1、2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（60 分）1复数 z 满足 z（34i）=1 （i 是虚数单位） ，则|z|=( )A B C D2若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则以下为真命题的是( )Ap q Bp（q） C （p）q D （p） （q）3若 a、b 是任意实数，且 ab，则下列不等式成立的是( )Aa 2b 2 B Clg （ab）0 D4函数 f（x）在定义域 R 内可导，若 f（x）=f（2x） ，且当 x（ ，1）时， （x1）f（x）0，设 a=f（0 ） ，b=f（ ） ， c=f（3） ，则( )Aabc Bc
2、ab Cc ba Dbca5已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 ，且 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O） ，则 S200=( )A100 B101 C200 D2016函数 y=ln 的图象大致是( )A B C D7根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A， C 为常数） 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是( )A75，25 B75，16 C60，25 D60，168将函数 y=sin（2x+） （0）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的最小值为
3、( )A B C D9在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asinB=bcosA，则sinBcosC 的最大值是( )A1 B C D210已知在正项等比数列a n中，a 1=1，a 2a4=16，则|a 112|+|a212|+|a812|=( )A224 B225 C226 D25611已知双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作斜率为 1 的直线交双曲线的渐近线于点 P，点 P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP 的面积为 ，则该双曲线的离心率为( )A B C D12设 f（x）是定义在 R 上的函数，其函数为 f（x） ，若 f（x）+f（
4、x）1，f（0）=2015，则不等式 exf（x）e x2014（其中 e 为自然对数的底数）的解集为( )A B （，0） C （，0） （0，+） D （，0）二、填空题13在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 ， ，则 =_14执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 5，则输出的 s 的值为_15变量 x、y 满足线性约束条件 ，则使目标函数 z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无数个，则 a 的值为_16已知 ， 均为非零向量， ，| |=2，点 M 是线段 BC（含两端点）上的一点，且 （ + ）=1 ，则| |的取值范围是 A=x| x1的_条件（填“充分不必要” ，
5、“必要不充分 ”， “充分必要 ”， “既不充分也不必要”四者之一） 三、解答题（70 分）17已知向量，函数f（x）= 图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为 （1）求 的值，并求函数 f（x）在区间0， 上的单调递增区间；（2）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f（A）=1，cosC= ，a=5 ，求 b18已知函数 f（x）=lnx ，其中 a 为常数，且 a0（1）若函数 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 y=x+1 垂直，求函数 f（x）的单调递减区间；（2）若函数 f（x）在区间（ 0，2 上的最小值为 ，求 a 的值19已知单调递增数列a n的前
6、n 项和为 Sn，满足 Sn= （a n2+n） （1）求数列a n的通项公式；（2）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn20已知点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （2，0） ，直线 AT、BT 交于点 T，且它们的斜率之积为常数（ 0，1） ，点 T 的轨迹以及 A、B 两点构成曲线 C（）求曲线 C 的方程，并求其焦点坐标；（）若 01，且曲线 C 上的点到其焦点的最小距离为 1设直线 l：x=my+1 交曲线 C于 M、N，直线 AM、BN 交于点 P（）当 m=0 时，求点 P 的坐标；（）当 m 变化时，是否存在直线 l1，使 P 总在直线 l1 上？若存在，求出 l
7、1 的方程；若不存在，请说明理由21已知函数 f（x）= ax（x0 且 x1） （1）若函数 f（x）在（1，+）上为减函数，求实数 a 的最小值；（2）若 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1） f（x 2）+a 成立，求实数 a 的取值范围一、选做题：选修 4-4：平面几何选讲22 （选修 41 几何证明选讲）如图，AB 为 O 的直径，直线 CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于C，EF 垂直于 AB 于 F，连接 AE，BE ，证明：（1）FEB= CEB；（2）EF 2=ADBC一、坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参
