1、1第二章单元检测班级_ 姓名_ 考号_ 分数_本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若点 M 在直线 a 上， a 在平面 内，则 M、 a、 间的关系可记为( )A M a， a B M a， aC Ma， a D Ma， a 答案：B2有下列命题：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的个数为( )A1 B2C3 D4答案：B解析：平行于同一直线的两平面可能相交，错，垂直于同一直线
2、的两条直线可能平行，也可能相交或异面，错，可知正确3若 ， l，直线 a ，直线 b ， a， b 与 l 都不垂直，那么( )A a 与 b 可能垂直，但不可能平行B a 与 b 可能垂直，也可能平行C a 与 b 不可能垂直，但可能平行D a 与 b 不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：两平面垂直，两直线分别在两平面内，且两直线与交线不垂直，两直线若平行，则均与交线平行，因此可能平行；若 a 与 b 垂直，根据面面垂直的性质，则 a 与 l 垂直或b 与 l 垂直，与已知矛盾，选 C.4两条异面直线在同一平面的正投影不可能是( )A两条平行直线 B两条相交直线C一个点和一条直线 D两个点
3、答案：D解析：如果两条直线在同一平面内的正投影是两个点，则这两条直线都和平面垂直，这两条直线平行，不会是异面直线5给出下列命题：和直线 a 都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面，其中正确命题的个数是( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个答案：A解析：两两相交且过同一点的直线，可以不在同一平面内，所以都错；两平面相交，也可以有三个不同的公共点，所以错；两两平行的三条直线可以在同一平面内，所以错6.如图所示，在正方体 ABCD A B C D中，直线 AC 与直线 BC所成的角为( )A302B60C90D
4、45答案：B解析： AC 与 A C平行，三角形 A C B 为等边三角形，结合等角定理可知所求角为60.7已知三条不同的直线 a， b， c，三个不同的平面 ， ， ，有下面四个命题：若 a， b 且 a b，则 ；若直线 a， b 相交，且都在 ， 外， a ， a ， b ， b ，则 ；若 ， a， b ， a b，则 b ；若 a ， b ， c a， c b，则 c .其中正确的命题是( )A BC D答案：B解析：命题错误，因为 与 还可能相交；命题正确，设 a 与 b 确定的平面为 ，由题设知 ， ，所以 ，所以排除 A、C、D，答案选 B.8如图， a ， A 是 的另一侧的
5、点， B， D a，线段 AB， AD 分别交 于 E， G，若 BD15， BE2 AE，则 EG 等于( )A10 B.103C5 D.53答案：C解析：由三角形 AEG 与三角形 ABD 相似得， EG BD5.139若 ， A ， C ， B ， D ，且 AB CD28， AB、 CD 在 内的射影长分别为 9 和 5，则 AB、 CD 的长分别为( )A16 和 12 B15 和 13C17 和 11 D18 和 10答案：B解析：令 AB x， CD y，则Error!，Error!.10.如图所示，正三棱锥 VABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中， D， E， F分
6、别是 VC， VA， AC 的中点， P 为 VB 上任意一点，则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( )A30 B903C60 D随 P 点的变化而变化答案：B解析：由于 DE AC，故 DE 与 PF 所成的角即 AC 与 PF 所成的角，连接 VF， BF，则 AC VF， AC BF. AC平面 VBF. AC PF.11如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中(侧棱垂直于底面且底面为正三角形的三棱柱)，AB AA1，则 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为( )A. B.22 155C. D.64 63答案：C解析：取 BC 的中点 D，连 AD， C1D，在等边 ABC 中
7、， AD BC，由正三棱柱的性质，平面 ABC平面 BB1C1C， AD平面 BB1C1C， AC1D 为所求，设 AB AA1 a，则 AD a， AC1 a，32 2sin AC1D .ADAC1 6412如图，设平面 EF， AB ， CD ，垂足分别为 B， D，且 AB CD.如果增加一个条件就能推出 BD EF，给出四个条件： AC ； AC EF； AC 与 BD 在 内的正投影在同一条直线上； AC 与 BD 在平面 内的正投影所在的直线交于一点那么这个条件不可能是( )A BC D答案：D解析：当 AC 与 BD 在平面 内的正投影所在的直线相交时，平面 ABCD 与平面 不
8、垂直，此时， EF 与 BD 也不可能垂直(若 EF BD，由于 EF CD，则 EF平面 ABCD，从而 平面 ABCD.)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AB1D1和平面 BC1D 的位置关系为_答案：平行解析：易知 BD B1D1，故 BD平面 AB1D1，同理 BC1平面 AB1D1.又 BD BC1 B， BD平面 BDC1， BC1平面 BDC1，平面 AB1D1平面 BC1D.14如图，已知 PA 垂直于菱形 ABCD 所在平面，且 ABC60， PA AB，则 PC 与平面 ABCD
9、所成的角为_4答案：45解析：如图，连结 AC，由于四边形 ABCD 是菱形且 ABC60， AB AC.又 PA平面 ABCD. AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影，即 PCA 为所求角，在 Rt PAC 中，由 PA AB，知 PA AC， PCA45.15半径为 R 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为_答案： R3解析：所求距离即球心与球的外切正方体的顶点的距离，也即正方体对角线长度的一半由于球的半径为 R，故其外切正方体的棱长为 2R，其对角线长为 2 R，球心到正方3体顶点的距离为 R.316如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D
