1、2018 届河南省南阳市第一中学高三第十四次考试数学（理）试题（word 版）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|1Ax， |lg0Bx，则 AB（ ）A |0x B |2 C |12x D |2x2.若复数 521iz，则复数 z在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）A 25升 B 61
2、升 C 132升 D 2140升 4.根据如下程序框图，运行相应程序，则输出 n的值为（ ）A3 B4 C.5 D65. :20laxby被圆 2410xy所截弦长为 4，则 2ab的最小值是（ ）A3 B 3 C.2 D 26.如图是某四棱锥的三视图，则几何体的表面积等于（ ）A 3465 B 6543C. 1 D 77.已知 tan()24，则 sinco（ ）A2 B C.-2 D- 128.如图，在棱长为 1 的正方体 1ABC中，点 E， F分别是棱 BC， 1的中点， P是侧面1C内一点，若 PEF 平 面 ，则线段 P长度的取值范围是（ ）A 325(,)4 B 325,4 C.
3、 51,2 D 50,29.已知关于 x的方程 sin()si()xxm在区间 0， 上有两个根 1x， ，且 12x，则实数 m的取值范围是（ ）A (5,1) B 51， C. 15， D ，10.函数 21|log()xfx，则使得 ()21)fx成立的 x取值范围是（ ）A ， B 1,(,3 C.,3 D (1,)3，11.已知 12,F是椭圆与双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且 2PF，椭圆的离心率为 1e，双曲线的离心率为 2e，若 12PF，则 213e的最小值为（ ）A 623 B 62 C.8 D612.偶函数 ()fx满足 (4)()fxf，当 0,4x时， l
4、n(2)xf，不等式 2()0fxaf在0，上有且只有 200 个整数解，则实数 a的取值范围是（ ）A 1(ln6,23 B 1(ln2,l6)3 C. 1(ln2,l6)3 D 1(ln6,2)3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若非零向量 a， b满足 |ab，则 ab在 方向上的投影为 14.如果 1(3)nx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 41x的系数是 15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件）甲 20 10 8乙 10 20 10在一次运输中，货物总
5、体积不超过 110 升，总重量不超过 100 公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为 元16.在 ABC中，角 、 、 C所对的边分别分 ,abc，若 BC，且 22743abc，则 ABC的面积的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和 nS满足 123()naN.（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 21na的前 项和 nT.18. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室
6、每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日温差 x（ C） 10 11 13 12 8发芽数 y（颗）23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验.（1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y关于x的线性回归方程 ybxa；（3）若由线性回归方程得到
7、的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： 12niixyb12()niiixy， aybx）19. 在四棱锥 PABCD中， 平面 ABCD， /， ACD，且 2，42BC， .（1）求证： ABPC；（2）在线段 D上，是否存在一点 M，使得二面角 ACD的大小为 45，如果存在，求 BM与平面 M所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由. 20. 已知 1(,)xy， 2(,)是抛物线 2:(0)Cxpy上不同两点.（1）设直线 :4pl与 轴交于点 ，若 ,B两点所在的直线方程为 1yx，且直线
8、:4ply恰好平分 AB，求抛物线 的标准方程.（2）若直线 与 x轴交于点 P，与 y轴的正半轴交于点 Q，且214py，是否存在直线 AB，使得13|PABQ？若存在，求出直线 AB的方程；若不存在，请说明理由.21.已知 ()24xfe，其中 e为自然对数的底数.（） ()1()gf， （其中 ()fx为 f的导函数） ，判断 ()gx在 1， 上的单调性；（）若 lnFxa无零点，试确定正数 a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 M的参数方程为23xtyt（ 为参数，且 0t） ，已知曲线 C的极
