入 4 万元时，该公司的年利润最大9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为 m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为 y m，15则由相似三角形性质可得 ，x40 40 y40解得 y40 x，所以面积 S x(40 x) x240 x( x20) 2400(050，所以这两位同学会影响其他同学休息12某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为 x 元时，销售量可达到 150.1 x 万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30
20、 元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问：(1)每套丛书售价定为 100 元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 150.11005(万套)，此时每套供货价格为 30 32(元)，书商所获得的总利润为 5(10032)340(万元)105(2)每套丛书售价定为 x 元时，由Error!解得 00，则(150 x)100150 x2150 x100150 x21020，当且仅当 150 x ，100150 x即
21、 x140 时等号成立，此时， Pmax20120100.所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/小时时，每小时的燃料费是 617元若匀速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，总费用最小答案 40解析 设每小时的总费用为 y 元，则 y kv296，又当 v10 时， k1026，解得 k0.06，所以每小时的总费用 y0.06 v296，匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时，故总费用为10vW y (0.06v296)0.6 v 2 48，10v 10v 960v 0.6v960v当且仅当 0.6v ，即 v40 时等号成立960v故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/小时14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b(ba)以及实数 x(00，函数 f(x)是增加的；在 上，103 (2， 103) (103， 6)f( x)0，函数 f(x)是减少的所以 x 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当 x 3.3 时，函103 103数 f(x)取得最大值故当销售价格为 3.3 元/件时，利润最大
