1、河南省中原名校（豫南九校）2018 届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ,集合 ， ,则的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 ，解得 。所以选 B。2.是虚数单位,复数 （ ）A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A3. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：依题意 ， ， .考点：充分必要条件.4. 如果 ，那么 的最小值
2、为（ ）A. 4 B. C. 9 D. 18【答案】D【解析】试题分析：因为， ，所以， ，由均值定理得， ，当 m=n 时， “=”成立，故选 D。考点：对数函数的性质，均值定理的应用。点评：简单题，利用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。5. 一个几何体的三视图如图所示：其中，正（主）视图中 的边长是 2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】有三视图可知此几何体为正六棱锥，因为正视图是边长是 2 的正三角形，所以底面边长为 1，高与的高相等，为 ，底面面积为六个正三角形的面积的和。所以体积为。故选 B。
3、6. 连接双曲线 和 （其中 ）的四个顶点的四边形面积为 ，连接四个焦点的四边形的面积为 ，则 的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】四个顶点坐标分别为 ，连接四个顶点的四边形由四个直角三角形组成，所以。四个焦点为 ，其中 ，连接四个焦点的四边形由四个直角三角形组成，所以 ，所以由基本不等式可得 ，当且仅当时，上式取等号。故选 B。 7. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） ；函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值；函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；函数 的最小值为 .A. B. C. D. 【答案】A【解析】由导
4、函数的图像可知函数 在 与 上， ，所以函数 在 与 上单调递增，在 上 ，所以函数 在 上单调递减。所以 ，所以错；所以函数 在处取得极大值，在 处取得极小值，故错对；函数没有最大值，故错。所以选 A。【点睛】由导函数的图像判断导函数值的正负，再得函数的单调性，可得函数的极值、最值、函数值的大小。8. 若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对称，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的解析式为，因为平移后的图像关于点 对称，所以 ，即，所以 ，因为 时， ，故选 A。9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为
5、， 为抛物线上的一点，且满足 ，则点到 的距离为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】由抛物线 可得 ，设点 到准线的距离为 ，由抛物线定义可得 ，因为，由题意得 ，所以 ，所以点 到 的距离为 ，故选 B。【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。10. 在 中， ， 的最大值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以， ，所以当时，取最大值 1。故选 A。11. 已知 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【点睛】求函数 的最值问题，利用辅助角公
6、式将解析式化成一个角的三角函数形式，即，利用三角函数的性质求最值。12. 已知定义在 上的函数 为增函数，且 ，则 等于（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】令 得 ，令 ，则 ， 中，令 ，则 ，所以 ，因为函数 为定义在 上的增函数，所以 ，变形可得 ，解得 或 ，所以 或 。令得 ，令 ，则 ，令 ，则，所以 ，因为函数 为定义在上的增函数，所以 ，解得 或 ，所以 或 ，因为函数 为定义在 上的增函数，所以 。所以 。故选 B。【点睛】抽象函数求函数值，由关系式无法确定，逐步赋值后建立方程，求出方程的解，即关键根据关系式灵活给变量 赋值。函数 为定义在 上的增函数，故 ，
7、舍去大的值。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ， 满足约束条件 则 的最大值为_ 【答案】3【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求 z 的取值范围作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大考点：简单的线性规划【方法点睛】1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接
8、求出 z 的最值(2)距离型：形如 z(xa) 2(yb) 2.(3)斜率型：形如 .14. 如图，长方体 的三个面的对角线 ， ， 的长分别是 3，2，3，则该长方体的外接球的表面积为_【答案】【解析】设长方体的长、宽、高分别为 ，所以 ，故长方体的外接球的直径为 ，所以长方体的外接球的体积为 。15. 已知直线的方程为 ，抛物线为 ，若点 是抛物线上任一点，则点 到直线的最短距离是_【答案】【解析】设抛物线 的与直线平行的切线方程为 ，由 得 ，所以。切线方程为 。当点 为切点时，点 到直线的距离是最短距离，最短距离为直线到切线 的距离，所以最短距离为 。【点睛】曲线上的一点到直线的最短距
9、离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。16. 已知数列 满足 ， .记 ，则数列 的前 项和 _【答案】【解析】因为 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公差为的等差数列，所以 ，所以 ，所以数列 是由等差数列 与等比数列 相应项的乘积组成，故求其前 项和 用错位相减法。得 ，（1）式减（2）式得，所以 。【点睛】由条件 两边取倒数得， 变形得 ，构造等差数列 ，由等差数列通项公式可得 ，所以 ，根据通项公式特点，数列 是由等差数列 与等比数列 相应项的乘积组成，故求其前 项和 用错位相减法。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.
10、 海中一小岛 的周围 内有暗礁，海轮由西向东航行至 处测得小岛 位于北偏东 ，航行8 后，于 处测得小岛 在北偏东 （如图所示）.（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在 处改变航向为东偏南 （ ）方向航行，求 的最小值.附：【答案】 （1）海轮有触礁的危险；（2）15【解析】试题分析：（1）海轮不改变航向，有没有触礁的危险，应看点 到直线 的距离与 的大小。所以过点 作直线 的垂线，交直线 于点 .先由条件在点 处测得小岛 位于北偏东 ，得 ，在点 处测得小岛 在北偏东 ，得 ，所以 。.求 的三内角的，可得 。在 中，求得 .因为 ，海
11、轮由触礁的危险. （2）延长 至 ，使 。在 中求 ，即为所求。由（1）知 .所以 .在 中求得 .在 中求 . ， .所以 ， . 所以海轮应按东偏南 15的方向航行.试题解析：解：（1）如图 1，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 .由已知得 ， ， ， .在 中， .又 ，海轮由触礁的危险.（2）如图 2，延长 至 ，使 ，故 .由（1）得 . . ， .即 ， .故海轮应按东偏南 15的方向航行.18. 已知两个不共线的向量 满足 ， ， .（1）若 与 垂直，求 的值；（2）当 时，若存在两个不同的使得 成立，求正数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）已知
12、 与 垂直，所以以 ，变形得 ，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为 ， ，代入上式可得 ，求得 .求向量的模，应先求向量的平方。所以 ，故 . （2）由条件，得 ，整理得 ，即 ，用向量坐标表示数量积得 ，用辅助角公式得 . 由 得，又要有两解，结合正弦函数图象可得， ，所以 ，即，解一元二次不等式，又因为 ，所以 .试题解析：解：（1）由条件知 ， ，又 与 垂直，所以 ，所以 .所以 ，故 .（2）由 ，得 ，即 ，即 ， ，所以 .由 得 ，又要有两解，结合三角函数图象可得，即 ，又因为 ，所以 .19. 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的正弦值；（3）设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 ，又因为 分别为 和 的中点，得 .（）证明：依题意，可得 为平面 的一个法向量， ，由此可得， ，又因为直线 平面 ，所以 平面（） ，设 为平面 的法向量，则，即 ，不妨设 ，可得 ，设 为平面 的一个法向量，则 ，又 ，得，不妨设 ，可得因此有 ，于是 ，所以二面角 的正弦值为 .
