1、第二章综合素能检测时间 120 分钟， 满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(20132014福建师大附中模块)设 ， 表示两个平面， l 表示直线，A，B，C 表示三个不同的点，给出下列命题：若 Al，A ，Bl，B ，则 l；， 不重合，若 A，A，B，B，则 AB；若 l，A l，则 A；若 A，B ，C，A ，B，C ，且 A，B，C 不共线，则 与 重合则上述命题中，正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 根据公理 1 可知 正确；根据公理 3 可知正确，根据公理 2 可
2、知正确；当点 A 为 直线 l 与平面 的交点 时，可知错误2菱形 ABCD 在平面 内， PC，则 PA 与对角线 BD 的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直C相交垂直 D异面垂直答案 D解析 PC平面 ，PCBD，又在菱形 ABCD 中， ACBD，BD平面 PAC.又 PA平面 PAC，BDPA.显然 PA 与 BD 异面，故 PA 与 BD 异面垂直3设 P 是ABC 所在平面 外一点，H 是 P 在 内的射影，且 PA，PB，PC 与 所成的角相等，则 H 是ABC 的( )A内心 B外心 C垂心 D重心答案 B解析 由题意知 RtPHARtPHBRtPHC，得 HAHBHC，所
3、以 H 是ABC 的外接圆圆心4已知二面角 l 的大小为 60，m，n 为异面直线，且 m，n，则 m，n所成的角为( )A30 B60 C90 D120答案 B解析 易知 m，n 所成的角与二面角的大小相等，故 选 B.5(20132014珠海模拟) 已知 a，b，l 表示三条不同的直线， ， 表示三个不同的平面，有下列命题：若 a， b，且 ab，则 ；若 a，b 相交，且都在 ， 外，a，a ，b，b，则 ；若 ， a，b，ab，则 b；若 a，b，la，lb，则 l.其中正确的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 可借助正方体模型解决如图，在正方体A1B1C1D1
4、ABCD 中，可令平面 A1B1CD 为 ，平面 DCC1D1为 ，平面A1B1C1D1为 .又平面 A1B1CDDCC 1D1CD，平面 A1B1C1D1平面DCC1D1C 1D1，则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a，b，因为CDC 1D1，但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行，即 与 不平行，故 错误因为 a，b相交，可设其确定的平面为 ，根据 a，b，可得 .同理可得 ，因此 ，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确ab时，由题知 l 垂直于平面 内两条不相交直线，得不出 l，错误6(2013新课标全国)已知 m，n 为异面
5、直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足lm，ln，l，l，则( )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l答案 D解析 由于 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直 线 l 满足 lm，ln，则交线平行于 l，故 选 D.7在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是线段 A1B1，B 1C1 上的不与端点重合的动点，如果 A1EB 1F，有下面四个结论：EFAA 1；EFAC；EF 与 AC 异面；EF平面 ABCD.其中一定正确的有( )A B C D答案 D解析
6、 如右图所示由于 AA1平面 A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以 正确；当 E，F 分别是线段 A1B1，B1C1 的中点时，EFA 1C1，又 ACA 1C1，则 EFAC ，所以不正确；当E，F 分 别不是 线段 A1B1，B1C1 的中点时，EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1平面 ABCD，EF平面 A1B1C1D1，所以 EF平面 ABCD，所以 正确8如图，若 是长方体 ABCDA 1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体EFGHB1C1 后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点，F 为线段 BB1 上
7、异于 B1 的点，且 EHA 1D1，则下列结论中不正确的是( )AEHFG B四边形 EFGH 是矩形C 是棱柱 D 是棱台答案 D解析 因为 EHA 1D1，A1D1B 1C1，所以 EHB 1C1，又 EH平面 BCC1B1，所以 EH平面 BCC1B1，又 EH平面 EFGH，平面 EFGH平面 BCC1B1FG，所以 EHFG ，又EHB 1C1，所以 是棱柱，所以 A，C 正确；因为 A1D1平面 ABB1A1，EHA 1D1，所以 EH平面 ABB1A1，又 EF平面 ABB1A1，故 EHEF，所以 B 正确，故选 D.9(2012大纲版数学(文科)已知正方体 ABCDA 1B
8、1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、CC 1的中点，那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )A D 45 35C D34 35答案 B命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用解析 首先根据已知条件，连接 DF，然后则DFD 1 即为异面直线所成的角，设棱长为2，则可以求解得到 DFD 1F，DD12，结合余弦定理得到结论510如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E，F，H，K 分别为 AC，CB，AB，BC 的中点，G 为ABC 的重心，从K，H， G，B中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面PEF 平行，则点 P 为( )AK BHCG DB答案
