1、2018 届河南省南阳市第一中学高三第六次考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 是实数集， ，则 （ ）R M=x|2x0 a+2b0A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“ 恒成立”可得 ，所以 成立；反之，当 成立时， 则无法得到 成立f(0)=b0f(1)=a+b0所以“ 恒成立”是“ 成立”的充分不必要条件 选 A9. 已知函数 ，下列结论错误的是（ ）f(x)= 3cos(2x
2、3)(xR)A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 图象关于点 对称f(x) f(x) (512,0)C. 函数 在区间 上是减函数 D. 函数 的图象关于直线 对称f(x)【答案】C【解析】选项 A 中，由题意可得函数 的最小正周期 ，故 A 正确；f(x)选项 B 中， 当 时， ，所以函数 的图象关于点 对称，故 B 正确；x=512 f(512)= 3cos(2512-3)=0 f(x)选项 C 中，当 时， ，所以函数 不单调，故 C 不正确；f(x)选项 D 中，当 时， ，所以函数 的图象关于直线 对称，故 D 正确x=6 f(6)= 3cos(26-3)= 3综上选 C10.
3、函数 的图象大致为（ ）y=x3+ln( x2+1x)A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，f（x）= （x）3+ln（ +x）=f（x） ，函数是奇函数，x2+1f（1）=0，f（2）=8+ln（ 2）0，排除 ACD。5故选 B11. 设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左、右支交于点 ，F C:x2a2y2b2=1(a0,b0) C若 ，则该双曲线的离心率为（ ）|PQ|=2|QF|,PQF=60A. B. C. D. 3 4+23【答案】B【解析】 ，设双曲线的左焦点为 ，连接 ，由对称性可知，为矩形，且 ，故 ，故选 B.F1PF1Q |F1F2=|=
4、2|QF|,|QF1|= 3|QF| e=2c2a= |F1F|QF1|QF|= 231= 3+1【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解12. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点，若 ，则F（ ）A. B. C. D. 与 有关2【答案】B【解析】由题意得直线 的斜率存在且不为 0，且过点 ，可设其方程为 ，由 消去 y 整理得 ，y=k(xp)y2=2px设 ，则 A
5、(x1,y1),B(x2,y2) ， ， ，即 x1+2x2=3p由可得 或 （舍去） x1=2px2=p2 x1=px2=p 选 B|AF|BF|=x1+p2x2+p2=5p2p=52.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 _【答案】【解析】 ，|2a+b|=23,|a|=1 ，(2a+b)2=4a2+4ab+b2=4+41|b|cos120+b2=42|b|+b2=12整理得 ，|b|22|b|8=0解得 或 （舍去） ， 答案：414. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，则a1xm+yn
6、4=0(m0,n0)的最小值为 _m+n【答案】【解析】试题分析：由题知函数恒过点 ,可得 ， .(1,1)1m+1n4=0 1m+1n=4.考点：基本不等式.15. 已知单调递增的等差数列 ，其前 项和为 ，则 的取值范围是_an n Sn,S410,S515 a5【答案】 (52,5【解析】设等差数列 的公差为 ，an d(d0)由题意可得 ，即 ，且 S4=4a1+6d10S5=5a1+10d15 2a1+3d5a1+2d3 a5=a1+4d令 ，则 ， a1=x,d=y,a5=z 2x+3y5x+2y3y0 z=x+4y画出不等式组表示的可行域（如图所示） ，由 得 ，平移直线 z=x
7、+4y y=14xz y=14xz设直线 经过可行域内的点 A 时，的值为 ；经过可行域内的点 B 时，的值为 ，则 y=14xz z2 z1 z10，sinB= 3cosB tanB= 3又 ，B(0,)B=3（2） ，SABC=12acsin3=34ac=23ac=8由余弦定理得： ，b2=a2+c2-2accos3，12=a2+c2-2812=a2+c2-8 ，a2+c2=20 ，(a+c)2=a2+c2+2ac=36，a+c=6又 ，b=23的周长为 . ABC 6+2318. 已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对任意 ，满足 .an n Sn nN* Sn=13a1(an1)
8、（1）求数列 的通项公式；an（2）设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： .bn anbn=log2an bn n Tn Tn89【答案】(1) .(2)证明见解析.an=4n【解析】试题分析：由 ，可以得到 的大小和 的递推关系为 ，因此 为等Sn=13a1(an1) a1=4 an an=4an1 an比数列，从而求得 ，再根据 求出 的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利an=4n anbn=log2an=2n bn用错位相减法求它的前 项和.n（1）当 时， ， ， . ，当 时， ，两n=1 a1=S1=13a1(a11) a10 a1=4 Sn=43(an1) n2 Sn
9、1=43(an11)式相减得 ，因 ， ，故 ，数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列， .an=4an1 a1=4 an0anan1=4 an an=4n（2） ， ， ， ，两式相减得：anbn=log2an=2n1 bn=2n4n Tn=241+442+643+2n4n 14Tn=242+443+644+2n4n+134Tn=24+242+243+24n2n4n+1=2(14+142+143+14n)2n4n+1.=214(114n)1142n4n+1=23234n2n4n+1=236n+934n+1所以 .Tn=896n+894n8919. 如图，四边形 为正方形， 平面 ，点 分
10、别为 的中点.ABCD PD ABCD,PD=DC=2 E,F AD,PC（1）证明： 平面 ；DF/ PBE（2）求点 到平面 的距离.F PBE【答案】(1)证明见解析；(2) .63【解析】试题分析：（）取 的中点 ，连接 、 ，由已知结合三角形中位线定理可得 且PB G EG DE/FG，得四边形 为平行四边形，从而可得 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；DE=FG DEGF DF/EG DF/ PBE（）利用等积法可得： ，代入棱锥体积公式可得点 到平面 的距离VDPBE=VPBDE F PBE试题解析：（）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，G PB FG/BC FG=
11、12BC 且 ，DE/BC DE=12BC 且 ，DE/FG DE=FG四边形 为平行四边形， ， 平面 DF/EG DF/ PBE（）解：由（）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等的，故转化PBE D F PBE为求点 到平面 的距离，设为 D PBE d利用等体积法： ，即 ， ，VD-PBE=VP-BDE13SPBEd=13SBDEPD SBDE=12DEAB=1 ， ， ， PE=BE= 5 PB=23 SPBE= 6 d=63点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方
12、法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20. 设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 ，记点 的轨迹为曲线 .P(x,y)(y0) F(0,1) x 1 P C（1）求点 的轨迹方程；P（2）若圆心在曲线 上的动圆 过点 ，试证明圆 与 轴比相交，且截 轴所得的弦长为定值.C M A(0,2) Mx x【答案】(1) ；(2)证明见解析 .x2=4y【解析】试题分析：（1）由题意可得曲线 为抛物线，根据抛物线的定义可得其方程 （2）结合题意设出圆心 的坐标，并根据圆C M过点 A 得到圆的标准方程，在圆方程中令 后可得关于 x 的二次方程，根据此方程判别式可判断圆与 xy=0轴相交，同时并根据数轴上两点间的距离求出弦长试题解析：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，P F(0 , 1) P y=-1曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线C F(0 , 1)设曲线 C 的方程为 ,x2=2py则 ， p2=1 ，p=2曲线 方程是 C x2=4y（2）
