1、19.8 曲线与方程最新考纲 考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展21 “曲线 C 是方程 f(x， y)0 的曲线”是“
2、曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x， y)0 的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件( )(2)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( )(4)方程 y 与 x y2表示同一曲线( )x(5)y
3、 kx 与 x y 表示同一直线( )1k(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( )题组二 教材改编2已知点 F ，直线 l： x ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与(14， 0) 14线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( )A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线答案 D解析 由已知| MF| MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线3曲线 C： xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为_答案 2解析 在曲线 xy2 上任取一点( x0， y0)，则 x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0| x
4、0y0|2.题组三 易错自纠4(2017广州调研)方程(2 x3 y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案 D3解析 原方程可化为Error!或 10，x 3即 2x3 y10( x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线5已知 M(1,0)， N(1,0)，| PM| PN|2，则动点 P 的轨迹是( )A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支答案 C解析 由于| PM| PN| MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线6已知 M(2,0)， N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角
5、形的直角顶点 P 的轨迹方程是_答案 x2 y24( x2)解析 连接 OP，则| OP|2， P 点的轨迹是去掉 M， N 两点的圆，方程为x2 y24( x2).题型一 定义法求轨迹方程典例 (2018枣庄模拟)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1
6、)( r2 R) r1 r242| MN|.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除3外)，其方程为 1( x2)x24 y23思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解跟踪训练 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且| O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解 如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为
7、 x 轴建立平面直角坐标系4由| O1O2|4，得 O1(2,0)， O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有|MO1| r1；由动圆 M 与圆 O2外切，有| MO2| r2.| MO2| MO1|3b0)的一个焦点为( ，0)，离心率为 .x2a2 y2b2 5 53(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P(x0， y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程解 (1)由题意，得 c ， e ，5ca 53因此 a3， b2 a2 c24，故椭圆 C 的标准方程是 1.x29 y24(2)若两切线的斜率均存在
8、，设过点 P(x0， y0)的切线方程是 y k(x x0) y0，则由Error!得 1，x29 kx x0 y0246即(9 k24) x218 k(y0 kx0)x9( y0 kx0)240， 18 k(y0 kx0)236(9 k24)( y0 kx0)240，整理得( x 9) k22 x0y0k y 40.20 20又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1， k2，于是有 k1k21，即 1，y20 4x20 9即 x y 13( x03)20 20若两切线中有一条斜率不存在，则易得Error! 或Error! 或Error!或Error!经检验知均满足 x y 13.
9、20 20因此，动点 P(x0， y0)的轨迹方程是 x2 y213.题型三 相关点法求轨迹方程典例 (2017合肥质检)如图所示，抛物线 E： y22 px(p0)与圆 O： x2 y28 相交于A， B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于C， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1， l2， l1与 l2相交于点 M.(1)求 p 的值；(2)求动点 M 的轨迹方程解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2,2)，代入 y22 px，解得 p1.(2)由(1)知抛物线 E： y22
10、 x.设 C ， D ， y10， y20，切线 l1的斜率为 k，则切线(y212， y1) (y22， y2)l1： y y1 k ，代入 y22 x，(xy212)得 ky22 y2 y1 ky 0，由 0，解得 k ，211y1 l1的方程为 y x ，1y1 y127同理 l2的方程为 y x .1y2 y22联立Error! 解得Error!易知 CD 的方程为 x0x y0y8，其中 x0， y0满足 x y 8， x02,2 ，20 20 2由Error! 得 x0y22 y0y160，则Error!代入Error!可得 M(x， y)满足Error!可得Error!代入 x
11、y 8，并化简，得 y21，20 20x28考虑到 x02,2 ，知 x4，2 ，2 2动点 M 的轨迹方程为 y21， x4，2 x28 2思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为( x， y)，主动点坐标为( x1， y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练 (2018安阳调研)如图，动圆 C1： x2 y2 t2，1 ，即 时，得到 1.14 12x23 2 14y23 2此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分12 分1(2017衡水模拟)若方程 x2 1(
12、 a 是常数)，则下列结论正确的是( )y2aA任意实数 a 方程表示椭圆B存在实数 a 方程表示椭圆C任意实数 a 方程表示双曲线D存在实数 a 方程表示抛物线答案 B解析 当 a0 且 a1 时，方程表示椭圆，故选 B.2设点 A 为圆( x1) 2 y21 上的动点， PA 是圆的切线，且| PA|1，则点 P 的轨迹方程是( )A y22 x B( x1) 2 y2410C y22 x D( x1) 2 y22答案 D解析 如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)，连接 MA，则 MA PA，且| MA|1，又| PA|1，| PM| ，|MA|2 |PA|2 2即| PM|22
13、，( x1) 2 y22.3(2018湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)， B(1,3)，若点 C 满足 1 2 (O 为原点)，其中 1， 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是( )OC OA OB A直线 B椭圆 C圆 D双曲线答案 A解析 设 C(x， y)，则 ( x， y)， (3,1)， (1,3)，OC OA OB 1 2 ，Error!OC OA OB 又 1 21，化简得 x2 y50，表示一条直线4(2017宜春质检)设定点 M1(0，3)， M2(0,3)，动点 P 满足条件|PM1| PM2| a (其中 a 是正常数)，则点 P 的轨迹是( )9a
