1、2018 届福建省福州市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选 .2. 已知 、 ，是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,则 .选 .【点睛】复数问题的考查主要考查复数的概念、复数的运算及复数的几何意义，另外注意复数的模和共轭复数的考查，本题考查复数的除法和共轭复数的定义，此题简单，但要注意审题要清楚，运算要准确，小心失误.3. 已知 ， ，且 ，则 和 的
2、夹角为A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，则 ， ，则向量 和 的夹角为 ，选 C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.4. 若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的离心率为A. B. 或 C. 2 D. 【答案】D【解析】由题5. 函数 的图象大致是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 在 和 上是减函数，在 上是增函数，且 ，故选 B.6. 已知 ，
3、为锐角，且 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.7. 设数列 的各项均为正数，且 其中 为正的实常数，则A. 81 B. 64 C. 48 D. 32【答案】D【解析】由题意知， ，则数列 是等差数列， ，故选 D.8. 设 为坐标原点，第一象限内的点 的坐标满足约束条件 ， （ , ）.若 的最大值为 40，则 的最小值为A. B. C. 1 D. 4【答案】B【解析】 ，设 z=ax+by，则 z 的最大值为 40作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）即 A（8，10） ，代入 z=ax+by，得 40=8a+10b，即 ， ，当且仅当 ，即 4a2=25
4、b2，2a=5b 时取等号，5a+1b 的最小值为 ，本题选择 B 选项.9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线” 。事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图 1）：画一个等边三角形 为圆心，边长为半径，作圆弧 ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图 2）.在图 2 中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A. B. C. D.
5、 【答案】A【解析】设等边三角形的边长为 1，则正方形的面积为 1，鲁列斯曲边三角形的面积为 ，故选 A.10. 对任意的正数 ，都存在唯一的正数 ，使 成立，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 可得： ，设 ，则 ，令 ， ，故当 时， ，当 时， ，又 ，当 时，可得函数 的图象：因此当 或 时，存在唯一正数，使得 成立，即对任意的正数 ，都存在唯一一个正数 y,使成立，故选 A.二.填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.11. 曲线 在点 处的切线的斜率为_ .【答案】【解析】试题分析：所以 ，故填 考点：导数在曲线的切线中的应用12. 一名
6、法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_【答案】乙【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中” ，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪
7、的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.13. 已知三棱柱 的六个顶点都在球 的球面上，且侧棱 平面 ，若，则球的表面积为_.【答案】【解析】 三角形 ABC 外接圆直径 ，平面 ， ， 该三棱柱外接球的半径为 5，所以外接球的表面积 ，故填 .14. 函数 若 对 恒成立，则的取值范围是_.【答案】【解析】令 ，则 ， ，即 对 恒成立，因为 是 R 上的奇函数，也是增函数，所以即 ，令 ，则 ，求其最大值可得 ，所以 ，故填 .三解
8、答题：共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列 的前 项和 .（1）求证 为等比数列，并求 的通项公式；（2）令 求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：() 由 可得： 同时 -可得： 从而 为等比数列，首项 ，公比为 () 由( )知 ，故 考点：数列求通项求和点评：第一问由数列的 求 时利用关系式 ，第二问求数列前 n 项和时用到了裂项相消的方法，这种方法一般适用于通项为 形式的数列16. 如图所示，在四棱锥 中， 平面 是 的中点， 是 上的点且为 中 边上的高.（1）证明： 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见
9、解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用 E 是中点，转化为求 P 到底面距离的一半，而易证 平面 ，高即为 PH.试题解析：（1）取 中点 ，连接 为 中点， ， , ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 平面（2） 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 为 中点， 到平面 的距离 ，又 ，17. 为迎接校庆，学校决定在体育馆大门左侧布置大型花盆，该圆形花盆半径为 1 米，内部划分为不同区域种植不同花草.如图所示，在蝶形区域内种植一串红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形 的顶点 为圆心， 在圆周上
10、， 在半径 上，设计要求 .（1）设 ，写出该蝶形区域的面积 关于 的函数表达式；（2） 为多少时，该蝶形区域面积 最大？并求出最大值.【答案】 （1） ；（2） 时， 取最大值【解析】试题分析：（1）蝶形区域为四个全等三角形，利用三角形面积公式即可求出；（2）由（1）化简得 ，由正弦型函数性质可求出最大值.试题解析：（1）在 中，由正弦定理得，（2） ， ， ， 时， 取最大值 （平方米）点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角
11、的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18. 已知 是椭圆 的左右焦点，O 为坐标原点， 在椭圆 上，线段 与 轴的交点 满足 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 与椭圆 相交于 两点， ，判断 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据题目条件，可求出 a,再根据 a,b,c 三者关系求出 b，即可写出椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，消元得二次方程，根据根与系数的关系，写出弦长，利用点到直线的距离公式求三角形的高，写出三角形的面积，化简即可得出是定值.试题解析：（1）因为 知,N 为 中点，而 又为 中点，所以
12、为 的中位线，又由于，所以 ，由 P 坐标可知 ，所以 中，由勾股定理得椭圆 标准方程为 .（2）设 ，由 得，由 得 ，且有，且有因为 ，得 ，即 化简得：满足 ， ，点 到直线的距离 ，所以 （定值）点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意 的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用19. 已知函数 ，其中 （1）当 时，求证： ；（2）对任意 ，存在 ，使 成立，求的取值范围.（其中是自然对数的底数，）【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）求出函数 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 的最大值，证明结论即可；（2）问题转化为 , 设 ，求导，利用单调性求范围即可.试题解析：解：（1）当 时， ，则 ，令 ，得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
