1、1第一讲：集合的含义与表示教学目标：理解集合的含义，知道常用数集及其记法；初步了解属于关系和集合相等意义，初步了解集合的分类及性质；初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合教学重点：集合的含义及其表示方法教学过程：1、问题情境蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由的游泳；鸟群，羊群，鱼群都是“同一类对象汇集在一起” ，这就是本章将要学习的集合在初中学习数的分类时，已接触过“正数的集合” 、 “负数的集合” ，集合这一概念在数学中被广泛运用，集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学对象那么，我们不禁要问：集
2、合的含义是什么？二、学生活动让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况问题：像“家庭” 、 “班级” 、 “男生” 、 “女生”等概念有什么共同的特征？三：知识要点（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element） ，一些元素组成的总体叫集合（set） ，也简称集。如“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市“Young 中的字母” 构成一个集合，该集合的元素就是 y,o,u,n,g 这五个字母“book 中的字母” 也
3、构成一个集合，该集合的元素就是 b,o,k 这三个字母，所有大于 2 的实数组成的集合称为这个不等式的解集312xx方程 或 2，1 与 2 组成的集合称为方程的解集02自然数的集合 0，1，2，3，故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：“我 们 今天学 习了 集合.” 数学家想： 对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：“ 你懂 吗？” 女儿肯定地回答： “懂! 一点也不难.” 父亲还是放心不下： “你们老师是怎么教的？” 女儿说：“老师先让男孩子站起来， 说：这是男孩组成的集合.然后又让女孩子站起来，说：这是女孩组成
4、的集合. 最后老师问我们： 都懂了吗？大家回答说： 都懂了!”听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：“那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？ ”迟疑了一会儿，女儿最终回答道：“不能!除非它们都能站起来.”大家 认为这位小孩回答的是否是正确的呢？3.思考 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1） 大于 3 小于 11 的偶数；（2） 我国的小河流；（3） 非负奇数；（4） 方程 的解；210x2（5） 某校 2007 级新生；（6） 血压很高的人；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点（9）全班成绩好的学生。4.关于集合的元素的特征（1）确
5、定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。5.两个集合相等：构成两个集合的元素是一样的。6.元素与集合的关系（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A，记作 aA（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A，记作 a A。7.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集） ，记作 N
6、正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z有理数集，记作 Q实数集，记作 R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|
7、x-32，(x,y)|y=x 2+1，直角三角形，。五：典型例题考点一：集合的有关概念例 1：下列各组对象不能组成集合的是( )。A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y= 图象上所有的点x1变式训练1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人C.中国的富翁 D.某公司的全体员工考点二：元素与集合的关系3例 2：(1)A=1,3,判断元素 3,5 和集合 A 的关系,并用符号表示.(2)所有素质好的人能否表示为集合?(3)A=2,2,4表示是否准确?(4)A=太平洋,大西洋,B=大西洋,太平洋是否表示同一集合?解：
8、(1)根据元素与集合的关系有两种:属于()和不属于( ),知 3 属于集合 A,即 3A,5不属于集合 A,即 5 A.(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故 A 不能表示为集合.(3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为 A=2,4.(4)因其元素相同,A 与 B 表示同一集合.例 3：在数集2x,x 2-x中,实数 x 的取值范围是。分析:实数 x 的取值满足集合元素的互异性,则 2xx 2-x,解得 x0 且 x3,实数 x 的取值范围是x|x3.答案：x|x3例 4：已知数集 A= ，求实数 的值。Aa16,73,2且 a分析：16= ；同时考虑到集合元素
9、的互异性。2或 者答 案 ： a或例 5：集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成,其中 kR,若 A 中仅有一个元素,求 k 的值.解：由于 A 中元素是关于 x 的方程 kx2-3x+2=0(kR)的解,若 k=0,则 x= ,知 A 中有一个元素,符合题设;32若 k0,则方程为一元二次方程,当 =9-8k=0 即 k= 时,kx 2-3x+2=0 有两相等的实数根, 此时 A 中有一个元素.89综上所述 k=0 或 k= .变式训练1.用符号或 填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N, _N;2(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z, _Z;(
10、3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q, _Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R, _R.22.数集3,x,x 2-2x中,实数 x 满足什么条件?3.方程 ax2+5x+c=0 的解集是 , ,则 a=_,c=_.213考点三：集合的表示方法例 6：用列举法表示下列集合:4(1)小于 10 的所有自然数组成的集合;(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由 120 以内的所有质数组成的集合.(4) NA96(5) 24,yxB(6) NZC,5(7) yxyD2(8) xE,解：(1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,
