1、2019 届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学（理）试题一、单选题1设集合 ， ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】首先解绝对值不等式，求出集合 A，之后利用交集的定义求得结果.【详解】由 解得 ，所以 ，又 ，所以 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算，属于简单题目.2已知复数 满足 ，则 为A B C2 D1【答案】A【解析】首先利用复数的运算法则，求出复数 z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由 ，得 ，所以 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3曲线 在
2、点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A 2 B C D【答案】D【解析】根据求导公式求出函数的导函数，把 代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令 和 ，求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解.【详解】由题意得 ，所以 ，则在点 处的切线斜率为 ，所以切线方程为： ，即 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以切线与坐标轴围成三角形的面积 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线的切线方程，直线方程的点斜式，三角形的面积公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则A 20 B 40
3、 C60 D80【答案】B【解析】首先利用等差数列的性质，以及题中所给的条件，求得，之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列 中，前 n 项和为 ，且 ，因为由等差数列的性质可知 ，所以 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题，涉及到的知识点有等差数列性质，等差数列的求和公式，属于基础题目.5给出下列说法：“ ”是“ ”的充分不必要条件；定义在 上的偶函数 的最大值为 30；命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”.其中正确说法的个数为A 0 B1 C2 D3【答案】C【解析】对于，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的
4、性质，求得其最大值，得出其正确性，对于，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果.【详解】对于 ，当 时，一定有 ，但是当 时， ，所以“ ”是 “ ”的充分不必要条件，所以正确；对于，因为 为偶函数，所以 ，因为定义域为 ，所以 ，所以函数 的最大值为 ，所以 正确；对于 ，命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”，所以是错误的；故正确命题的个数为 2，故选 C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.6已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，则双曲线 的离心率为A B C D【答案】A【
5、解析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，将圆化为标准方程得 ，所以其圆心为 ，半径为 2，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，即 ，整理得 ，因为 ，所以有 ，所以 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，直线与圆相切的条件，双曲线中 之间的关系，双曲线的离心率，属于中档题目.7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较
6、先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 ， 的值分别为 3、3，则输出 的值为A 143 B 48 C16 D5【答案】B【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 的值，当 时，不满足条件 ，跳出循环，输出 的值为 48.【详解】初始值 ，程序运行过程如下表所示：，不满足条件，跳出循环，输出 的值为 48，故选 B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题，在解题的过程中，注意在什么情况下跳出循环，属于简单题目.8某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为A B 1 C D【答案】D【解析】首先根据题中
7、所给的几何体的三视图，还原几何体，得出其为底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，利用面积公式求得各个侧面的面积，比较大小得出结果.【详解】分析其三视图，可以确定该几何体是底面是直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形，从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是 ； ； ； ；利用面积公式求得各侧面的面积，比较大小可知最大的是 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，判断侧面三角形的形状，比较各三角形面积的大小，属于
8、中档题目.9已知点 是 内部一点，且满足 ，又 ， ，则 的面积为A B 3 C1 D2【答案】C【解析】据向量的平行四边形法则判断出点 O 为三角形的重心，根据重心的性质得出的面积与 面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为 ，所以 O 为 的重心，所以 的面积是 面积的 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 的面积为 1，故选 C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题，涉及到的知识点有三角形的重心的性质，向量的数量积运算，三角形的面积公式，属于中档题目.10已知函数 ，将 的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保
9、持不变；再把所得图像向上平移 1 个单位长度，得到函数 的图像，若 ，则 的值可能为A B C D【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得 的解析式，之后根据图象变换的原则，求得 的解析式，根据 ，得到 和都是函数的最大值 3，从而得出 的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得 ，所以 ，所以 的最小正周期为 ，由 ，可知 和 都是函数的最大值 3（或都是最小值-3），所以 的值为周期的整数倍，所以其最小值为 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相
10、关公式是正确解题的关键.11如图，函数 的图像为两条射线 ， 组成的折线，如果不等式 的解集中有且仅有 1 个整数，那么实数 的取值范围是A BC D【答案】B【解析】求得 f（x）的分段函数式，由条件可得 ax2xf（x） ，令 g（x）x 2xf（x） ，画出g（x）的图象，结合图象可得 a 的范围【详解】根据题意可知 f（x） ，不等式 f（x）x2xa 等价于 ax2xf（x），令 g（x）x 2xf（x），可得 g（x）的大致图象，如图所示，又 g（0）2，g（1） 1，g（1）2，要使不等式的解集中有且仅有 1 个整数，则2a1，即 a 取值范围是a| 2a1 故选：B【点睛】本题
11、考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题12已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是A BC D【答案】A【解析】首先根据题中的条件，结合函数的定义域，对不等式进行变形，之后将恒成立问题转化为最值来处理，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最大值，从而求得结果.【详解】根据题意可得 恒成立，因为 ，所以不等式可化为： 恒成立，令 ， ，可求得当 时， ，当 时， ，所 在 上单调增，在 上单调减，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题，在解题的过程中，将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数，利用导数研
12、究函数的最大值，再者就是利用题的条件，大于其最大值，可以到正无穷，只有 A 项满足条件，从而很容易求得结果.二、填空题13已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值为_【答案】3【解析】作出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得答案.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域如图所示：令 ，得 ，从而上下移动直线，可知当直线过点 A 时，取得最大值，由 解得 ，此时 ，故答案是：3.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.