8、数方程为 （ab0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线 C1 上的点 M（ 1， ）对应的参数 = ，曲线 C2 过点 D（1， ） （）求曲线 C1，C 2 的直角坐标方程；（）若点 A（ 1，） ，B（ 2，+ ）在曲线 C1 上，求 的值一、不等式选讲24设函数 f（x）=|x4|+|x3|，f（x）的最小值为 m（1）求 m 的值；（2）当 a+2b=m（a ，bR） ，求 a2+b2 的最小值2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（60 分）1复数 z 满足
9、 z（34i）=1 （i 是虚数单位） ，则|z|=( )A B C D【考点】复数求模 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接通过复数方程两边求模，化简求解即可【解答】解：复数 z 满足 z（3 4i）=1（i 是虚数单位） ，可得|z （3 4i）|=1，即|z|3 4i|=1，可得 5|z|=1，|z|= ，故选：D【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查2若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则以下为真命题的是( )Ap q Bp（q） C （p）q D （p） （q）【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，可得q 为真命题，再利
10、用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， q 为真命题，p（ q）为真命题，故选：B【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题3若 a、b 是任意实数，且 ab，则下列不等式成立的是( )Aa 2b 2 B Clg （ab）0 D【考点】不等关系与不等式 【专题】探究型【分析】由题意 a、b 是任意实数，且 ab，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C 可通过特例排除，D 可参考函数 y= 是一个减函数，利用单调性证明出结论【解答】解：由题意 a、b 是任意实数，且 ab，由于 0ab 时，有 a2b 2 成立，
11、故 A 不对；由于当 a=0 时， 无意义，故 B 不对；由于 0ab1 是存在的，故 lg（a b）0 不一定成立，所以 C 不对；由于函数 y= 是一个减函数，当 ab 时一定有 成立，故 D 正确综上，D 选项是正确选项故选 D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法4函数 f（x）在定义域 R 内可导，若 f（x）=f（2x） ，且当 x（ ，1）时， （x1）f（x）0，设 a=f（0 ） ，b=f（ ） ， c=f（3） ，则( )Aabc Bc ab Cc ba
12、 Dbca【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性 【专题】压轴题【分析】根据 f（x）=f（2x）求出（x）的图象关于 x=1 对称，又当 x（ ，1）时， （x1）f（x）0，x10，得到 f（ x）0，此时 f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可【解答】解：由 f（x）=f（2 x）可知，f （x）的图象关于 x=1 对称，根据题意又知 x（，1）时，f （x）0，此时 f（x）为增函数，x（1，+）时， f（x）0，f（x）为减函数，所以 f（3）=f（1）f（0）f（ ） ，即 ca b，故选 B【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力5已知等差数列a n的前
13、n 项和为 Sn，若 ，且 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O） ，则 S200=( )A100 B101 C200 D201【考点】等差数列的前 n 项和 【分析】由三点共线得 a1+a200=1，再由等差数列前 n 项和公式解得【解答】解：A，B ，C 三点共线a1+a200=1又s200=100故选 A【点评】本题主要考查向量共线和等差数列前 n 项和公式6函数 y=ln 的图象大致是( )A B C D【考点】正弦函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据 f（x）=f（x） ，可得函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、D，
14、再根据当 x（0，1）时，ln 0，从而排除 C，从而得到答案【解答】解：函数 y=ln ，x+sinx0，x0，故函数的定义域为x|x0 再根据 y=f（x）的解析式可得 f（x）=ln（ ） =ln（ ）=f（x） ，故函数 f（x）为偶函数，故函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、D当 x（0，1）时，0sinx x1，0 1，函数 y=ln 0，故排除 C，只有 A 满足条件，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题7根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A， C 为常数） 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，
15、组装第 A件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是( )A75，25 B75，16 C60，25 D60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】函数的性质及应用【分析】首先，x=A 的函数值可由表达式直接得出，再根据 x=4 与 x=A 的函数值不相等，说明求 f（4）要用 xA 对应的表达式，将方程组联解，可以求出 C、A 的值【解答】解：由题意可得：f（A ）= =15，所以 c=15而 f（4）= =30，可得出 =30故 =4，可得 A=16从而 c=15 =60故答案为 D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内
