1、162.1 直接证明：分析法与综合法一、基础达标1已知 a， b， cR，那么下列命题中正确的是( )A若 ab，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3且 ab1a1bD若 a2b2且 ab0，则 b3且 ab ，故 C对；对于 D：若Error!，则 D不成1a1b立2 A、 B为 ABC的内角， AB是 sin Asin B的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理 ，又 A、 B为三角形的内角，sin A0，sin asin A bsin BB0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.3已知直线 l
2、， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出下列四个命题：若 ，则l m；若 l m，则 ；若 ，则 l m；若 l m，则 .其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 若 l ， m ， ，则 l ，所以 l m，正确；2若 l ， m ， l m， 与 可能相交，不正确；若 l ， m ， ， l与 m可能平行或异面，不正确；若 l ， m ， l m，则 m ，所以 ，正确4设 a， bR，且 a b， a b2，则必有( )A1 ab B abab.a2 b22又因为 a b22 ，ab故 ab1，即 1ab.a2 b22 a b 2 2ab2 a2 b225要证明
3、cb解析 a2 c22(84 )34 6 0， ac. 1， c b.3 48 36cb 6 27 3 7 36 27设 a b0，求证：3 a32 b33 a2b2 ab2.证明 法一 3 a32 b3(3 a2b2 ab2)3 a2(a b)2b2(b a)(3 a22 b2)(a b)因为 a b0，所以 a b0,3 a22 b20，从而(3 a22 b2)(a b)0，所以 3a32 b33 a2b2 ab2.法二 要证 3a32 b33 a2b2 ab2，只需证 3a2(a b)2 b2(a b)0，只需证(3 a22 b2)(a b)0， a b0. a b0，3a22 b22a
4、22 b20，上式成立二、能力提升8设 0 x a， a0 B ab0， b0， b0答案 C解析 与 同号，由 2，知 0， b0是 2 成立的一个充分而不必要条件ab ba10.如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件_时，有 A1C B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证 A1C B1D1，只需证 B1D1垂直于A1C所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可11已知 a0， 1.求证： .1b 1a 1 a 1
5、1 b证明 要证 成立，1 a11 b只需证 1 a ，11 b只需证(1 a)(1 b)1(1 b0)，即 1 b a ab1，4 a b ab，只需证： 1，即 1.a bab 1b 1a由已知 a0， 1 成立，1b 1a 成立1 a11 b12求证抛物线 y22 px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2证明 如图，作 AA、 BB垂直准线，取 AB的中点 M，作 MM垂直准线要证明以 AB为直径的圆与准线相切，只需证| MM| |AB|12由抛物线的定义：| AA| AF|，| BB| BF|，所以| AB| AA| BB|，因此只需证| MM| (|AA| BB|)，1
6、2根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2三、探究与创新13(2013广东)设数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a11， an1 n2 n ， nN *.2Snn 13 23(1)求 a2的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an 74(1)解 当 n1 时， 2 a1 a2 1 2，解得 a24.2S11 13 23(2)解 2 Sn nan1 n3 n2 n13 23当 n2 时，2 Sn1 ( n1) an (n1) 3( n1) 2 (n1)13 23得 2an nan1 ( n1) an n2 n整理得 nan1 ( n1) an n(n1)，即 1， 1，an 1n 1 ann an 1n 1 ann5当 n1 时， 211.a22 a11所以数列 是以 1为首项，1 为公差的等差数列ann所以 n，即 an n2.ann所以数列 an的通项公式为 an n2， nN *.(3)证明 因为 (n2)，1an 1n2 1 n 1 n 1n 1 1n所以 1 11a1 1a2 1an 112 122 132 1n2 14 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n) 14 .12 1n 74 1n 74
