二次函数中考压轴题精选.doc

1、二次函数中考压轴题精选1.（2012 浙江湖州 3 分）如图，已知点 A（4，0） ，O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A） ，过P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC相交于点 D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于 【 】A B C3 D4 54532 （2012 浙江义乌 3 分）如图，已知抛物线 y1=2x 2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y1、y 2若 y1y2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若 y1=

2、y2，记 M=y1=y2例如：当 x=1 时，y 1=0，y 2=4，y 1y 2，此时 M=0下列判断：当 x0 时，y 1y 2； 当 x0 时，x 值越大，M 值越小；使得 M 大于 2 的 x 值不存在； 使得 M=1 的 x 值是 或 其中正确的是【 】A B C D【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当 x0 时，利用函数图象可以得出 y2y 1。此判断错误。抛物线 y1=2x 2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y 2，若 y1y2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M。当 x0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大，M

3、值越大。此判断错误。抛物线 y1=2x 2+2，直线 y2=2x+2，与 y 轴交点坐标为：（0，2） ，当 x=0 时，M=2，抛物线 y1=2x 2+2，最大值为 2，故 M 大于 2 的 x 值不存在；此判断正确。 使得 M=1 时，若 y1=2x 2+2=1，解得：x 1= ，x 2= ；若 y2=2x+2=1，解得：x= 。由图象可得出：当 x= 0，此时对应 y1=M。2抛物线 y1=2x 2+2 与 x 轴交点坐标为：（1，0） ， （1，0） ，当1x0，此时对应 y2=M，M=1 时，x= 或 x= 。此判断正确。因此正确的有：。故选 D。3. （2012 浙江衢州 12 分

4、）如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合） ，AOB 在平移过程中与COD

5、 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O，c=0。又抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、C ， ，解得 。a+b=413a=7b2抛物线解析式为 。3yx+（2）设点 P 的横坐标为 t，PNCD，OPNOCD，可得 PN= 。P（t ， ） 。2t2点 M 在抛物线上，M（t， ） 。237t如图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAy M=2 ，2237t+=t+BH=PN= 。t2当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形，

6、 ，化简得 3t28t+4=0 。37tt+=解得 t1=2（不合题意，舍去） ，t 2= ，3点 P 的坐标为（ ） 。13 ，存在点 P（ ） ，使得四边形 ABPM 为等腰梯形。2（3）如图 2，AOB 沿 AC 方向平移至AOB，AB交 x 轴于 T，交 OC 于Q，AO交 x 轴于 K，交 OC 于 R。由 A、C 的坐标可求得过 A、C 的直线为 yAC=x+3设点 A的横坐标为 a，则点 A（a，a+3） ，易知OQT OCD，可得 QT= 。2点 Q 的坐标为（a， ） 。3设 AB 与 OC 相交于点 J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比， 。HTAQ=OBJ 。

7、13aAQ2HT=OB=aJKT= AT= （3a） ，AQ=y Ay Q=（a+3） =3 a。12 23S 四边形 RKTQ=SAKT S ARQ = KTAT AQHT12。2213a3313a+a=a+2 48 0，在线段 AC 上存在点 A（ ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 。32， 38【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】 （1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A 、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（

8、2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出 t 的值，从而可解。结论：存在点 P（ ） ，使得四边形 ABPM 为等腰梯形。13 ，（3）求出得重叠部分面积 S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值。4. （2012 浙江绍兴 12 分）把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计） 。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大

9、值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上） ，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为 550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况） 。【答案】解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm。则（402x） 2=484，解得 （不合题意，舍去） ， 。1x329x剪掉的正方形的边长为 9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2，则 y 与 x 的函数关系为： ，2y4(02x)8160x8(

10、1)0x=10 时，y 最大 =800。即当剪掉的正方形的边长为 10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为 xcm。则 ，(402)(2(0)(42)50xxx解得： （不合题意，舍去） ， 。1351剪掉的正方形的边长为 15cm。此时长方体盒子的长为 15cm，宽为 10cm，高为 5cm。【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】 （1）假设剪掉的正方形的边长为 xcm，根据题意得出（402x） 2=484，求出即可假设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2，则 y 与 x 的函数关系为：y=4（4

11、0-2x）x，利用二次函数最值求出即可。（2）假设剪掉的正方形的边长为 xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为 550cm2，得出等式方程求出即可。5 （2012 浙江绍兴 14 分）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，连接 AC，抛物线 经过 A，B 两点。2yx4（1）求 A 点坐标及线段 AB 的长；（2）若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动，1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO，OC，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点 P 的移动时间为 t 秒。当 PQAC 时，求 t 的值；当