16、运用表达式加以解决8将函数 y=sin（2x+） （0）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的最小值为 ( )A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，得出结论【解答】解：将函数 y=sin（2x+） （ 0）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数 y=sin2（x+ ）+ =sin（2x+ +）的图象，可得 += ，求得 的最小值为 ，故选：B【点评】本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，属于基础题9在AB
17、C 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asinB=bcosA，则sinBcosC 的最大值是( )A1 B C D2【考点】余弦定理 【专题】三角函数的求值【分析】已知等式利用正弦定理化简得到 tanA=1，求出 A 的度数，用 B 表示出 C，代入所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值【解答】解：由 asinB=bcosA 以及正弦定理可知 sinAsinB=sinBcosA，即 sinA=cosA，tanA=1，即 A= ， sinBcosC= sinBcos（ B）= s
18、inBcos cosBsin sinB= sinB+ cosB=sin（B+ ） ，0 B ，即 B+ ，0sin（B+ ）1，则 sinBcosC 的最大值为 1故选 A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10已知在正项等比数列a n中，a 1=1，a 2a4=16，则|a 112|+|a212|+|a812|=( )A224 B225 C226 D256【考点】数列的求和；等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出公比 q，得到通项公式判断 an12 成立时 n 的值，即可
19、去掉绝对值符号，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：设正项等比数列a n的公比为 q0，a 1=1，a 2a4=16， q4=16，解得 q=2 =2n1，由 2n112，解得 n4|a112|+|a212|+|a812|=12a1+12a2+12a3+12a4+a512+a812=2（a 1+a2+a3+a4）+（a 1+a2+a8）= +=2（2 41）+2 81=225故选 B【点评】判断 an12 成立时 n 的值正确去掉绝对值符号，熟练掌握等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式是解题的关键11已知双曲线 =1（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作斜率为 1
20、的直线交双曲线的渐近线于点 P，点 P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP 的面积为 ，则该双曲线的离心率为( )A B C D【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设 F 点坐标，然后根据点斜式写出直线 l 方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点 P，根据三角形面积，求出 a 与 b 的关系，进而求出离心率【解答】解：设右焦点 F（c，0） ，则过 F 且斜率为1 的直线 l 方程为 y=cx直线 l 交双曲线的渐近线于点 P，且点 P 在第一象限为 解得 P（ ， ）OFP 的面积为 ， c = 整理得 a=3b该双曲线的离心率为 = =故答案为
21、：C【点评】本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式12设 f（x）是定义在 R 上的函数，其函数为 f（x） ，若 f（x）+f（x）1，f（0）=2015，则不等式 exf（x）e x2014（其中 e 为自然对数的底数）的解集为( )A B （，0） C （，0） （0，+） D （，0）【考点】导数的运算 【专题】导数的综合应用【分析】构造函数 g（x）=e xf（x）e x， （xR） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解【解答】解：设 g（x）=e xf（ x）e x， （xR） ，则 g（x）=e xf（x）+e x
22、f（x） ex=exf（x）+f（x）1，f（ x）+f（x）1，f（ x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减，exf（x ）e x2014，g（ x） 2014，又 g（ 0）=e 0f（0）e 0=20151=2014，g（ x） g（0） ，x 0不等式 exf（x ）e x2014 的解集为（ ，0） 故选：D【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题二、填空题13在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 ， ，则 = 【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；数形结合；转化思想【分析】根
