1、2018 届湖南省长沙市铁路一中高三上学期第二次阶段性测试数学（理）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2,10,|130ABx，则 ABI（ ）A , B C , D 0,122.若复数 31zi，其中 i为虚数单位，则复数 z的虚部是（ ）A-1 B C1 D i3.已知 ,均为第一象限的角，那么 是 sni的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.若 ,xy满足约束条件104xy，则 1yx的取值范围为（ ）A. 10,2 B. 1,2 C. 0,2
2、 D.,5. 已知双曲线 1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )x2a2 y25A. B. C. D.31414 324 32 436、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a( )A0 B2 C4 D147、若ABC 中，AC ，A45，C75，则 BC（ ） 3A1 B 2 C D28.设首项为 1，公比为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则 ( )23AS n2a n1 BS n3a n2 CS n43a n DS n32a n9 设 alog 32， blog 52
3、，c log23，则( )Aacb Bbca Ccba Dcab10.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1） ，则这个几何体的体积（ ）A 32 B 643 C16 D3211.抛物线 8yx的焦点为 F，设 1(,)Axy， 2(,)B是抛物线上的两个动点，若1243x，则 的最大值为（ ）A B C 56 D 2312、已知对任意 x1，f(x)=lnx+ 3xk+1-k 大于零恒成立，若 kz，则 k 的最大值为（ ）A. 2 B.3 C. 4 D. 5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.在多项式 6(12)x的展开式中， 2x项的系数为
4、 14. 观察下列不等式1 ，122321 ，122 132 531 ，122 132 142 74照此规律，第五个不等式为_15.若 tant，其中 02，则 的最大值为 .16、点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 2，若四面体 ABCD 体积的最大值为 43，则该球的表面积为 。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列a n的公差不为零， a125，且 a1，a 11，a 13 成等比数列(1)求a n的通项公式；(2)求 a1a 4a 7a 3n2 .18. 如图，四棱锥 PABCD中，
5、平面 PA平面 BCD，底面 A为等腰梯形， /ABCD，2AD， 4， 为正三角形.（1 ）求证： BD平面 PA；（2 ）设 A的中点为 E，求直线 PE 与平面 PDC所成角的正弦值.19. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）空气质量指数 (0,5,10(,5(10,2(0,25(0,3空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图
6、所得频率估计为概率.（1）请估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算） ；（2）该校 2017 年 6 月 7、8、9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级重度污染，需要净化空气费用 10000 元，出现 6 级严重污染，需要净化空气费用 20000 元，记这三天净化空气总费用 X元，求 的分布列及数学期望.20.已知椭圆2:1xyCab（ 0a）的左、右顶点分别为 12,A，左、右焦点分别为 12,F，离心率为 12，点 (4,0)B， 2F为线段 1AB的中点.（1 ）求椭圆 C的方程；（2 ）若过点 B且斜率不为 0 的直线 l与椭圆 C
7、的交于 ,MN两点，已知直线 1AM与 2相交于点 G，判断点 G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21. 已知函数 21xmfex.（1）当 时，求证：对 0,时， 0fx；（2）当 时，讨论函数 fx零点的个数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本题满分 10 分）选修 4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系 xoy中，曲线 1C的参数方程为 25cosinxy（ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1 ）求曲线 1C的极坐标方程；（2 ）若直线 2的极坐标方程为 3R，设
8、2C与 1交于点 ,PQ,求 的值.23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（1 ）求不等式 10x的解集；（2 ）已知 2,naRL，且 121naL，求证： 1212.naaL理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D C C B B D D A D C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分1360 ; 14. 1 . 15. 30 度; 16. 9122 132 142 152 1
9、6211612 题解：即 xlnx+xkx+3k0，令 g（x）=xlnx+xkx+3k，则 g（x）=lnx+1+1 k=lnx+2k，x 1，lnx0，若 k2，g（x）0 恒成立，即 g（x）在（1，+ ）上递增；g（1）=1+2k0，解得，k ；故 k2，故 k 的最大值为 2；若 k2，由 lnx+2k0 解得 xe k2，故 g（x）在（1，e k2）上单调递减，在（ ek2，+ ）上单调递增；g min（x）=g（e k2）=3ke k2， 令 h（k）=3k ek2，h （k）=3e k2，h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+）上单调递减；h（2+ln3）