10、1中，已知 E、 F 分别是棱 AB、 AD 的中点若 P 为棱 CC1上一点，且平面 A1EF平面 EFP，则 CP_.答案：38解析：连接 AC 交 EF 于 O 点，连接 A1O， OP，显然 A1E A1F， PE PF， A1O EF， PO EF，则 A1OP 为二面角 A1 EF P 的平面角，若平面 A1EF平面 EFP，则 A1OP90，设CP x， C1P1 x.在 Rt A1OP 中， A1O ， PO 1 142 2 322 342 2 x2， A1P ， x22(1 x)2， x .98 x2 A1C21 C1P2 2 1 x 2 98 98 38三、解答题：本大题共
11、 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤517(10 分)如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB CD 且AB2 CD， F 为 AB 的中点证明：平面 C1CF平面 ADD1A1.解： AB CD， AB2 CD， AF 綊 CD， AD CF，又 AD平面 ADD1A1， CF平面 ADD1A1， CF平面 ADD1A1.又 CC1 DD1， CC1平面 ADD1A1， DD1平面 ADD1A1， CC1平面 ADD1A1，又 CC1平面 C1CF， CF平面 C1CF， CC1 CF C，平面 C1CF平面 ADD1A1.
12、18(12 分)如图，已知三棱锥 A BCD 中，侧棱长和底面边长均相等， E 是侧棱 AB 的中点求证：(1) AB平面 CDE；(2)平面 CDE平面 ABC.解：(1)Error! CE AB，同理Error! DE AB，又 CE DE E， AB平面 CDE.(2)由(1)知 AB平面 CDE，又 AB平面 ABC，平面 CDE平面 ABC.19(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， AB DC， PAD 是等边三角形，已知 BD2 AD4， AB2 DC2 .5(1)求证： BD平面 PAD；(2)求三棱锥 A PCD 的体积解：(1)证明：在
13、ABD 中， AD2， BD4， AB2 ，5 AD2 BD2 AB2. AD BD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， BD平面 ABCD， BD平面 PAD.(2)过 P 作 PO AD 交 AD 于 O.又平面 PAD平面 ABCD， PO平面 ABCD. PAD 是边长为 2 的等边三角形， PO .36由(1)知， AD BD，在 Rt ABD 中，斜边 AB 边上的高为 h .ADBDAB 4 55 AB DC， S ACD CDh 2.12 12 5 4 55 VA PCD VP ACD S ACDPO 2 .13 13 3 2 3320(12 分)
14、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)，下半部分是长方体 ABCD EFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线 BD平面 PEG.解：(1)该安全标识墩的侧视图如图所示(2)该安全标识墩的体积为：V VP EFGH VABCD EFGH 4026040 220320003200064000(cm 3)137(3)证明：如图，由题设知四边形 ABCD 和四边形 EFGH 均为正方形， FH E
15、G，又 ABCD EFGH 为长方体， BD FH，设点 O 是 EFGH 的对称中心， P EFGH 是正四棱锥， PO平面 EFGH，而 FH平面 EFGH， PO FH. FH PO， FH EG， PO EG O，PO平面 PEG， EG平面 PEG， FH平面 PEG.而 BD FH，故直线 BD平面 PEG.21.(12 分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上， A1D B1C，求证：(1)EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.证明：(1)由 E、 F 分别是 A1B， A1C 的中点，
16、知 EF BC.因为 EF平面 ABC， BC平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)由三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱知， CC1平面 A1B1C1，又 A1D平面 A1B1C1故 DD1 A1D.又因为 A1D B1C， CC1 B1C C， CC1， B1C平面 BB1C1C.所以 A1D平面 BB1C1C.又 A1D平面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C.22(12 分)在正三角形 ABC 中， E， F， P 分别是 AB， AC， BC 边上的点，满足AE ： EB CF ： FA CP ： PB1 ：2(如图甲)将 AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位
17、置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连接 A1B， A1P(如图乙)(1)求证： A1E平面 BEP；(2)求二面角 A1BPE 的大小解：不妨设正三角形的边长为 3，则(1)证明：在题图甲中，取 BE 的中点 D，连接 DF， AE ： EB CF ： FA1 ：2， AF AD2，而 A60. ADF 为正三角形又 AE DE1， EF AD.在题图乙中， A1E EF， BE EF. A1EB 为二面角 A1EFB 的一个平面角由题设条件知此二面角为直二面角， A1E BE.又 BE EF E，8 A1E面 BEF，即 A1E面 BEP.(2)在题图乙中，过 E 点作 BP 的垂线，并交 BP 于 G 点，连接 A1G.由(1)知 A1E平面 BEP， A1GE 即为二面角 A1BPE 的平面角，又 A1E1， GE ，3tan A1GE .33 A1GE30，即二面角 A1BPE 的大小为 30.