23、据 ， ，确定点 D，E 在正三角形 ABC 中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把 用 表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得 的值【解答】解： ， D 为 BC 的中点， ， ， ，= ）= = ，故答案为： 【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想14执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 5，则输出的 s 的值为 11【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s，i 的值，当 i=6 时不满足条件i5，退出循环，输出 s 的值为 11【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=5，
24、i=1，s=1满足条件 i5， s=1，i=2满足条件 i5， s=2，i=3满足条件 i5， s=4，i=4满足条件 i5， s=7，i=5满足条件 i5， s=11，i=6不满足条件 i5，退出循环，输出 s 的值为 11故答案为：11【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 s，i 的值是解题的关键，属于基础题15变量 x、y 满足线性约束条件 ，则使目标函数 z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无数个，则 a 的值为 2【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函
25、数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出 a 的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=ax+y（a 0）得 y=ax+z，a0，目标函数的斜率 k=a0平移直线 y=ax+z，由图象可知当直线 y=ax+z 和直线 2x+y=2 平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=2，即 a=2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法16已知 ， 均为非零向量， ，| |=2，点 M 是线段 BC（含两端点）上的一点，且 （ + ）=1 ，则| |的取值范围是 A=x| x1的充分不必要条件（填“充分不必要
26、” ， “必要不充分 ”， “充分必要 ”， “既不充分也不必要”四者之一） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】解如图所示，由 ， 均为非零向量， ，| |=2，可得ABAC，BC=2设 P 是 BC 的中点，则 =2 AP= =1设=由于 （ + ）=1，可得 = ，即可得出【解答】解：如图所示， ， 均为非零向量， ，| |=2，ABAC，BC=2设 P 是 BC 的中点，则 =2 AP= =1= （ + ）=1， = ，点 M 在 AP 的中垂线上运动，又 M 点在 BC 上，1 | |的取值范围是 A=x| x1的“充分不必要”故答案为：充分不必要【点
27、评】本题考查了向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（70 分）17已知向量，函数f（x）= 图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为 （1）求 的值，并求函数 f（x）在区间0， 上的单调递增区间；（2）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f（A）=1，cosC= ，a=5 ，求 b【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】 （1）先求出 f（x）=2sin（x+ ） ，而 f（x）图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为其周期的四分之一，这样即可求
28、得 =2，从而 f（ x）=2sin（2x+ ） ，写出 f（x）的单调增区间，然后再找出0， 上的单调递增区间即可；（2）由 f（A）=1，能够求出 A= ，由 cosC= 求出 sinC，而由 sinB=sin（ ）即可求出 sinB，而由正弦定理： ，即可求出 b【解答】解：（1）；由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ，所以 ；令 ，解得 ，kZ；又 x0， ，所以所求单调增区间为 ；（2） 或 ；A=k 或 ， （kZ ） ，又 A（0，） ；故 ； ； ；由正弦定理得 ； 【点评】考查求函数 Asin（x+）的周期的公式，并且知道该函数的对称轴与对称中心，以及能写出该函数的单调区
29、间，数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，两角和的正弦公式，正弦定理18已知函数 f（x）=lnx ，其中 a 为常数，且 a0（1）若函数 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 y=x+1 垂直，求函数 f（x）的单调递减区间；（2）若函数 f（x）在区间（ 0，2 上的最小值为 ，求 a 的值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】求出原函数的导函数（1）求出 f（ 1） ，由题意可得 f（1）= 1，由此求得 a 值，代入原函数的导函数，由导函数小于 0 求得函数 f（x）的单调递减区间；（2）求出原函数的导函数，对 a