12、 PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点 H，HOQPOQ，求点 H 的纵坐标的取值范围。【答案】解：（1）由抛物线 知：当 x=0 时，y=2，A （0，2） 。2yx4四边形 OABC 是矩形，ABx 轴，即 A、B 的纵坐标相同。当 y=2 时， ，解得 。B （4，2） 。212x，AB=4。（2）由题意知：A 点移动路程为 AP=t，Q 点移动路程为 7（t1）=7 t 7。当 Q 点在 OA 上时，即 ， 时，07t291t如图 1，若 PQAC ，则有 RtQAPRt ABC 。 ，即 ，解得 。QAP=BC7t427t5 ，此时 t 值不合题意。795当 Q 点在 OC 上时，即

13、 ， 时，7t6913t7如图 2，过 Q 点作 QDAB。 AD=OQ=7（t 1）2=7t 9。DP=t（7t9）=96t。若 PQAC ，则有 RtQDP RtABC ， ，即 ，解得 。ADP=BC296t44t3 ， 符合题意。9137t当 Q 点在 BC 上时，即 ， 时，67t815t7如图 3，若 PQAC ，过 Q 点作 QGAC，则 QGPG，即GQP=90。QPB 90，这与QPB 的内角和为 180矛盾，此时 PQ 不与 AC 垂直。综上所述，当 时，有 PQAC。4t3当 PQAC 时，如图 4，BPQ BAC， ，BPQ=AC ，解得 t=2。4t87(t1)2即当

14、 t=2 时，PQAC。此时 AP=2，BQ=CQ=1。P（2，2） ，Q（4，1） 。抛物线对称轴的解析式为 x=2，当 H1 为对称轴与 OP 的交点时，有H 1OQ=POQ ，当 yH2 时，HOQPOQ。作 P 点关于 OQ 的对称点 P，连接 PP交 OQ 于点 M，过 P作 PN垂 直于对称轴，垂足为 N，连接 OP，在 Rt OCQ 中，OC=4 ，CQ=1。OQ= ，17S OPQ =S 四边形 ABCDS AOP S COQ S QBP =3= OQPM，2PM= 。PP=2PM= 。617127NPP=COQ。RtCOQRtNPP 。 ，即 ，解得 ， 。CQO=NP174

15、=PNP212N748PP（ ） 。直线 OP的解析式为 。4617， yx3OP与 NP 的交点 H2（2， ） 。143当 时，HOP POQ。Hy3综上所述，当 或 时，HOQPOQ 。Hy2【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】 （1）已知抛物线的解析式，将 x=0 代入即可得 A 点坐标；由于四边形 OABC 是矩形，那么 A、B 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出 B 点坐标，则 AB 长可求。（2）Q 点的位置可分：在 OA 上、在 OC 上、在 CB 上 三段来分析，若 PQAC 时，很显然前两

16、种情况符合要求，首先确定这三段上 t 的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形） ，利用比例线段来求出 t 的值，然后由 t 的取值范围将不合题意的值舍去。当 PQAC 时，BPQ BAC，通过比例线段求出 t 的值以及 P、Q 点的坐标，可判定 P 点在抛物线的对称轴上，若 P、H 1 重合，此时有 H 1OQ=POQ。若作 P 点关于 OQ 的对称点 P，OP 与 NP 的交点 H2，亦可得到H 2OQ=POQ ，而题目要求的是HOQPOQ ，那么 H1 点以下、H 2 点以上的 H 点都是符合要求的。6. （2012 浙江台州 12 分）某汽车在刹车后行驶的距离 s（单位：米）与

17、时间 t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间 t（秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 行驶距离 s（米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示 s 与 t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当 t 分别为 t1，t 2（t 1t 2）时，对应 s 的值分别为 s1，s 2，请比较 与 的大小，并解释比较结果的实际意义1st2【答案】解：（1）描点图所示： （2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at 2bt c ，抛物

18、线经过点（0，0） ，c=0。又由点（0.2，2.8） ， （1，10）可得：，解得： 。.4a+.2b=810a=5b经检验，其余各点均在 s=5t 2+15t 上。二次函数的解析式为： 。s5t1（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ，当 t= 时，滑行距离最大，为 。2234s5t1=t3245因此，刹车后汽车行驶了 米才停止。 5 ， 。2s5t12211sts5t1t， 。1 222t=t5=ttt，t 1t 2， 。 。1211stt5t0t 12st其实际意义是刹车后到 t2 时间内的平均速到 t1 时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法

19、，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】 （1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求） ，即可求得答案。（4）求出 与 ，用差值法比较大小。1st27. （2012 浙江温州 14 分）如图，经过原点的抛物线 与 x 轴的另一个交点为 A.过点 作2yxm(0)P(1,m)直线 轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（B、C 不重合）.连结 CB,CP。Px（1）当 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；m3（2）当 时，连结 CA