13、14已知函数 ，且 ，则 _【答案】1【解析】令 ，可知函数 为奇函数，由 ，可求得 ，之后利用性质求得结果.【详解】令 ，因为 ，所以函数 为奇函数，由 ，所以 ，所以 ，故答案是：1.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有奇函数的性质，在解题的过程中，注意整体思维的应用.15已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交抛物线及圆 于点 ， ， 四点，则 的最小值为_【答案】13【解析】由抛物线的定义可知： ，从而得到 ，同理 ，分类讨论，根据不等式的性质，即可求得 的最小值.【详解】因为 ，所以焦点 ，准线 ，由圆： ，可知其圆心为 ，半径为 ，由抛物线的定义得： ，又因
14、为 ，所以 ，同理 ，当 轴时，则 ，所以 ，当 的斜率存在且不为 0 时，设 时，代入抛物线方程，得： ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，综上所述， 的最小值为 13，故答案是：13.【点睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离，直线与抛物线相交的问题，基本不等式求最值问题，在解题的过程中，注意认真审题是正确解题的关键.16函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由求导公式和法则求出 ，由题意可得 在区间 上恒成立， 设，从而转化为 ，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则
15、，因为函数 在 上单调增，可得 在 上恒成立，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，因为 在 上是增函数，所以其最大值为 ，所以实数 的取值范围是 .【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.三、解答题17如图，在 中， 是边 的中点， ， .（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积.【答案】 （） （）【解析】 （）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为两角差的问题，应用差角余弦公式，求得结果；（）根据第一题的结果，可知 ，根据正弦定理，求得 ， 是边 的中点 ，应用面积公式求
16、得结果.【详解】（）由 ，得 ，由 ，得又 ，所以，又 ，所以 .（）解法一：由（）知 ，在 中，由正弦定理 ，得 ，所以， .因为 是边 的中点，所以， .故 .解法二：由（）知 ，在 中，由正弦定理，得 ，所以， .因为 是边 的中点，所以，所以， .【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的性质，和角公式，正弦定理，以及三角形的面积公式，正确应用公式是解题的关键.18在数列 中， ， ，设 ， （）求证数列 是等差数列，并求通项公式 ；（）设 ，且数列 的前 项和 ，若 ，求使 恒成立的 的取值范围.【答案】 （）证明见解析； （）【解析】 （）根据题中所给的条件，
17、取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；（）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.【详解】证法一：解：（）由条件知， ，所以， ，所以 ，又 ，所以 ，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 的通项公式为： .证法二：由条件，得 又 ，所以 ，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列 的通项公式为： .（）由（）知， ，则 ，由-得， ， 恒成立，等价于 对任意 恒成立. ， .【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值
18、范围，保持思路清晰是正确解题的关键.19如图，在三棱柱 中， ， ， ， .（）求证： 平面 ；（）若 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见解析（）【解析】 （）根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理，可证得 平面 ，进而证得 ，利用勾股定理，可证得 ，利用线面垂直的判定定理，可证得 平面 ，证得结果；（）利用（）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量，求得线面角的正弦值，得到结果.【详解】（）证明：在三棱柱 中， ， ，又 ， 平面 ，又 平面 ， ， ， ， ， ， ，又 ， 平面 .（）解法一：由（）知，直线 ， ， 两两互相垂直，如图， 以 为原点，分别以
19、， ， 所在直线为 ， ， 轴， 建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，设平面 的法向量 ，则 ，所以， ，取 ，则 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 .直线 平面 所成角的正弦值 .解法二：由（）知，直线 ， ， 两两互相垂直，以 为原点，分别以 、 、所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量 ，则 ，所以， ，取 ，则 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 .直线 平面 所成角的正弦值 .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，应用向量法求线面角的正弦值，在解题的过程中，需要对定理的条件和结论
20、要熟记，再者就是正确建立空间坐标系.20已知点 在椭圆 上， 为坐标原点，直线 的斜率与直线 的斜率乘积为 .（）求椭圆 的方程；（）不经过点 的直线 （ 且 ）与椭圆 交于 ， 两点， 关于原点的对称点为 （与点 不重合） ，直线 ， 与 轴分别交于两点 ， ，求证： .【答案】 （） （）见解析【解析】 （）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到 ，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得 ，进而求得椭圆的方程；（）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线 ， 的斜率互为相反数，列式，可证.【详解】（）由题意， ，即
21、又 联立解得所以，椭圆 的方程为： .（）设 ， ， ，由 ，得 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ， ， ，解法一：要证明 ，可转化为证明直线 ， 的斜率互为相反数 ，只需证明，即证明 . ， .解法二：要证明 ，可转化为证明直线 ， 与 轴交点 、 连线中点 的纵坐标为 ，即 垂直平分 即可.直线 与 的方程分别为：， ，分别令 ，得 ，而 ，同解法一， 可得，即 垂直平分 .所以， .【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.21设函数 .