30、 分类得到原函数的单调性，求出函数的最小值，由最小值等于 求得 a 值【解答】解：f（x）= （1）曲线 y=f（x）在点（1，f （1）处的切线与直线 y=x+1 垂直， f（1）= 1，解得 a=2当 a=2 时，f （ x）=lnx ，f（x）= ，令 f（x）0，解得 0x2函数 f（x）的单调递减区间为（ 0，2） ；（2）当 0a2 时，由 f（x）=0 得，x=a （0，2） ，对于 x（0， a）有 f（x）0，f（x）在（0，a上为减函数，对于 x（a，2）有 f（x）0，f（x）在a，2上为增函数，f（ x） min=f（a）=lna，令 lna= ，得 a= ，当 a2
31、时，f （x）0 在（0，2）上恒成立，这时 f（x）在（0，2上为减函数， ，得 a=3ln42（舍去） 综上 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题19已知单调递增数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn= （a n2+n） （1）求数列a n的通项公式；（2）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】 （1）当 n=1 时，a 1= ，解得 a1；当 n2 时，利用 an=SnSn1，化为（a n1+an1） （a n1an1）=0 ，可得an1+
32、an1=0，或 an1an1=0，由于数列a n是单调递增数列，可得 anan1=1利用等差数列的通项公式即可得出（2）c n= ，对 n 分类讨论，利用“裂项求和” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（1）当 n=1 时，a 1= ，解得 a1=1；当 n2 时， ，a n=SnSn1= ，化为（a n1+an1） （a n1an1）=0 ，an1+an1=0，或 an1an1=0，数列 an是单调递增数列，anan1=1an=1+（n1）=n（2）c n= 当 n 为偶数时，T n=（c 1+c3+cn1）+（c 2+c4+cn）= +3（2 3+25+2n+1）+= +3
33、+= +8（2 n1）+ 当 n 为奇数时，T n=（c 1+c3+cn）+（c 2+c4+cn1）= + += +3 += +8（2 n11）+ Tn= 【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题20已知点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （2，0） ，直线 AT、BT 交于点 T，且它们的斜率之积为常数（ 0，1） ，点 T 的轨迹以及 A、B 两点构成曲线 C（）求曲线 C 的方程，并求其焦点坐标；（）若 01，且曲线 C 上的点到其焦点的最小距离为 1设直线 l：x=my+1 交曲线 C于 M、N，直线 AM
34、、BN 交于点 P（）当 m=0 时，求点 P 的坐标；（）当 m 变化时，是否存在直线 l1，使 P 总在直线 l1 上？若存在，求出 l1 的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （）设 T（x，y） ，由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程；（）由于 01，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求得焦点和 ac 为最小值，解得 ，进而得到椭圆方程，（）当 m=0 时，由 x=1 代入椭圆方程，即可得到 P 的坐标；（）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 及 x=my+1，运用韦达定理和
35、恒成立思想，即可得到定直线x=4【解答】 （）解：设 T（x，y） ，则 ，化简得又 A、B 的坐标（ 2，0） 、 （2，0）也符合上式故曲线 C： ，当 01 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，焦点为，当 1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，焦点为；（）解：由于 01，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，其焦点为，椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离，故 ， ，曲线 C 的方程为 ；（）由联立 解得 或，当 时， ，解得P（4，3） ，当 时，由对称性知，P（4，3） ，所以点 P 坐标为（4，3）或（4，3） ；（）由（）知，若存在，直线 l1 只能
36、是 x=4以下证明当 m 变化时，点 P 总在直线 x=4 上设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 及 x=my+1，消去 x 得：（3m 2+4）y 2+6my9=0， ，直线 ，消去 y 得 ，以下只需证明 对于 mR 恒成立而 ，所以式恒成立，即点 P 横坐标总是 4，点 P 总在直线 x=4 上故存在直线 l1：x=4 ，使 P 总在直线 l1 上【点评】本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题21已知函数 f（x）= ax（x0 且 x1） （1）若函数 f（x）在（1，+）上为减函数，求实数
37、a 的最小值；（2）若 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1） f（x 2）+a 成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系 【专题】分类讨论；导数的综合应用【分析】 （1）f（x）在（1， +）上为减函数，等价于 f（x）0 在（1，+）上恒成立，进而转化为 f（x ） max0，根据二次函数的性质可得 f（x） max；（2）命题“若x 1，x 2e，e 2，使 f（x 1） f（x 2）+a 成立”等价于“ 当 xe，e 2时，有f（x） minf（x） max+a”，由（ 1）易求 f（x） max+a，从而问题等价于“ 当 xe，e
