1、北京四中 2018 届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合 ， ，那么 等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 ， ，根据集合的并集的概念得到 等于。故答案为：B。2. 若 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ，故选 C.考点：二倍角公式3. 已知向量 a,b 满足 ， ，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由条件知 ， 。故答案为：C。4. 设 ， ， ，则A. B. C. D. 【
2、答案】B【解析】试题分析：由函数 的单调性可知 由 单调性可知 ，由函数单调性可知 ，所以有 ，故选 B考点：函数单调性比较大小5. 已知 ， ，则 是 的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知 ， 。根据向量平行的坐标表示得到 故 是 的充分不必要条件。故答案为：A。6. 函数 的图象如图所示，则 的解析式可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，故当 时， 的符号不确定，因此不单调，即答案 A 不正确；对于答案 B，因 ，故函数 是递减函数，但函数有两个零点，则答案 B 不正确；对于答案 D，因 时，无零
3、点，故答案不正确；而 ，故函数在 时，是单调递减函数，当 时，函数也单调递减函数，应选答案 C。点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。7. 实数 x,y 满足 则 的最小值为A. 15 B. 3 C. -3 D. -15【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，如图：目标函数可化简为： ,根据图像得到当目标函数过点（-3，3）时候，目标函数有最小值，代入得到 z=-3.故得到答案为：C。点睛：这个题目考查的是较为简单的线性规划问题；需要注意的是线规问题，可行域中的线是实线还是虚线，目
4、标函数是什么模型，常见的有形如这个函数的截距型，还有面积型，距离型，斜率型等，注意最值能否取倒。8. 设函数 的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 ，都有 ，则称 为 D 上的“m型增函数” ，已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， 。若 为 R 上的“20型增函数” ，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由已知得 f（x）= ，f （x+20 ）f （x） ，由此能求出实数 a 的取值范围解： 函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f（x）=|x a|a（a R） ，f（ x）= ，f（ x）为 R 上的“20 型增
5、函数”，f（ x+20）f（x） ，当 x=0 时，|20a|a 0，解得 a10实数 a 的取值范围是 a10 故选：C考点：函数的值二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. 若函数 则 等于_。【答案】3【解析】根据题意得到 =8， = 故结果为：3.10. 已知双曲线 C 的标准方程为 ，则双曲线 C 的渐近线方程为_。【答案】【解析】已知双曲线 C 的标准方程为 ，得到渐近线方程为： ，化简得到 。故结果为： 。11. 已知函数 的部分图象如图所示，则 _， _。【答案】 (1). (2). 【解析】由图像知道函数的半周期为 ，故周期为 将函数零点代入得到因为 ，故得
6、到 。故答案为：(1). (2). 。点睛：这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。一般是通过图像可得到振幅，周期，进而得到 w，根据图像的最值点或者零点求得函数中的 角；有最值首选最值，无最值再选零点，零点分第一零点和第二零点，注意区分即可。12. 已知正数 x,y 满足 ，则 的最小值是_。【答案】4【解析】由题意 ，当且仅当 ，即 ，时取等号， 故答案为 9.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆
7、” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定”“等”的条件13. 如图，在 中， ， ， ，D 是 AC 边上一点，且 ，则_【答案】-4【解析】根据题意得到 .代入化简得到-4.故答案为：-414. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 M，使得函数 的值域包含于区间-M，M。例如，当 ， 时，现有如下命题：设函数 的定义域为 D，则“ ”的充要条件是“ ”；若函数 ，则 有最大值和最小值；若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则若函数 ，则 有最大值且 ，其中的真命题有_。 （写出所有真命题的序号）【答案】【