20、，问 为何值时 CACP？m1m（3）过点 P 作 PEPC 且 PE=PC，问是否存在 ，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的 的值，m并写出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）当 m=3 时， y=x 26x。令 y=0 得x 26x=0 ，解得，x 1=0，x 2=6。A（6，0） 。当 x=1 时，y=5。B（1，5） 。抛物线 y=x 26x 的对称轴为直线 x=3，且 B，C 关于对称轴对称，BC=4。（2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得，ACP=BCH=90，ACH= PCB 。又AHC=PBC=90，AGHPCB

21、。 。AHPBC抛物线 y=x 22mx 的对称轴为直线 x=m，其中 m1，且 B，C 关于对称轴对称，BC=2（m1） 。B（1，2m1） ，P （1，m） ，BP=m 1。又A（2m，0） ，C（2m1，2m1） ，H （2m1，0） 。AH=1 ，CH=2m1， ，解得 m= 。232（3）存在。B，C 不重合，m1。（I）当 m1 时，BC=2（m1） ，PM=m，BP=m1，（i）若点 E 在 x 轴上（如图 1） ，CPE=90，MPE+BPC=MPE+MEP=90 ， PC=EP。BPCMEP ，BC=PM，即 2（m-1）=m，解得 m=2。此时点 E 的坐标是（2，0） 。

22、（ii）若点 E 在 y 轴上（如图 2） ，过点 P 作 PNy 轴于点 N，易证BPCNPE，BP=NP=OM=1，即 m1=1，解得，m=2。此时点 E 的坐标是（0，4） 。（II）当 0m1 时，BC=2（1m） ，PM=m，BP=1m，（i）若点 E 在 x 轴上（如图 3） ，易证BPCMEP ，BC=PM，即 2（1m ）=m，解得，m= 。23此时点 E 的坐标是（ ，0） 。43（ii）若点 E 在 y 轴上（如图 4） ，过点 P 作 PNy 轴于点 N，易证BPC NPE，BP=NP=OM=1，即 1m=1，m=0（舍去） 。综上所述，当 m=2 时，点 E 的坐标是（

23、0，2）或（0，4） ，当 m= 时，点 E 的坐标是（ ，0） 。2343【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】 （1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令 y=0 解方程，得到的非 0 解即为和 x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出 BC 的长。（2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得ACP= BCH=90，利用已知条件证明AGHPCB，根据相似的性质得到： ，再用含有 m 的代数式表示出 BC，CH，BP ，代入比例式即可APBC求出 m 的值。（3）存在。本题要分当

24、m 1 时，BC=2（m-1） ，PM=m，BP=m1 和当 0m1 时，BC=2（1m） ，PM=m，BP=1m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的 m 值和相对应的点 E 坐标。8. （2012 浙江义乌 12 分）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线 交于点 A（3，6） 24y=x+73（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合） ，交直线 OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，

25、求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合） ，点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究： m 在什么范围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2个？【答案】解：（1）把点 A（ 3，6）代入 y=kx 得；6=3k，即 k=2。y=2x。 。2O+=5（2）线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H当 QH 与 QM 重合时，显然 QG 与 QN 重合，此时 。MHtanAOM=2N

26、G当 QH 与 QM 不重合时，QNQM，QGQH 不妨设点 H，G 分别在 x、y 轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM= QGN=90， QHMQGN。 。QMHtanAOM=2NG当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。=2线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值。（3）如图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作FCOA 于点 C，过点 A 作 ARx 轴于点 R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC= 。15O=2ARO=FCO=90，AOR=FOC ，AORFOC。 。OF= 。FA35CR5152点 F（ ，0） 。152设点 B（x， ） ，过

27、点 B 作 BKAR 于点 K，则AKBARF。24+x73 ，即 。KAFR246+x73.5解得 x1=6，x 2=3（舍去） 。点 B（6，2） 。BK=63=3，AK=62=4 。AB=5 。在ABE 与OED 中， BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。设 OE=x，则 AE= x （ ） ，35035由ABEOED 得 ，即 。AEODBxm 。221135139m=x35=x+=5+0x354顶点为 。924 ，如图 3，当 时，OE=x= ，此时 E 点有 1 个；=352当 时，任取一个 m 的值都对应着两个 x 值，9

28、0m4 此时 E 点有 2 个当 时，E 点只有 1 个，当 时，E 点有 2 个。=904【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】 （1）利用待定系数法求出直线 y=kx 的解析式，根据 A 点坐标用勾股定理求出线段 OA 的长度。（2）如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H，构造相似三角形QHM 与QGN，将线段 QM与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 为定值需要注意讨论点的QMtanOM=2N位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到 ABEOED 。在相似三角形ABE 与OED 中，运用线段比例关系之前需要首先求出 AB 的长度，如图 2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得 AB 的长度。设 OE=x，则由相似边的比例关系可以得到 m 关于 x 的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图 3） ，可见 m 在不同取值范围时，x 的取值2139m=x5+4（即 OE 的长度，或 E 点的位置）有 1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。