10、=3+3ln3 0，h（4）=12 e20，h（5）=15e 30；k 的最大取值为 4， 综上所述，k 的最大值为 4三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列a n的公差不为零， a125，且 a1，a 11，a 13 成等比数列(1)求a n的通项公式；(2)求 a1a 4a 7a 3n2 .17解：(1)设a n的公差为 d.由题意，a a 1a13，211即(a 1 10d)2a 1(a112d)，于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d0( 舍去)， d2.故 an2n27.(2)令 Sna 1a 4a 7a
11、 3n2 .由(1)知 a3n2 6n31，故a 3n2 是首项为 25，公差为6 的等差数列从而Sn (a1a 3n2 )n2 (6n56)n23n 228n.18.【解析】 （）在等腰梯形 ABCD中，过点 作 EAB于点 ，如图所示：有 1,3,2AE在 BD中，有 2，即又因为平面 P平面 BCD且交线为 A， BD平面 PA.（） 由平面 PAD平面 BC，且 PAD为正三角形, E为 AD的中点， E，得 平面 如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 x轴， B所在直线为 y轴，过点 平行于 PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.由条件 2ADCB，则 1AED， 3PE， 23
12、BD则 (0,)， (1,0)E， (,3)P- 6 分在等腰梯形 中，过点 作 B的平行线交 A延长线于点 F如图所示：则在 RtCDF中，有 3， 1DF， (,30)C（另解:可不做辅助线，利用 2AB求点 坐标） (1,30)， (1,03)P，设平面 P的法向量 11(,)nxyz则 111nCDxyz ，取 1x，则 1y， 1z，面 P的法向量11(3,)5sincoEPur (0,3)15sinco,E即平面 PB与平面 DC所成二面角的余弦值为 76519.【解析】 （）由直方图可估算 201年（以 3天计算）全年空气质量优良的天数为(0.12)3650.9.5（天） （）由
13、题可知， X的所有可能取值为： ， 0， 2， 30， 40， 5， 60，则： 34()(12P， 134(0)()51PC123308720)(05XC113249()(0P2 233740)()0510X231(5)(0PC60X的分布列为 10203040560P642571592713182401003005060EX9（元） 20.【解析】 （）设点 12(,0)(,AaFc，由题意可知： 42ac，即 2c 又因为椭圆的离心率 12cea，即 c 联立方程可得： ,，则 223ba所以椭圆 C的方程为 2143yx（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点 G是与 y轴平行的直线 0x上
14、假设当点 M为椭圆的上顶点时，直线 l的方程为 34x，此时点 N83(,)5，则联立直线 1:320Alxy和直线 2:60ANly可得点 (1,)2G据此猜想点 G在直线 上，下面对猜想给予证明： 设 12(,)(,)MxyN，联立方程 2(413)xyk可得： 222(34)6410,kxk由韦达定理可得21234kx，216k（*）因为直线 11:()AMyl， 22:()ANylx，联立两直线方程得 12()()x（其中 为 G点的横坐标）即证： 123yx，即 12213(4)4kxk，即证 121240()60xx 将（*）代入上式可得 22(6)0363403kkk此式明显成立
15、，原命题得证所以点 G在定直线上 1x上方法二：设 123(,)(,)(,)MxyNxy， 123,两两不等，因为 ,B三点共线，所以22121212 23()()44(4)()xyxx，整理得： 12125()80x 又 1,AMG三点共线，有： 312yx 又 2,N三点共线，有： 32 将与两式相除得： 22123321 1 12 223()()()()4()xxxyyxx 即 23112122()()() 4xxx，将 12125()80xx即 12125()40xx代入得： 23()9x解得 34（舍去）或 3，所以点 G在定直线 1上方法三：显然 l与 x轴不垂直，设 l的方程为
16、(4)ykx， 12(,)(,)MxyN.由 2()143ykx得 222(4)36410,kx.设 123(,)(,)(,)MyNGy， 123,两两不等，则 12234kx， 12264kx，2212114|()4,3kxxx由 ,A三点共线，有： 31y 由 2,NG三点共线，有： 32x 与两式相除得： 32121122121()(4)()3()813xyxkxx 解得 34（舍去）或 3x，所以点 G在定直线 上21. 解：(1)当 1m时， 21xfe，则 1xfe，令 1xge，则xge，当 0时， 0x，即 0gx，所以函数 xf在 0,上为增函数，即当 时， ff，所以当 时
17、， f恒成立，所以函数2 1xfe在 0,上为增函数，又因为 0f，所以当 1m时，对0,f恒成立.(2)由（1）知，当 0x时， 10xe，所以 0gx，所以函数 1xfe的减区间为,，增函数为 ,.所以 minff，所以对 R， 0f，即 1xe.当 x时， ，又 ,1x， 1xxeme，即 0f，所以当 1时，函数 fx为增函数，又 0f，所以当 0 时， f，当 x时，0fx，所以函数 在区间 1,上有且仅有一个零点，且为 .当 时， （）当 0m时， ,xe，所以 10xfem，所以函数 fx在 ,1上递增，所以 1fxf，且 111, 022mfe，故0m时，函数 yf在区间 ,上无零点. ()当 时， xem，令 xhe，则 xhe，所以函数xfe在 ,1上单调递增， 10f，当1m时，1 1 eefmm，又曲线 fx在区间1,e上不间断，所以1,ex，使 0fx，故当 ,x时， 10fffe，当,时， ff，所以函数 21xmfex的减区间为 ,x，增区间为 ,1x，又 102mfe，所以对 ,0f，又当 21m时，20,mfx，又 fx，曲线 2xfex在区间1,x上不间断.所以 0,，且唯一实数 0，使得 0f，综上，当 01时，函数 yf有且仅有一个零点；当 m时，函数 yfx有个两零点.