8、解析】对于，若 f（x）A，则 f（x）的值域为 R，于是，对任意的 bR，一定存在 aD，使得 f（a）=b，故正确；对于 ，取函数 f（x）=x（1 x1） ，其值域为（1， 1） ，于是，存在 M=1，使得 f（x）的值域包含于M，M=1，1，但此时 f（x）没有最大值和最小值，故错误；对于 ，当 f（x）A 时，由可知，对任意的 bR，存在 aD，使得 f（a）=b，当 g（x）B 时，对于函数 f（x）+g（x） ，如果存在一个正数 M，使得 f（x）+g（x）的值域包含于 M，M，那么对于该区间外的某一个 b0R，一定存在一个 a0D，使得 f（a0）=bg（a0） ，即 f（a0
9、）+g（a0）=b0M，M，故正确；此时 f（x）= （x2） ，易知 f（x） ， ，存在正数 M= ，使得 f（x）M，M，故正确；故答案为：。三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 已知数列 的前 n 项和为 ， ，且 是 与 1 的等差中项。（I）求 的通项公式；（II）若数列 的前 n 项和为 ，且对 ， 恒成立，求实数的最小值。【答案】(1) ;(2) 实数的最小值为 2.试题解析：（）因为 ,所以 1 分因为 是 与 的等差中项,所以 , 即 所以 3 分所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以 6 分（）由（）可得： 所以
10、, 所以 是以 1 为首项, 为公比的等比数列 9 分所以 数列 的前 项和 11 分因为 ，所以 若 ，当 时， 所以 若对 , 恒成立，则 所以 实数的最小值为 2 13 分考点：数列及其恒成立16. 锐角 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，已知 ， ， 的面积（I）求边 c 的值；（II）求 sinC 的值。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)根据三角形的面积公式得到 将已知条件中的值代入可得，。（2）由同角三角函数的转化可得 ；再由余弦定理得到 ，由正弦定理得到。解析：（I）由 可得， （II）由锐角 中 可得 由余弦定理可得： 有： ,由正弦定理：
11、即 .17. 已知函数 。（I）求函数 的最小正周期与单调增区间；（II）求函数 在 上的最大值与最小值。【答案】 （1） ，单调增区间为 ， ；（2） 时取最大值 ，最小值 。【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为 的形式，利用 计算周期，再利用 的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知 x 的取值范围代入表达式，结合图象，求三角函数的最值试题解析： （） 的最小正周期为令 ，解得 ，所
12、以函数 的单调增区间为 （）因为 ，所以 ，所以 ，于是 ，所以 当且仅当 时 取最小值当且仅当 ，即 时最大值 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值18. 已知函数 ， 。（I）若曲线 在点（1， ）处的切线与直线 垂直，求 a 的值；（II）当 时，试问曲线 与直线 是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。【答案】 （1） ；（2）公共点为（1，-1） 。【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ，即 ；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到 在（0， 1） （ ）恒负，故只有一个公共点。解析：（I）函数
13、 的定义域为 ， 又曲线 在点（1， ）处的切线与直线 垂直，所以 ，即 （II）当 时， ，令当 时， ， 在（ ）单调递减；当 时， ， 在（0，1）单调递增。又 ，所以 在（0，1） （ ）恒负因此，曲线 与直线 仅有一个公共点，公共点为（1，-1） 。19. 已知函数（I）若 ，求曲线 在 处的切线方程；（II）讨论函数 在 上的单调性；（III）若存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围。【答案】 （1）切线方程为 ；（2） 在 上单调减；（3） .【解析】试题分析：（1）当 a=2 时可得 f（x）=x22lnx，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，进而得直线方程；（2）求导数可得结合 x1，e，利用单调性和导数的关系分 和 以及 讨论可得；（3）结合（2）的单调性，分类讨论分别求 a2和 2a2e 以及 a2e时函数的最值，使得函数的最值小于等于 0，最终并到一起可得范围。解析：（1） 时， ，所求切线方程为（2） 时， ， ，此时， 在 上单调增；当 即 ，时， ， 上单调减；时， ， 在 上单调增；当 即 时， ，此时， 在 上单调减； （3）当 时， 在 上单调增， 的最小值为 当 时， 在 上单调减，在 上单调增