11、8,9.(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B,那么B=0,1.(3)设由 120 以内的所有质数组成的集合为 C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19.变式训练1.用列举法表示下列集合:(1)小于 5 的正奇数组成的集合;(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合;(4)15 以内的质数;(5)x| Z,xZ.6列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合 ;(2)明确集合中的元素 ;(3)把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成 A=的形式.说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序
12、；集合中的元素可以为数，点，代数式等列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为 1,2345,.例 7：用描述法表示下列集合(1)二次函数 y=x2图象上的点组成的集合;(2)坐标平面内数轴上的点集合;5(3)不等式 x-72，(x,y)|y=x 2+1，x|直角三角形 ，；学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意 a与 的区别 a是集合 的一个元素，而 a是含有一个元素
13、 a的集合，二者的关系是 （2）注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合，而 0是含有元素 0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思（4） 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合 ()xy，中的元素是 ()xy，这个集合表示二元方程 yx的解集，或者理解为曲线 上的点组成的点集；集合 xy中的元素是 x，这个集合表示函数 yx中自变量 的取值范围；集合 中的元素是 y，这个集合表示函数 中函数值 y的取值范围；集合 yx中的元素只
14、有一个（方程 x） ，它是用列举法表示的单元素集合变式训练1.用描述法表示下列集合:(1)方程 2x+y=5 的解集;(2)小于 10 的所有非负整数的集合;(3)方程 ax+by=0(ab0)的解;6(4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合;(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合;(6)方程组 的解的集合;1y-x,(7)1,3,5,7,;(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被 3 整除的整数.六：课堂练习1.下列对象能否组成集合:(1)数组 1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满足 3x-2x+3 的全体实数;(4)所有直角三角形;(5
15、)美国 NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于 6 的数;(7)所有绝对值小于 3 的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员.2.说出下面集合中的元素:(1)大于 3 小于 11 的偶数;(2)平方等于 1 的数;(3)15 的正约数.3.判断正误:(1)所有属于 N 的元素都属于 N*. ( )(2)所有属于 N 的元素都属于 Z. ( )(3)所有不属于 N*的数都不属于 Z. ( )(4)所有不属于 Q 的实数都属于 R. ( )(5)不属于 N 的数不能使方程 4x=8 成立. ( )4.分别用列举法、描述法表示方程组 的解集.
16、273y-x,5已知集合 中的三个元素是 的三边长，那么 一定不是 （ ,SabcABCABC）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6. 已知 ，求 ， 的值.2,1,0|2 Rnmxmn7.已知集合 A= ，试用列举法表示集合 A.16N71.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系教学目标：1.理解子集、真子集概念；2.会判断和证明两个集合包含关系；3.理解“ ”、 “”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系；5.渗透问题相对的观点。教学重点：子集的概念、真子集的概念教学难点：元素与子集、属于与包含间区别教学过程：（I）情景引入：战国时期有个公孙龙提出“白马非马”
17、的言论，请问白马真的不是马吗？（）讲授新课观察下面几组集合，集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1) A=1，2，3，B=1 ，2， 3，4，5.(2) A=x|x3,B=x|3x-60. (3) A=正方形，B= 四边形 .(4) A= ，B=0.（5）A=银川九中高一（11）班的女生，B=银川九中高一（11）班的学生 。通过观察就会发现，这五组集合中，集合 A 都是集合 B 的一部分，从而有：1.子集定义：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，记作 A B（或 B A）,即若任意
18、 x A,有 x B，则 A B(或 A B)。这时我们也说集合 A 是集合 B 的 子集 （subset） 。如果集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A,就记作 AB（或 BA） ，即:若存在 x A,有 x B，则 AB(或 BA)说明：A B 与 B A 是同义的，而 A B 与 B A 是互逆的。规定:空集 是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A 都有 A。例 1判断下列集合的关系.(1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q;(5) A=x| (x-1)2=0， B=y|y2-3y+2=0;(6) A=1,3， B=x|x2-3x+2=0;(
19、7) A=-1,1， B=x|x2-1=0;（8）A=x|x 是两条边相等的三角形 B=x|x 是等腰三角形。问题 3：观察（7）和（8） ，集合 A 与集合 B 的元素，有何关系？集合 A 与集合 B 的元素完全相同，从而有：2.集合相等定义：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素（即 A8B） ，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素（即 B A） ，则称集合 A 等于集 合 B，记作 A=B。如：A=x|x=2m+1，m Z，B=x|x=2n-1，n Z，此时有 A=B。问题 4：（1）集合 A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是）（2）除