9、C解析 应用验证法：选 G 点为 P 时，EFA B且 EFAB，此时恰有 AB和 AB平行于平面 PEF，故选 C.11如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC答案 D解析 由平面图形易知 BDC90.平面 ABD平面 BCD，CDBD，CD平面ABD.CDAB.又 ABAD，CDADD ，AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，
10、平面 ADC平面 ABC.12(2013全国卷)已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB，则 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于( )A B 23 33C D23 13答案 A解析 如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 C1O，过 C 作CHC1O 于点 H，Error!Error!Error! CH面 BDC1，HDC 为 CD 与面 BDC1 所成的角，设AA12AB2，OC ，CC12，OC 1 ，CH ，sinHDC ，故选 A.22 322 OCCC1OG 23 CHCD 23二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的
11、横线上)13直线 l 与平面 所成角为 30，l A，m，Am，则 m 与 l 所成角的取值范围是_答案 30，90解析 直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的最大值为 90.14如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM PC(或 BMPC)解析 连接 AC，则 BDAC，由 PA底面 ABCD，可知 BDPA，BD平面PAC，BDPC.故当 DMPC(或
12、 BMPC)时，平面 MBD平面 PCD.15(2014北京高考理科数学) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_答案 2 2解析 三棱锥的直观图如右图AB面 BCD，BCD 为等腰直角三角形AB2，BD 2 ，BCCD ，2AC ，AB2 BC2 6AD 2 .AB2 BD2 22 22 216(2013高考安徽卷) 如图正方体 ABCDA 1B1C1D1，棱长为 1，P 为 BC 中点，Q 为线段 CC1 上的动点，过 A、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号 )当 0CQ 时，S 为四边形12当 CQ 时，S 为等腰梯
13、形12当 CQ 时，S 与 C1D1 交点 R 满足 C1R134 13当 CQ1 时，S 为六边形34当 CQ1 时，S 的面积为 .62答案 解析 设截面与 DD1 相交于 T，则 ATPQ ，且 AT2PQDT2CQ.对于 ，当 0CQ 时，则 0DT1，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以为真12对于 ，当 CQ 时，DT1， T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQO1，所以 APD 1Q，12截面为等腰梯形，所以为真对于 ，当 CQ ，QC1 ，DT2，D 1T ，利用三角形相似解得，C 1R1 ，所以 为34 14 12 13真对于 ，当 CQ1 时， DT2，截面
14、S 与线段 A1D1，D1C1 相交，所以四边形 S 为五边34 32形，所以为假对于 ，当 CQ1 时，Q 与 C1 重合，截面 S 与线段 A1D1 相交于中点 G，即即为菱形APC1G，对角线长度为 和 ，S 的面积为 ，所以为真，综上， 选.2 362三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如右图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC 与A 1B1C1 都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F 1 分别是 AC，A 1C1 的中点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 AC
15、C1A1.分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件证明 (1)在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点，B1F1BF，AF 1C 1F.又 B1F1AF 1F 1，C1FBF F ，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1.又 B1F1A1C1，A1C1AA 1A 1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.18(本小题满分 12 分)(2013四川文科) 如图，在三棱柱 ABCA 1B
16、1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，AB AC2AA 1 2，BAC120，D，D 1 分别是线段 BC，B 1C1 的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点(1)在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC 1D 的体积(锥体体积公式：V Sh，其中 S 为底面面积，h 为高)13解析 (1)在平面 ABC 内，过 点 P 作直线 l 和 BC 平行理由如下：由于直线 l 不在平面 A1BC 内， lBC，故直线 l 与平面 A1BC 平行在ABC 中，AB
17、AC，D 是线段 AC 的中点，ADBC，lAD.又 AA1底面 ABC，AA1l.而 AA1AD A， 直线 l平面 ADD1A1.(2)过点 D 作 DEAC 于点 E.侧 棱 AA1底面 ABC，三棱柱 ABCA 1B1C1为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C.在 RtACD 中， AC2， CAD60，ADACcos601，DEADsin60 .32SQA1C1 A1C1AA1 211，12 12三棱 锥 A1QC 1D 的体积 VA1QC 1DVDQA 1C1 SQA1C1DE 1 .13 13 32 3619(本小题满分 12 分)如下图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平