22、（）当 时，求函数 的单调区间；（）当 时，若函数 与函数 的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为 ， . 求 的取值范围； 求证： .【答案】 （）当 时，单调递增区间是 ；单调递减区间是 .（） ，见解析【解析】 （）求出函数 的导数，结合题中所给的 的条件，令导数大于零和导数小于零，分别求出函数的单调增区间和单调减区间；（）函数 与函数 的图像总有两个交点，等价于函数有两个零点，对函数求导，研究函数的单调性，从而求得参数 m 的范围，之后根据两个零点的条件，以及函数图象的特点，证得结果.【详解】（）由已知得， ，由 ， ，令 得： ，令 得，所以，当 时，单调递增区间是 ；单调递减
23、区间是 .（）令 ， ，解法一：由 得， ；由 得， 易知， 为 的极大值点.，当 时， ；当 时， .由题意，只需满足 ， 的取值范围是： .解法二： ，由 得， ；由 得， 易知， 为极大值点 .而 在 时取得极小值，由题意，只需满足 ，解得 .由题意知， ， 为函数 的两个零点，由知，不妨设 ，则 ，且函数 在 上单调递增，欲证 ，只需证明 ，而 ，所以，只需证明 .令 ，则 ， ，即所以， ，即 在 上为增函数，所以， ， 成立，所以， .【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将图象交点的个数转化为函数零点的个数问题，构造新函数，利用导数研究
24、其图象，对于零点的条件，结合函数的性质证得结果.22在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为 的倾斜角） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，直线 ， ， ，与曲线 分别交于不同于极点 的三点， ， .（）若 ，求证： ；（）当 时，直线 过 、 两点，求 与 的值.【答案】 （）见解析（） ， .【解析】 （）根据题意可知 ， ， ，结合题中所给的角的范围 ，由此能证明 ；（）当 时求出 B 点的坐标和 C 点的极坐标，利用公式转化为平面直角坐标，从而求得直线 的方程，从而求得 与 的值.【详解】：（1）证明：依题意， ， ， ， ， .
25、（2）当 时，直线 与圆的交点 的极坐标为，直线 与圆的交点 点的极坐标为从而， 、 两点的直角坐标分别为： ，直线 的方程为： ，所以， ， .【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有利用方程求点的坐标的问题，正弦的和差角公式，极坐标与平面直角坐标的转化，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.23已知函数 ， .（）若对于任意 ，总有 成立，求 的值；（）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.【答案】 （） （）【解析】 （）求出函数的对称轴，得到关于 的方程，解出即可；（）题中所给的不等式等价于 ，使得 ，设，求出 的最小值，得到关于 的不等式，解出即可.【详解】（）因为 ， ，所以 的图像关于 对称 ，又 的图像关于 对称，所以 ，所以， .（） ，使得等价于 ，使得 .等价于 ，设 ，则 ，所以， .当 时， ， ，所以， ；当 时， ， ，所以 ，综上， .解法二：（） ， ，即 ，或 （舍）所以，（）由 得，而由题意知，只需满足 ，即即 ， .【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有根据函数图象的对称性求参数的值，绝对值不等式恒成立问题的解题思路，注意 式子的应用.
