1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）UR20Mx1NxUMCNIA B C D01x 2.已知复数 ，则 的虚部为（ ）534izzA B C D9i9i953.函数 的图象大致是21xye4.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线左支上有一点 到右焦点 距离为 18，2159xy12,FM2F为 中点， 为坐标原点，则 等于（ ）N2FO1NOA B1 C. 2 D435.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，
2、且 ，则na27830anb7ba=（ ）281bA1 B2 C. 4 D86.已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆 的一:10()lxayR2:410Cxy4,0AC条切线，切点为 ，则 =（ ）AA2 B C.6 D422107.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土，这是我过现存最早的有系统的数学典籍，其中记录求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥底面周长与高 ，计算其体积 的近似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，LhV2136Lh 那么，近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取值为（ ）275LhA B C. D
3、2785705138.执行如图所示的程序框图，若输出结果为 63，则 处的条件为MA B C. D64?k64?k32?k32?k9.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A4 B C. D8424310.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间cosfx6gxgx和 上均单调递增，则实数 的取值范围是（ ）0,3a72,6aA B C. D, ,2,633,4811.双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心，过点 的圆交双曲线的210,xyabFAFA一条渐近线于 两点，若 不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（
4、）,PQA B C. D1,21,31,33,12.已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设,abR2yaxbtanfx4x，作区间 上，不等式 恒成立，则实数 （ ）2xge1, 2mgmA有最大值 B有最大值 C.有最小值 D有最小值1eee第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.椭圆 的短轴长为 ，则 = 21mxy2m14 已知 ， ，则 =. 442cosin3(0,)cos()315.在条件 下，目标函数 的最大值为 40，则 的最小值是 60xy0,zaxby51ab16.在 中，角 的对边分别为 ，若 为锐角三角形，且满足 ，则
5、ABC,abcABC2bac的取值范围是 1tant三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点 ，抛物线上一点 点横坐标为 2，2:0CypxFP.3PF（1）求抛物线的方程；（2）过 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点，求 的面积.30oC,ABOOAB18. （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， .nanS1a*12nSnN（1）求数列 的通项公式；na（2）若 ，求数列 的前 项和 .1nnbnbnT19. （本小题满分 12 分）已知 分别为 的三个
6、内角 的对边，,acABC,ABC.cos3i0aCb（1）求 ；A（2）若 ， 的面积为 ，求 .aABC3,bc20. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，PABCDABCD， ， ， ，点 为棱 的中点.AD/ 2D1EP（1）证明： ；BEDC（2）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.FPBFACFABP21. （本小题满分 12 分）定圆 ，动圆 过点 且与圆 相切，记圆心2:316MxyN3,0M的轨迹为 .NE（1）求轨迹 的方程；（2）设直线 与 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 （ 与 不重合），则直线1xmy,PQx1PQ与 轴是否交于一个定点
7、？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.1PQ22. （本小题满分 12 分）已知函数 ln1fx（1）求函数 的最小值；fx（2）设 ，讨论函数 的单调性；2FafRFx（3）若斜率为 的直线与曲线 交于 ， 两点，其中 ，求证：kyfx1,Ay2,By12x.12x试卷答案一、选择题1-5:ADCDD 6-10:CBBBA 11、12：CA二、填空题13.2 14. 15. 16.21569423(1,)三、解答题17.（1）由抛物线定义可知， ， ，23pPF2抛物线方程为 .24yx又 到直线距离 ， .QO312d1642OABS18.（1） ，12nS当 时，
8、， ，12na，即 ，12nnan，即 .n*1nN（2） ， ，naQ1122nn nnb.223111n nnnT L19.（1）由正弦定理得 ，cosi0aCbc，sicoinACB，n3ssisinAC，sic1，02Ao，3.6o（2） ，所以 ， ，则 ，1sin3SbcA4bc22cosabA4bc所以 .20.（1） 底面 ， ，PQBCDAE以 分别为 轴为正方向建立空间直角坐标系，,ABur,xyz向量 ，向量 ，故 ，所以 ；0E2,0ur0BDCurgBEDC（2）向量 ， ， ， ，1,20BCur2,Pur2,0ACur1,0ABur由点 在棱 上，设 ，F,1F设
9、 ，,rrr由 得 ，因此 ，解得 .BAu0ug22034即 ，设 为平面 的法向量，则 ，13,2Fr1,nxyzrFAB10nABFurg即 ，不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.01302xyzz10,3nur取平面 的法向量为 ，ABP2,1nur则 ，易知，二面角 是锐角，所以其余弦值为 .112230cos,nurgr FABP31021.（1）因为点 在圆 内，,0F2:16Mxy所以圆 内切于圆 ，因为 ，所以点 的轨迹为椭圆，N4NFN且 ，所以 ，所以轨迹 的方程为 ；24,3ac1bE21xy（2）由 消去 得： ，214xymx2430my设 ， ，则 ，则 ， ，
10、1,Px2,Q1,P124m1234y经过点 ， 的直线方程为 ，1,y2,xy112yx令 ，则0y21121 122xyyy又 ， ，故当 时，1xm2x0，22121222 64134myymy即直线 与 轴交于定点 .1PQx4,022.（1） ，令 ，得 ，ln2fx0fx21e当 时， ，当 时， ，20,xe0f21,e0fx则 在 内递减，在 内递增，f21,2,所以当 时， .2xe222min11lnfxfee（2） ， ，2lFa0axF 当 时，恒有 ， 在区间 内是增函数；00xx0,当 时，令 ，即 ，解得 ，a21a12xa令 ，即 ，解得 ，0Fx20xxa综上，当 时， 在区间 内是增函数，当 时， 在 内单调递增，在aF,0Fx10,2a内单调递减.1,2a（3）证明： ，要证明 ，即证 ，2121lnfxfxk12xk2112lnx等价于 ，令 （由 ，知 ），2121lnx21xt2xt则只有证 ，由 ，知 ，故等价于 （*）lttln0t ln1ltt设 ，则 ，所以 在 内是增函数，当 时，1ngt1gtg,1t，所以 ，l0lt设 ，则 ，所以 在 内是增函数，所以当htttn01ht ht1,时， ，即 ，1tln1lt由知（*）成立，所以 .2xk
