1、长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，得 ，所以 ，故选 D。2. 欧拉公式 （为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
2、D. 第四象限【答案】B【解析】 ， ， ， ， 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选 B.3. 已知函数 的零点是 和 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，得 ，即 ，则 ，所以 ，故选 C。4. 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟，所以概率。故选 B。5. 已知三棱柱 的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图所示，
3、， 分别是 三边的中点）后得到的几何体如图，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为平面 平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选 A6. 设等差数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，则使得 的最大的自然数 是（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以 ，则最大的自然数是 9.故选 C。7. 如图程序框图中，输入 ， ， ，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】 ，即 ，即 ，则输出 。故选 A。8. 已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，
4、点 ，则 周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】曲线 右焦点为 ， 周长 要使 周长最小，只需 最小，如图：当 三点共线时取到,故 l=2|AF|+2a= 故选 B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.9. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ，且 ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 及正弦定理得 ，整理得 ， ， ，又 ， ，故 ， 由余弦定理得 ，即 ，解得 ， 选 D点睛：（1）解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如
5、，这样借助于 和三角形的面积公式联系在一起 （2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且每个小三角形的高均为内切圆的半径，然后利用公式 可得半径10. 抛物线 ： 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合，过点 的直线交 于点 、 ，点处的切线与 、 轴分别交于点 、 ，若 的面积为 ，则 的长为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】由题意，焦点 为 ，所以抛物线 为 ，设直线 ，不妨设 为左交点， ，则过 的切线为 ，则 ，所以 ，解得 ，则 ，所以 。故选 A。11. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签
6、：原点处标0，点 处标 1，点 处标 2，点 处标 3，点 处标 4，点 处标 5，点 处标 6，点处标 7，以此类推，则标签 的格点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图形规律可知，由 0（记为第 0 圈）开始，第 圈的正方形右上角标签为 ，坐标为 ，所以标签为 的数字是标签为 的右边一格，标签为 的坐标为 ，所以标签为 的为 ，故选 C。点睛：本题考查证明推理的应用。首先要观察条件的规律，得到其规律的通项关系。本题中的规律是第圈的正方形右上角标签为 ，坐标为 ；利用规律，则可以快速得到答案。12. 已知函数 （ ，是自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对称的点，则
7、实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. ，【答案】B【解析】设 上存在点 ，使得 在 的图象上，所以 ，即 ，记 ，则 ，则 ， 单调递减； ， 单调递增，则 ， ，所以 的值域为 ，即的取值范围为 ，故选 B。点睛：本题考查导数在函数中的综合应用。存在对称点的处理方法，一般式设 上存在点，则其对称点落在 的图象上，再利用其函数关系代入计算。含参问题采取分离参数法，有效解题。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若变量 ， 满足不等式组 则 的最大值为_【答案】1【解析】表示 到 的斜率，由可行域可知，过点 或 时，斜率最大，即 。点睛
8、：本题考查线性规划的应用。首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。14. 如图，有 5 个全等的小正方形， ，则 的值是_【答案】1【解析】 由平面向量的运算可知 ，而 ，所以 ，注意到 不共线，且 ，即 ，所以 ，即 15. 已知四棱锥 的外接球为球 ，底面 是矩形，面 底面 ，且 ，则球 的表面积为_【答案】【解析】设球心为 ，半径为 ， 到底面的距离为 ，四棱锥 的底面是矩形，侧面 是等边三角形，且有侧面 底面 ，四棱锥的高为 ，底面矩形外接圆半径为 ， ， ， ，四棱锥
9、的外接球表面积为 ，故答案为 .16. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为 的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若 ， ，设 的面积为 ，正方形 的面积为 ，当固定，变化时，称 为“规划合理度” ，则“规划合理度”的最小值是_【答案】【解析】 ，令 ，则， ， 函数 在 上递减，因此当 时， 有最小值， ，此时 ， 当 时， “规划合理度”最小，最小值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 为等差数列 的前 项和，已知 ， （1）求 的通项公式；（2）令 ， ，若 对一切 成立，
10、求实数 的最小值【答案】 （1） （2）5【解析】试题分析：（1）利用等差数列的性质，得 解得 所以 ；（2）利用裂项相消法求得 ，则由单调性可知 递增，所以 ，所以 ，即实数 的最小值为 5试题解析：（1）等差数列 中， ， ， 解得 ， （2） w， ， 随着 的增大而增大， 递增，又 ， ， ，实数 的最小值为 5点睛：本题考查等差数列的基本性质及求和。等差数列通项公式的求解灵活应用基本性质，可以求出通项公式，也可以利用基本量法求解。裂项相消法求和是由其通项的基本结构决定，再观察其单调性，解得答案。18. 如图所示的矩形 中， ，点 为 边上异于 ， 两点的动点，且 ， 为线段的中点，现
11、沿 将四边形 折起，使得 与 的夹角为 ，连接 ， .（1）探究：在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，说明点 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥 的体积的最大值，并计算此时 的长度【答案】 （1）见解析 （2）见解析 .【解析】试题分析：(1) 取线段 EF 的中点 M，易证 GMDF ，从而得到 GM平面 BDF；(2) 因为CFDE，且 AE 与 CF 的夹角为 60，故 AE 与 DE 的夹角为 60，利用等体积法表示体积，进而得到体积的最大值，及此时 DE 的长度.试题解析：(1)如图所示，取线段 EF 的中点 M，下证 GM平面 BDF；因为 G 为线段 ED
12、中点，M 为线段 EF 的中点，故 GM 为EDF 的中位线，故 GMDF，又 GM平面 BDF，DF平面 BDF，故 GM平面 BDF； (2)因为 CFDE，且 AE 与 CF 的夹角为 60，故 AE 与 DE 的夹角为 60，过 D 作 DP 垂直于 AE 交 AE 于 P，因为 DEEF，AEEF，故 DP 为点 D 到平面 ABFE 的距离，设 DEx，则 AEBF4x，由知 GMDF，故 VGBDF V MBDF V DMBF SMBFDP x x ，当且仅当 4xx 时等号成立，此时 xDE 2，故三棱锥 GBDF 的体积最大值为 ，此时 DE 的长度为 2.19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 溶度，制定了空气质量标准：
