1、2016-2017 学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共 8 题1已知全集 ,集合 ,则=1,2,3,4=1,2=A. B. C. D.4 3,4 3 1,3,4【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知， =3,42设命题 ,则 为:,22 A. B.,22 ,22C. D.,22 ,2 【答案】D【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为 ,所以(+1)=(),所以偶函数 的周期为 2，又函数 在区间 上单调递增,所以函数(+2)=(+1)=() () () 1,0在区间 上单调递减,又 , , ,所以() 0,1 =(3)=(
2、1)=( 22)=(2 2)=(2)=(0) 8已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是()=2+2,0(+1),0 |()| A. B. C. D.(,0 (,1 2,1 2,0【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数 的图=|()|像与 的图像，如图所示，由图像可知：函数 的图像为过原点的直线，当直线介于直线 l 与 x 轴= =之间时符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分解析式为 ,=|()| =22,因为 ，故 ,故直线 l 的斜率为 ，故只需直线 的斜率 a 介于 与 0 之间即可，=22 0 2 2 = 2即
3、2,0二、填空题：共 6 题9设 是虚数单位 ,则 .11+=【答案】 【解析】本题主要考查复数的四则运算.11+=(1)(1)(1+)(1)=10执行如图所示的框图,输出值 .=【答案】12【解析】本题主要考查条件结构与循环结构的程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出 x=12.11若等差数列 满足 , ,则当 _时, 的前 项和最大. 7+8+907+1008+9=7+100,90 ()=24 ()0【答案】 (,4)(4,+)【解析】本题主要考查函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能
4、力.设 ,因为 是定义在()=()()上的奇函数，所以 是 上的偶函数，且 , 时,解不等式 可得 x4,所以不 ()=() (0)=00 ()0等式 的解集为()0 (,4)(4,+)13要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米 200 元,侧面造价是每平方米 100 元,则该容器的最低总造价是_元.【答案】1600【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、基本不等式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.设长方体的底面的长为 xm，则宽为 m，总造价为 y 元，则4，当且仅当 ，即 x=2 时，等号成立，故答=4200+2100(+4)80
5、0+4004=1600 =4案为 1600 元14已知函数 ,任取 ,定义集合:=() ,点 , 满足 .=|=()(,()(,()|2设 分别表示集合 中元素的最大值和最小值,记 .则, ()=(1) 若函数 ,则 =_;()= (1)(2)若函数 ,则 的最小正周期为_.()=(2) ()【答案】2 2【解析】本题主要考查新定义问题、集合、三角函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)若函数 ,()=则点 P(t,t),Q(x,x),因为 ，所以 ，化简可得 ,即 ,即|2 ()2+()22 |1 1+1,因为 ，所以 ；=+1,=1 ()= (1)=(1+1)(11)=2(2)若函数 ,
6、此时，函数的最小正周期为 T=4，点 P( ),Q( ),如图所示：当点 P()=(2) ,(2) ,(2)在 A 点时，点 O 在曲线 OAB 上， , ，当点 P 在 B 点时， ,=1,=0()=1 =1,=1，当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时， 逐渐减小，当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时，()=2 ()逐渐增大， , ，当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时， 逐渐减小，() =1,=1()=2 ()， ，依次类推，发现 的最小正周期为 2，因此，本题正确答案为 2.=1,=0 ()=1 ()三、解答题：共 6 题15集合 , , ,其中 .=|23+22 =(2,)=(0
7、,4) 4若 ,则 ,不满足 ,舍;=2 = =(0,4)若 ,则 ,不满足 ,舍;2 =2 0()若 ,求 的单调区间 ;=1 ()()若 的最小值为 1,求 的取值范围 .() 【答案】定义域为 . .0,+)()= +1 2(1+)2= 2+2(+1)(1+)2()若 ,则 ,令 ,得 (舍 ).=1 ()= 21(+1)(1+)2 ()=0 =1 1所以 时, 的单调增区间为 ,减区间为 .=1 () (1,+) (0,1)() , ()= 2+2(+1)(1+)2 0,0 +10当 时,在区间 在 单调递增,所以2 (0,+)上 ,()0 ()1,+).()的最小 值为 (0)=1当
8、 时,由 解得 ,由 解得00 2 ()0()0) ()()证明函数 的图象与直线 没有公共点.() =1【答案】 ()函数 ()的定 义 域 为 (0,+),()=(+)+(+)()=(2+)由 题 意可得 (1)=2,(1)=.故 =1,=2.() .()=2,则 ()=(1)所以当 (0,1)时 ()0;当 (1,+)时 ,()1, () =1等价于 ()1.而 ()1等价于 2.设 函数 ()=,则 ()=+1.所以当 (0,1)时 ,()0.由( )知故 ()在 (0,1)单调递 减 ,在 (1,+)单调递 增 ,从而 ()在 (0,+)的最小 值为(1)=1.综 上 ,当 0时 ,
9、()(),即 ()1.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) ，求解即可；(2) ，判断函数的单调性，即可求出最大值；由 题 意可得 (1)=2,(1)= ()=(1)(3)由(1)知 ，由题意可得 ，等价于 ， ，求导并求出(1)=21 ()1 2 设 函数 ()=的最小值，结合(2)即可得出结论.()20对于集合 ,定义函数 对于两个集合 ,定义集合 . ()=1,1,. , =|()()=1已知 , .=2,4,6,8,10=1,2,4,8,16()写出 和 的值,并用列举法写出集合 ;(1)(1) ()用 表示有限集合 所含
10、元素的个数,求 的最小值;() ()+()()有多少个集合对 ,满足 ,且 ?(,), ()()=【答案】() , , .(1)=1(1)=1=1,6,10,16()根据题意可知：对于集合 , 且 ,则 ; ()=()1若 且 ,则 . ()=()+1所以要使 的值最小,2,4,8 一定属于集合 ;1,6,10,16 是否属于 不影响()+() 的值 ;集合 不能含有 之外的元素.()+() 所以当 为集合 1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时, 取到最小值 4. ()+()()因为 ,=|()()=1所以 .=由定义可知： .()=()()所以对任意元素 , ,()()=()()
11、=()()().()()=()()=()()()所以 .()()=()()所以 .()=()由 知： .()()= ()()=所以 .()()()=()()所以 .=所以 ,即 .= =因为 ,所以满足题意的集合对 的个数为 .(,) 27=128【解析】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合 ,若 且 ,则, ;若 且 ,则 ，由此可得结论；()=()1 ()=()+1(3)由题意易得 ，由定义可知： ，易知 ，由= ()=()() ()()=()()可得 ，则结论易得.()()= ()()=