20、去 与 A 本身外，集合 A 的其它子集与集合 A 的关系如何？（包含于A，但不等于 A）3.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)A A (任何集合都是其自身的子集)；(2)若 A B，而且 A B（即 B 中至少有一个元素不在 A 中） ，则称集合 A 是集合 B 的真子集 （proper subset） ，记作 A B。 （空集是任何非空集合的真子集）(3)对于集合 A，B ，C，若 AB，BC ，即可得出 AC；对 A B，B C，同样有 A C, 即：包含关系具有 “传递性” 。4.证明集合相等的方法：（1） 证明集合 A，B 中的元素完全相同；（具体数据）（2）
21、分别证明 A B 和 B A 即可。 （抽象情况）对于集合 A，B，若 A B 而且 B A，则 A=B。（III ） 例题分析： 例 2判断下列两组集合是否相等？（1）A=x |y=x+1与 B=y|y=x+1; (2)A=自然数与 B=正整数例 3(教材 P8 例 3)写出a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例 4解不等式 x-32，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为 n 个，则其子集数为 2n 个，其真子集数为 2n-1 个，特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。例 5 已知三个元素集合 Ax,xy,x-y,B=0,x,y且 A=B，求 x 与 y的值
22、。练习：1、判断下列集合的关系.(1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q;(5) A=x| (x-1)2=0，B=y|y 2-3y+2=0; (6) A=1,3，B=x|x 2-3x+2=0;(7) A=-1,1，B=x|x 2-1=0; （8）A=x|x 是两条边相等的三角形，B=x|x 是等腰三角形。2、设 A=0，1，B=x|x A，问 A 与 B 什么关系？3、判断下列说法是否正确？（1）N Z Q R； （ 2） A A； （3）圆内接梯形 等腰梯形；（4）N Z； （ 5） ； （6） 4.含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为 ，求 的,1ba2,0
23、ab2067ab9值。课后作业：1.1.1 集合的含义与表示一、选择题1下列各组对象接近于 0 的数的全体； 比较小的正整数全体；平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；正三角形的全体； 的近似值的全体2其中能构成集合的组数有( )A2 组 B3 组 C4 组 D5 组2设集合 M大于 0 小于 1 的有理数，N小于 1050 的正整数， P定圆 C 的内接三角形，Q所有能被 7 整除的数，其中无限集是( )AM、N、P BM、P、QCN、P 、Q DM 、N 、Q3下列命题中正确的是( )Axx 220在实数范围内无意义B(1，2)与(2，1) 表示同一个集合C4，5与5，4表示相同的集
24、合D4，5与5，4表示不同的集合4直角坐标平面内，集合 M( x，y )xy0，xR，yR的元素所对应的点是( )A第一象限内的点 B第三象限内的点C第一或第三象限内的点 D非第二、第四象限内的点5已知 Mmm2k，kZ ，Xxx2k1，k Z，Yyy4k1，k Z，则( )AxyM Bx yX Cx yY Dxy M6下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是 ( )AMxRx 20.010，Pxx 20BM(x，y)yx 21，xR ，P(x，y)xy 21，xRCMyyt 21，tR，Pt t(y1) 21，y R DMxx2k，kZ， Pxx4k2，k Z二、填空题7由实数 x，x
25、 ，x 所组成的集合，其元素最多有 _个8集合3，x，x 22x 中，x 应满足的条件是_9对于集合 A2，4，6，若 aA，则 6aA，那么 a 的值是_10用符号或 填空：1_N，0_N3_Q ，0.5_Z， _R210 _R， _Q，3|_N ， _Z215311若方程 x2mxn0(m，nR )的解集为2，1，则m_，n_12若集合 Ax x 2(a1)xb0中，仅有一个元素 a，则a_，b_13方程组 的解集为 _31xzy14已知集合 P0，1，2，3，4，Q xxab，a， bP，ab，用列举法表示集合 Q_15用描述法表示下列各集合：2，4，6，8，10，12_2，3，4_ _
26、75,116已知集合 A2，1，0，1，集合 Bxx y，y A ，则B_ 三、解答题17集合 A有长度为 1 的边及 40的内角的等腰三角形中有多少个元素？试画出这些元素来18设 A 表示集合2，3，a 22a3，B 表示集合a3，2，若已知 5A，且5 B，求实数 a 的值19实数集 A 满足条件：1 A，若 aA ，则 1(1)若 2A，求 A；(2)集合 A 能否为单元素集？若能，求出 A；若不能，说明理由；(3)求证： a1120已知集合 Ax ax 23 x20，其中 a 为常数，且 aR若 A 是空集，求 a 的范围；若 A 中只有一个元素，求 a 的值；若 A 中至多只有一个元
27、素，求 a 的范围21用列举法把下列集合表示出来：A= ;9|NxB= |Cyy x 26，x N，yN；D(x，y) y x 26， xN ，y N；E *,5,| qpqp22已知集合 Apx 22(p1)x10，xR ，求集合By y2x 1，xA1.2 集合间的基本关系1. 已知集合 , 的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ）0A2 个 B.4 个 C.6 个 D. 8 个2.已知集合 P=1，2，那么满足 Q P 的集合 Q 的个数为（ ）A4 B.3 C.2 D. 13.满足1，2 条件的集合 A 的个数为（ ）1,234512A.4 B. C. D.4集合 的所有子集的个数为（
28、 ）2|10,AxxRA.4 B.3 C.2 D.15.在下列各式中错误的个数是( ) ; ; ; ;10,2,2,0,120,12,A.1 B.2 C.3 D. 46下列六个关系式中正确的有（ ） ； ； ； ； ；ab,ab,ab,000A.个 B.个 C.个 D.个及个以下7已知集合 ，集合 ，且 ，则实数 的值为 0,1A2,10xBBAx8若 ,则 ,23234A9. 设数集 ,aa若 ,求 实 数 a的 值 。10. 求满足 的个数.2 2|10,|10,xxRMxxRM的 集 合11. 集合 ,2|3,Ax2|Bxa,Ba求 的 范 围 。12. 已知集合 ,求实数 的取值集合.|14,|,AxBxaAB若 a13.若集合 A=x-2x5，B=xm+1x2m-1，且 B A，求由 m 的可取值组成的集合。