9、坐标方程为 4cos.（1）将曲线 M的参数方程化为普通方程，并将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线 与曲线 C交点的极坐标 (0， 2).23.已知函数 ()|1|fx.（1）若 0R，使不等式 (2)(3)fxfu成立，求满足条件的实数 u的集合 M；（2） t为 M中最大正整数， a， 1b， c， (1)()abct，求证： 8abc.试卷答案一、选择题1-5: BCCBC 6-10: ADBDB 11、12：CC二、填空题13.-1 14.-189 15.62 16. 5三、解答题17.（1）当 n时， 123Sa，所以 1；当 2n时， 13nSa，则 1123nn
10、nSa，即 a.又因为 ，所以数列 a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 1()nN.（2）由（1）得 123na，所以 1253nT 213nn， 23153nT13nn，-，得 232nT123nn1()2323nn2n，所以 13()nnN.18.（1）设抽到不相邻两组数据为事件 A，因为从第 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种，所以 43()105PA，故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 35.（2）由数据，求得 1(2)1x， (25306)27y397xy， 13niy0697，
11、 14324，由公式得 97254b， 3aybx，所以 y关于 x的线性回归方程为 3yx.（3）当 10时， 52， |2当 8x时， 83172y， |6|所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.19.（1）如图，由已知得四边形 ABCD是直角梯形，由已知 2ADC， 42B，可得ABC是等腰直角三角形，即 ，又 PB平 面 ，则 P，所以 APC平 面 ，所以 P.（2）建立如图所示空间直角坐标系， (0,)， (2,0)， (,20)D， (,2)， (,2,0)， (,2)D设 (01)PMtDt，则 M的坐标为 (0,2)t.设 ,)nxyz是平面 AC的一个法向量，则 0nA
12、CM，得 20()xyttz，则可取2(1,)t，又 (0,1)m是平面 D的一个法向量，所以 |cos,n2|cos45()1tt，此时平面 AC的一个法向量可取 (1,2)n，(2,31)BM， BM与平面 AC所成的角为 ，则 26sin|co,|9BM.20.解：（1）设 1(,)Axy， 2(,)B， (0,)4pM，由21xpy，消去 整理得 20xp，则212480px，直线 平分 AB， 0AMBK1240pyx，即：1214pxx12()04xp， ，满足 ，抛物线 C标准方程为 28y.（2）由题意知，直线 AB的斜率存在，且不为零，设直线 AB的方程为： (0,)ykxb
13、，由 2ykxbp，得 20pkxb，21240pkbx，21y2()4p，214py，2b， 0， 2pb.直线 AB的方程为： pykx.假设存在直线 ，使得 13|PABQ，即 |3PAB，作 x轴， x轴，垂足为 、 ， |PQOAB12|py12y， 1212()ykx2pk， 124， |PQAB224，由 23k，得 12k，故存在直线 ，使得 13|PABQ，直线 AB方程为 pyx.21.（）因为 2()4xfe，则 21()4xfe， ()1()gf21)(4xe（ ，所以 21()(3)4xg122()()0x，所以 ()x在 ， 上单调递增.（）因为 F无零点，所以 m
14、ax0F，或者 maxF，恒成立. ()ln1)(4xf， 1()()f1()xf，即agx，由（）知 gx在 ， 上单调递增，所以 (1)0g，又因为0，所以在 ， ， ()()1aF 有唯一零点，设此零点为 xt，易当 ,xt时，()Fx， ()单调递增； xt， 时， 0Fx， ()单调递减，当 时， ()F有唯一的最大值，有 max(ln)t(4aft，其中 1()agt，所以 max()0Gt恒成立.令 )()ln14(ftGtg，则 21)()(ftfGt2()ftg，由（）知 ()0gt，()0ft在 1， 上恒成立，所以 ()0Gt， ()t在 1， 上单调递增，因为 (0)G
15、，所以当,时， ()0Gt；当 t， 时， .则 max()Ft时， 1,t.由()agt在 1,上递减，得 14()0agt，则 ,.22. 解：（1） ytx， 23yx，即 3(2)x，又 0t， 230x， 2或 0，曲线 M的普通方程为 ()yx（ 或 x）. 4cos， 24cos，曲线 C的直角坐标方程为 2240xy.（2）由 223()0yx，得 230x， 1x（舍去） ， 23，则交点的直角坐标为 ,，极坐标为 (,)6.23.（1）由已知得 (2)(3)fxf|1|2|x1,32,x，则 1()fx，由于 0xR，使不等式 |1|u成立，所以 ，即 |Mu（2）由（1）知 t，则 )()1abct（因为 a， b， c，所以 0， ， 0c，则 ()21， （当且仅当 2a时等号成立） ，1， （当且仅当 b时等号成立） ，()0cc， （当且仅当 c时等号成立） ，则 8(1)8abb（当且仅当 2ac时等号成立） ，即 c.