38、2时，有f（x） min ”，分a ， a 两种情况讨论：当 a 时易求 f（x） min，当 a 时可求得 f（x）的值域为 a， ，再按（i）a 0， （ii）a0 两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因 f（x）在（ 1，+ ）上为减函数，故 f（x）= a0 在（ 1，+）上恒成立，又 f（x）= a= + a= ，故当 ，即 x=e2 时， ，所以 0，于是 a ，故 a 的最小值为 （2）命题“若x 1，x 2e，e 2，使 f（x 1） f（x 2）+a 成立”等价于“ 当 xe，e 2时，有f（x） minf（x） max+a”，由（1） ，当 xe，e 2时，f （x） ma
39、x= ，所以 f（x） max+a= ，问题等价于：“ 当xe，e 2时，有 f（x） min ”，当 a 时，由（ 1） ，f （ x）在e，e 2上为减函数，则 f（x） min=f（e 2）= ，故 a ， ；当 a 时，由于 在e ，e 2上为增函数，故 f（x）的值域为 f（e） ，f （e 2） ，即a ， （i）若a0，即 a0，f（x）0 在e，e 2上恒成立，故 f（x）在e，e 2上为增函数，于是，f（x） min=f（e ）=e aee ，不合题意；（ii）若a0，即 0a ，由 f（x）的单调性和值域知，唯一 ，使f（x 0）=0，且满足：当 x（e ，x 0）时，f
40、（x）0，f（x）为减函数；当 x 时，f（x）0，f（ x）为增函数；所以， ， ，所以 a ，与 0a 矛盾，不合题意；综上，得 a 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力一、选做题：选修 4-4：平面几何选讲22 （选修 41 几何证明选讲）如图，AB 为 O 的直径，直线 CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于C，EF 垂直于 AB 于 F，连接 AE，BE ，证明：（1）FEB= CEB；（2）EF 2=ADBC【考点】与圆有关的比例线段 【专题】综合题【分析
41、】 （1）直线 CD 与 O 相切于 E，利用弦切角定理可得 CEB=EAB由 AB 为 O 的直径，可得AEB=90又 EFAB，利用互余角的关系可得 FEB=EAB，从而得证（2）利用（1）的结论及ECB=90=EFB 和 EB 公用可得CEB FEB，于是 CB=FB同理可得ADE AFE，AD=AF在 RtAEB 中，由 EFAB，利用射影定理可得EF2=AFFB等量代换即可【解答】证明：（1）直线 CD 与O 相切于 E， CEB=EABAB 为O 的直径，AEB=90EAB+EBA=90EFAB，FEB+ EBF=90FEB=EABCEB=EAB（2）BCCD，ECB=90 =EF
42、B，又CEB= FEB，EB 公用CEBFEBCB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在 RtAEB 中， EFAB，EF 2=AFFBEF2=ADCB【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键一、坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ab0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线 C1 上的点 M（ 1， ）对应的参数 = ，曲线 C2 过点 D（1， ） （）求曲线 C1，C 2 的直角坐标方程；（）若点 A（
43、1，） ，B（ 2，+ ）在曲线 C1 上，求 的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 【专题】计算题【分析】 （I）将 及对应的参数 ，代入曲线 C1 的参数方程，求出 a、b 的值，可得曲线 C1 的方程把点 D 的极坐标化为直角坐标代入圆 C2 的方程为（x R） 2+y2=R2 ，求得 R=1，即可得到曲线 C2 的方程（II）把 A、B 两点的极坐标化为直角坐标，代入曲线 C1 的方程可得， ，从而求得 的值【解答】解：（I）将 及对应的参数 ，代入 ，得，即 ，所以曲线 C1 的方程为 设圆 C2 的半径为 R，由题意圆 C2 的方程为（x R） 2+y2=R2 由
44、 D 的极坐标 ，得 ，代入（xR） 2+y2=R2，解得 R=1，所以曲线 C2 的方程为（x 1） 2+y2 =1（II）因为点 A（ 1，） ， 在曲线 C1 上，又点 A 的直角坐标为（ 1cos， 1sin） ，点 B 的横坐标为 2 cos（+ ）= 2sin，点 B 的纵坐标为 2sin（+ ）= 2cos，所以 ， ，所以 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题一、不等式选讲24设函数 f（x）=|x4|+|x3|，f（x）的最小值为 m（1）求 m 的值；（2）当 a+2b=m（a ，bR） ，求 a2+b2 的最小值
45、【考点】函数的最值及其几何意义 【专题】函数的性质及应用【分析】 （1）运用绝对值不等式的性质，可得）=|x4|+|x3|（x 4）（x3）| ，即可得到m=1；（2）方法一、运用柯西不等式（cd+ef） 2（c 2+e2） （d 2+f2） ，即可得到最小值；方法二、运用 a2+b2 的几何意义为原点到点（a，b）的距离的平方，由点到直线的距离公式可得最小值【解答】解：（1）函数 f（x ）=|x4|+|x3| （x4）（x 3）|=1 ，当（x4 ） （x 3） 0，即有 3x4 时，f（x）取得最小值 1，即 m=1；（2）方法一、运用柯西不等式（cd+ef） 2（c 2+e2） （d 2+f2） ，当且仅当 cf=ed，不等式取得等号即有 1=（a+2b） 2（a 2+b2） （1+4） ，即为 a2+b2 ，故当 b=2a= 时，a 2+b2 的最小值为 ；方法二、a 2+b2 的几何意义为原点到点（a，b）的距离的平方，由点到直线的距离公式可得最小值为 d2=（ ） 2= ，即有 a2+b2 的最小值为 【点评】本题考查函数的最值的
