1、1层级快练(七十七)1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A(a3) 2b 时，恒成立，当 a0，y0，aR，bR.求证：( )2 .ax byx y a2x b2yx y答案 略证明 因为 x0，y0，所以 xy0.所以要证( )2 ，ax byx y a2x b2yx y即证(axby) 2(xy)(a 2xb 2y)，即证 xy(a22abb 2)0，即证(ab) 20，而(ab) 20 显然成立故( )2ax byx y.a2x b2yx y7(2014江苏)已知 x0，y0，证明：(1xy 2)(1x 2y)9xy.答案 略证明 因为 x0，y0，所以
2、1xy 23 0，1x 2y3 0.故(1xy 2)3xy2 3x2y(1x 2y)3 3 9xy.3xy2 3x2y8(2018福建质量检查)若 a，b，cR ，且满足 abc2.(1)求 abc 的最大值；(2)证明： .1a 1b 1c 92答案 (1) (2)略827解析 (1)因为 a，b，cR ，所以 2abc3 ，故 abc .3abc827当且仅当 abc 时等号成立23所以 abc 的最大值为 .827(2)证明：因为 a，b，cR ，且 abc2，所以根据柯西不等式，可得 (abc)( ) ( )2( )2( )2( )2( )2( )21a 1b 1c 12 1a 1b
3、1c 12 a b c 1a 1b 1c3 ( )2 .12 a 1a b 1b c 1c 92所以 .1a 1b 1c 929(2016课标全国，理)已知函数 f(x)|x |x |，M 为不等式 f(x)1；12当 0，b0，且 ab .证明：1a 1b(1)ab2；(2)a2a0，b0，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 ab2 2，即 ab2.ab(2)假设 a2a0 得 0 ，所以 2，所以 00，n0，且 mn1，求证： 2 .2m 1 2n 1 f（ x）答案 (1)1，3 (2)略解析 (1)方法一：依题意，f(x)4x， x12，2， 12 x
4、 12， 4x， x 12 )f(x) min2.不等式 f(x)a 22a1 恒成立，a 22a30，解得1a3，实数 a 的取值范围是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x) min2.不等式 f(x)a 22a1 恒成立，a 22a30，解得1a3，实数 a 的取值范围是1，3(2)由(1)知 f(x)2，2 2 .f（ x） 2( )22(mn)22 4(2m1)(2n1)8，2m 1 2n 1 （ 2m 1） （ 2n 1）当且仅当 mn 时等号成立12 2 ，2m 1 2n 1 2 2 .2m 1 2n 1 f（ x）51(2017武汉 4 月调研
5、)(1)求不等式|x5|2x3|1 的解集；(2)若正实数 a，b 满足 ab ，求证： 1.12 a b答案 (1)x|7x (2)略13解析 (1)当 x 时，x52x31，32解得 x7，7x ；32当 x5 时，x52x31，解得 x ，32 13 x ；32 13当 x5 时，x5(2x3)1，解得 x9，舍去综上，7x .13故原不等式的解集为x|7x 13(2)要证 1，只需证 ab2 1，a b ab即证 2 ，即证 .ab12 ab 14而 ab 2 ， 成立，12 ab ab 14原不等式成立2已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1，1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR ，且 m，求证：a2b3c9.1a 12b 13c答案 (1)1 (2)略解析 (1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m，由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.(2)证明：由(1)知 1，又 a，b，cR ，1a 12b 13c由柯西不等式，得 a2b3c(a2b3c)( )1a 12b 13c6( )29.a1a 2b 12b 3c 13c
