1、2018 届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 （是虚数单位） ，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】化为 ， ，故选 B.2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 , ,所以 ，故选 A.3. 元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的
2、一个程序图，若 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得 ，不满足 ，执行循环体，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ，故选 A.4. 已知焦点在 轴上的双曲线 的两条渐近线方程为 和 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D【解析】由渐近线方程为 ，即渐近线方程为 ，设双曲线的方程为，则渐近线方程为 ，即有 ，又 ，即 ，可得，故选 D.5. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 是奇函数，在区间 内单调递增，不满足条件； 不是偶函数，在区间 内单调递增，不满足条件
3、； 是偶函数，在区间 内单调递减，满足条件； ， 是偶函数，在区间 内单调递增 ，不满足条件，故选 C.6. 某校初三年级有 名学生，随机抽查了 名学生，测试 分钟仰卧起坐的成绩（次数） ，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）A. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 次B. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数的众数为 次C. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数超过 次的人数约有 人D. 该校初三年级学生 分钟仰卧起坐的次数少于 次的人数约为 人.【答案】C【解析】第一组数据的频率为 ；第二组数据的频率为 ，第三组的频率为中位数在第三
4、组内，设中位数为 ，则 数据的中位数为 ，故 错误；最高矩形是第三组数据， 第三组数据的中间值为 人众数为 ，故 错误；学生 分钟仰卧起坐的成绩超过 次的频率为 人超过 次的人数为 人，故 正确；学生 分钟仰卧起坐的成绩少于 次的频率为 分钟仰卧起坐的成绩少于 次的人数为人，故 错误，故选 C.7. 若 ， 均为锐角且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 为锐角， ， ， ， ，故选 B.8. 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙
5、说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）A. 甲没过关 B. 乙没过关 C. 丙过关 D. 丁过关【答案】B9. 一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于 的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可得，正六棱柱的直观图如图， ，图中 ，设正六边形边长为，则，棱柱侧视图是边长为 与 的矩形,面积为 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及正六棱柱的性质，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直
6、观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知数列 是公差不为 的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，设 ，则数列的前 项和 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设首项为 ，公差为 ， 成等比数列， ，解得， ， ， ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此
7、外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.11. “ ”是函数 满足：对任意的 ，都有 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 当 时， 在 上递减， 在 递减，且 在上递减， 任意 都有 ， 充分性成立；若 在 上递减， 在上递增， 任意 ，都有 ，必要性不成立， “ ”是函数满足：对任意的 ，都有 ”的充分不必要条件，故选 A.12. 已知三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上， ， ， ， 平面 ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 平面 ，所
8、以 ，又因为 ，所以 ，所以三棱锥的外接球就是以 为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得 ， 此三棱锥外接球的表面积为 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若函数 ，则 _【答案】1【解析】因为函数 ，所以 ,故答案为 .14.
9、已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 _【答案】【解析】 时， 时， ， ，故答案为.15. 若 ， ，点 在圆 的外部，则 的范围是_【答案】【解析】可化为 ，又 在圆 的外部， ，画出的可行域，如图，由图知， 在 处有最大值 ， 在 处有最小值 ，因为此可行域在边界处不能取值， 的取值范围是 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查点与圆的位置关系以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最
10、优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 直角梯形 中， ， ， 是边长为 的正三角形， 是平面上的动点，设 （， ） ，则 的最大值为_【答案】【解析】， ，即的最大值为 故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 ， ，设函数（1）求函数 的单调增区间；（2）设 的内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且， ，成等比数列，求 的取值范围.【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据平面向量的数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简可得 ，根据正弦函数的单
11、调性可得 ，解不等式可得函数 的单调增区间；（2）由， ，成等比数列，可得 ，再根据余弦定理结合基本不等式可得，从而可得角 的范围，进而可得 的取值范围.试题解析：（1） . ，令 ，则 ， ，所以函数 单调递增区间为 ， .（2）由 可知（当且仅当 时，取等号） ，所以，综上 的取值范围为 .18. 某中学调查了某班全部 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）能否由 的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？（附：当 时，有 的把握说事件 与 有关；当 ，认为事件 与 是无关的）（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中，有 名男同学 ， ， ， ， ，
12、名女同学， ， .现从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，求 被选中且 位被选中的概率.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）将列联表中的数据代入公式 ，可求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；（2）利用列举法，确定基本事件从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人的个数为 ，以及事件“ 被选中且 未被选中”所包含的基本事件有 个，利用古典概型概率公式可求出 被选中且 未被选中的概率.试题解析：（1）由调查数据可知，没有 的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.（2）从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：， ， ， ， ， ， ， ，
13、 ， ， ， ， ， 共 个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“ 被选中且 未被选中 ”所包含的基本事件有： ， ，共 个.因此， 被选中且 为被选中的概率为 .【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式及独立性检验的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， . 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19. 如图，在直三棱柱 中， 、 分别为 、
14、的中点， ， .（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）设 为边 的中点，连接 ， ， ， 分别为 ， 的中点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形 为平行四边形，可得 ，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明 平面 ，知 ，从而可得三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，利用等积变换可得 .试题解析：（1）设 为边 的中点，连接 ， ， 分别为 ， 的中点， ， ，又 ， ， ， ， 四边形 为平行四边形. ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，（2）在直三棱柱中 ，又 ，平面 ， 平面 ， ， 平面 ，知 ，可得三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，由（1） 平面 知： 到平面 的距离等于 到平面 的距离 .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.