14、A椭圆 B线段C椭圆或线段 D不存在答案 C解析 a 是正常数， a 2 6，当且仅当 a3 时“”成立9a 9当| PM1| PM2|6 时，点 P 的轨迹是线段 M1M2；当| PM1| PM2|6 时，点 P 的轨迹是椭圆，故选 C.5已知点 P 是直线 2x y30 上的一个动点，定点 M(1，2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM| MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )A2 x y10 B2 x y50C2 x y10 D2 x y50答案 D11解析 由题意知， M 为 PQ 中点，设 Q(x， y)，则 P 为(2 x,4 y)，代入 2x y30，得 2x y50
15、.6(2018广州模拟)如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60， B 为斜足，平面 上的动点 P 满足 PAB30，则点 P 的轨迹是( )A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支答案 C解析 本题可构造如图圆锥母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知， P 的轨迹为椭圆故选 C.7已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_答案 4解析 设 P(x， y)，由| PA|2| PB|，得 2 ，x 22 y2 x 12 y23
16、 x23 y212 x0，即 x2 y24 x0. P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2 为半径的圆即轨迹所包围的图形的面积等于 4.8(2018梅州质检)在 ABC 中，| |4， ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且BC | | |2 ，则顶点 A 的轨迹方程为_BD CD 2答案 1( x )x22 y22 2解析 以 BC 的中点为原点，中垂线为 y 轴，建立如图所12示的平面直角坐标系， E， F 分别为两个切点，则| BE| BD|，| CD| CF|，|AE| AF|.| AB| AC|2 )x22 y22 29已知 ABC 的顶点 A， B 坐标分别为(4,0)，(4,0)，
17、 C 为动点，且满足 sin Bsin A sin C，则 C 点的轨迹方程为_54答案 1( x5)x225 y29解析 由 sin Bsin A sin C 可知 b a c10，54 54则| AC| BC|108| AB|，满足椭圆定义令椭圆方程为 1，x2a 2 y2b 2则 a5， c4， b3，则轨迹方程为 1( x5)x225 y2910.如图， P 是椭圆 1( ab0)上的任意一点， F1， F2是它的两个焦点， O 为坐标原x2a2 y2b2点，且 ，则动点 Q 的轨迹方程是_OQ PF1 PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，OQ PF1 PF2 又 2
18、2 ，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x， y)，则 ，OP 12OQ ( x2， y2)13即 P 点坐标为 ，又 P 在椭圆上，(x2， y2)则有 1，即 1.( x2)2a2( y2)2b2 x24a2 y24b211. (2017广州模拟)已知点 C(1,0)，点 A， B 是 O： x2 y29 上任意两个不同的点，且满足 0，设 P 为弦 AB 的中点AC BC (1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x1 的距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)连接 CP， OP，由 0，知
19、 AC BC，AC BC | CP| AP| BP| |AB|，12由垂径定理知，|OP|2| AP|2| OA|2，即| OP|2| CP|29，设点 P(x， y)，则( x2 y2)( x1) 2 y29，化简，得 x2 x y24.(2)存在根据抛物线的定义，到直线 x1 的距离等于到点 C(1，0)的距离的点都在抛物线 y22 px(p0)上，其中 1.p2 p2，故抛物线方程为 y24 x，由方程组Error!得 x23 x40，解得 x1 或 x4.由 x0，故取 x1，此时 y2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)1412.如图， P 是圆 x2 y24 上的动
20、点，点 P 在 x 轴上的射影是点 D，点 M 满足 .DM 12DP (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A， B，求以 OA， OB 为邻边的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程解 (1)设 M(x， y)，则 D(x,0)，由 知， P(x,2y)，DM 12DP 点 P 在圆 x2 y24 上， x24 y24，故动点 M 的轨迹 C 的方程为 y21，且轨迹 C 为椭圆x24(2)设 E(x， y)，由题意知 l 的斜率存在，设 l： y k(x3)，代入 y21，x24得(1
21、4 k2)x224 k2x36 k240，(*)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，24k21 4k2 y1 y2 k(x13) k(x23) k(x1 x2)6 k 6 k .24k31 4k2 6k1 4k2四边形 OAEB 为平行四边形， ( x1 x2， y1 y2) ，OE OA OB (24k21 4k2， 6k1 4k2)又 ( x， y)，Error!OE 消去 k，得 x24 y26 x0，由(*)中 (24 k2)24(14 k2)(36k24)0，得 k20，满足题意x216 y29 y2914已知圆的方程为 x2 y24，若抛物线过点 A(1
22、,0)， B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是_答案 1( y0)x24 y23解析 设抛物线的焦点为 F，过 A， B， O 作准线的垂线 AA1， BB1， OO1，则| AA1| BB1|2| OO1|4，由抛物线定义得| AA1| BB1| FA| FB|，| FA| FB|42| AB|，故 F 点的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)15(2017辽宁葫芦岛调研)在 ABC 中，已知 A(2,0)， B(2，0)， G， M 为平面上的两点且满足 0，| | | |， ，则顶点 C 的轨迹为( )GA GB GC MA MB MC
23、GM AB A焦点在 x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B焦点在 y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C焦点在 x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D焦点在 x 轴上的抛物线(顶点除外)答案 B解析 设 C(x， y)(y0)，则由 0，GA GB GC 16即 G 为 ABC 的重心，得 G .(x3， y3)又| | | |，MA MB MC 即 M 为 ABC 的外心，所以点 M 在 y 轴上，又 ，则有 M .GM AB (0， y3)由| | |，所以 x2 24 ，MC MA (y y3) y29化简得 1， y0.x24 y212所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴端点)16
24、(2018新余模拟)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(1,0)， F2(1,0)的距离的积是 1，又 a1，所以曲线 C 不过原点，即错误；因为 F1(1,0)， F2(1,0)关于原点对称，所以| PF1|PF2| a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为 12FPSA |PF1|PF2|sin F1PF212 |PF1|PF2| a2，12 12即 F1PF2的面积不大于 a2，即正确12