18、面ABCD， AB4 ，BC3，AD 5，DAB ABC 90 ， E 是 CD 的中点(1)证明：CD 平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥PABCD 的体积解析 (1)证明：如下图所示， 连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90，得 AC5.又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE.PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD.而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF.由(1)CD 平面 P
19、AE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且BGAE.由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角由题意，知PBABPF，因为 sinPBA ，sinBPF ，所以 PABF .PAPB BFPB由DABABC 90知，ADBC ，又 BGCD，所以四 边 形 BCDG 是平行四边形，故GDBC3.于是 AG2.在 RtBAG 中，AB4，AG 2，BGAF，所以BG 2 ，BF .于是 PABF .AB2 AG2 5AB2BG 1625 855 855又梯形 ABCD 的面积为 S (53) 416，所以四棱 锥 PAB
20、CD 的体积为12V SPA 16 .13 13 855 12851520(本小题满分 12 分)(2013全国新课标卷)如图三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CACB，AB AA1，BAA 160 ，(1)证明 ABA 1C；(2)若 AC1 ， ABCB2，求三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积 S.6命题意图 本题主要考查空间线面，线线垂直的判定与性质，及体积的计算，考查空间想象能力，逻辑推理论证能力，属容易题解析 (1)证明：取 AB 中点 E，连接 CE，A1B，A1E，ABAA 1，BAA160，BAA 1 是等边三角形，A1EAB，CACB， CEAB，CEA 1EE，AB面 C
21、EA1，ABA1C.(2)由于CAB 为等边三角形， CE ，A1E ，在A 1CE 中 A1C .即有3 3 6A1C2CE 2A 1E2，故 A1ECE，S 底面积 ABCE 22 2 ，A1EAB，A1ECE，h A1E ，VSh2 6.12 12 3 3 3 3 321(本小题满分 12 分)(2013福建改编)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面ABCD， ABDC，AB AD，BC 5，DC3，AD4， PAD60.(1)当正视方向为从 A 到 D 的方向时，画出四棱锥 PABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM 平面 P
22、BC；(3)求三棱锥 DPBC 的体积解析 (1)如图 1，在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E.由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AECD3，在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依据勾股定理得 BE3，从而 AB6.又由 PD平面 ABCD 得，PD AD，从而在 RtPDA 中，由 AD4， PAD60，得 PD4 .3正视图如图 2 所示：(2)方法一：如图 3，取 PB 的中点 N，连接 MN，CN.在PAB 中，M 是 PA 的中点，MN AB，MN AB3，又 CDAB， CD3，12MN CD，MNCD，四 边形 MNCD 为平行四边形，DMCN.又 D
23、M平面 PBC，CN平面 PBC，DM平面 PBC.方法二：如图 4，取 AB 的中点 E，连接 ME，DE.在梯形 ABCD 中，BE CD ，且 BECD，四 边形 BCDE 为平行四边形，DEBC .又 DE平面 PBC，BC平面 PBC，DE平面 PBC.又在PAB 中，MEPB，ME平面 PBC，PB平面 PBC，ME平面 PBC.又 DEMEE， 平面 DME平面 PBC.又 DM 平面 DME，DM平面 PBC.(3)VDPBC V PDBC SDBCPD，13又 SDBC6，PD 4 ，所以 VDPBC 8 .3 322(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底
24、面 ABCD 是矩形，已知AB 3，AD 2 ，PA2，PD 2 ，PAB60.2(1)求证：AD 平面 PAB；(2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值；(3)求二面角 PBDA 的正切值解析 (1)证明：在PAD 中， PA2，AD2，PD2 ，2PA2AD 2PD 2，ADPA.在矩形 ABCD 中，ADAB.PAABA， AD平面 PAB.(2)BCAD ，PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角在PAB 中，由余弦定理得PB .PA2 AB2 2PAABcosPAB 7由(1)知 AD平面 PAB，PB平面 PAB，ADPB，BCPB，则PBC 是直角三角形，故 tan
25、PCB .PBBC 72异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为 .72(3)过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 HEBD 于点 E，连结 PE.AD平面 PAB，PH平面 ABCD，ADPH.又 ADAB A，PH平面 ABCD.又 PH平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD.又 平面 PHE平面 ABCDHE，BDHE，BD平面 PHE.而 PE平面 PHE，BDPE，故PEH 是二面角 PBDA 的平面角由题设可得，PHPA sin60 ，3AHPAcos601，BHABAH2，BD ，HE BH .AB2 AD2 13ADBD 413在 RtPHE 中， tanPEH .PHHE 394二面角 PBDA 的正切值为 .394
