1、2015-2016 学年浙江省杭州中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=y|y=sinx，x R，集合 B=x|y=lgx，则（ RA）B（ ）A （，1）U （1，+ ） B 1，1 C （1，+） D1，+）2 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B C D3 （5 分）已知 a，bR，条件 p：“ab”，条件 q：“2 a 2b1”，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充
2、分也不必要条件4 （5 分）函数 y= （a1）的图象大致形状是（ ）A B C D5 （5 分）将函数 y=2sin（ x ） （0）的图象分别向左向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）A B1 C2 D46 （5 分）函数 y=loga（x+3）1（a 0，且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m，n 均大于 0，则 的最小值为（ ）A2 B4 C8 D167 （5 分）若 A，B，C 三点不共线， | |=2，| |=3| |，则 的取值范围是（ ）A B C D8 （5 分）已知 F1、F 2 分别是双曲线 C：
3、=1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B3 C D2二、填空题（本大题共 7 小题，前 4 题每题 6 分，后 3 题每题 4 分，共 36 分，将答案填在答题纸上）9 （6 分）设数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1=1 且 a1，a 3a 6 成等比数列，则数列a n的公差 d= ，前 n 项和 Sn 10 （6 分）设抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 A（0，2） 若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 F 到 l 的距离为 ，|FB|= 11 （6 分）已知 （
4、 ， ） ，且 sin（ ）= ，则 sin= ，cos （+ ）= 12 （6 分）已知点 A（3， ） ，O 为坐标原点，点 P（ x，y）满足 ，则满足条件点 P 所形成的平面区域的面积为 ， 在 方向上投影的最大值为 13 （4 分）已知 P 为ABC 内一点，且 5 2 = ，则PAC 的面积与ABC 的面积之比等于 14 （4 分）已知 ex+x3+x+1=0， 27y33y+1=0，则 ex+3y 的值为 15 （4 分）一个直径 AB=2 的半圆，过 A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点 S，使 AS=AB，C为半圆上一个动点，N，M 分别为 A 在 SC，SB 上的射影
5、当三棱锥 SAMN 的体积最大时，BAC 的余弦值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16 （14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 = （）求角 C；（）求 的取值范围17 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面 ABCD，M 是棱 PD 的中点，且 PA=AB=AC=2，BC=2 （）求证：CD平面 PAC；（）求二面角 MABC 的大小；（）如果 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 ，求 的值18 （14 分）已知 a0
6、，函数 f（x）=x|xa|（1）当 a=2 时，写出函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数 y=f（x）在区间0，2上的最大值19 （16 分）如图，以椭圆 =1 的右焦点 F2 为圆心，1 c 为半径作圆 F2（其中 c 为已知椭圆的半焦距） ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T（）若 a= ，P 为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（）设圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q，过点 Q 作斜率为 k（ k0）的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若OAOB，且|PT| （a c）恒成立，求直线 l 被圆 F2 所截得弦长的最大值20 （16 分）已知数列a n的前 n 项和为
7、 Sn，且满足 2an1=Sn（1）求数列a n的通项公式；（2）对任意 n，kN *，有 2+k2 10k+ 0，求正数 的取值范围；（3）设 bn=an（ 1） n，记 Tn= + + ，求证：T 2n22015-2016 学年浙江省杭州中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 菏泽一模）设集合 A=y|y=sinx，x R，集合 B=x|y=lgx，则（ RA）B（ ）A （，1）U （1，+ ） B 1，1 C （1，+） D1
8、，+）【分析】求出 y=sinx 的值域确定出 A，找出 R 中不属于 A 的部分求出 A 的补集，求出 y=lgx 的定义域确定出 B，找出 A 补集与 B 的公共部分即可求出所求的集合【解答】解：由集合 A 中的函数 y=sinx，x R，得到 y1，1，A= 1，1， RA=（， 1）（1，+） ，由集合 B 中的函数 y=lgx，得到 x0，B=（0，+） ，则（ RA） B=（1，+） 故选 C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2014 秋 濮阳期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B C D
9、【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积 S= （1+2）1= ，高 h=1，故棱锥的体积 V= = ，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键3 （5 分） （2013 宁波二模）已知 a，bR，条件 p：“ab” ，条件 q：“2 a2 b1”，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】：由条件 p：“ab”，再根据函数 y=2x
10、是增函数，可得故条件 q 成立但由条件 q：“2 a2 b1”成立，不能推出条件 p：“ab”成立，从而得出结论【解答】解：由条件 p：“ab”，再根据函数 y=2x 是增函数，可得 2a2 b，2 ab b1，故条件q：“ 2a2 b1”成立，故充分性成立但由条件 q：“2 a2 b1”成立，不能推出条件 p：“ ab” 成立，例如由 202 01 成立，不能推出 00，故必要性不成立故 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数 y=2x 的单调性，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题4 （5 分） （20
11、12 德州二模）函数 y= （a1）的图象大致形状是（ ）A B C D【分析】根据指数函数的图象和性质，当 a1 时为增函数，排除 C，D，再讨论 x0 的单调性，即可得到答案【解答】解：当 x0 时，y=a x，因为 a1，所以是增函数，排除 C、D，当 x0 时，y= ax，是减函数，所以排除 A答案：B【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，需要分类讨论，去绝对值，属于基础题5 （5 分） （2015 烟台一模）将函数 y=2sin（ x ） （0）的图象分别向左向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）A B1 C2 D4【分析】由三角函数的图象平移得到平
12、移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到 x+=x 或 x+ =x +k，kZ由此求得最小正数 的值【解答】解：把函数 y=2sin（ x ） （0）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin（x+ ） =2sin（x+ ） ，向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin（x ） =2sin（x ） 所得的两个图象对称轴重合，x+ =x ，或 x+ =x +k，k Z 解得 =0，不合题意；解得 =2k，kZ 的最小值为 2故选：C【点评】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题
13、6 （5 分） （2012 三水区模拟）函数 y=loga（x+3） 1（a 0，且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx+ny+1=0 上，其中 m，n 均大于 0，则 的最小值为（ ）A2 B4 C8 D16【分析】根据对数函数的性质先求出 A 的坐标，代入直线方程可得 m、n 的关系，再利用 1 的代换结合均值不等式求解即可【解答】解：x= 2 时，y=log a11=1，函数 y=loga（x+3）1（a 0，a1）的图象恒过定点（2，1）即 A（2， 1） ，点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，2m n+1=0，即 2m+n=1，mn0，m0，n0， =（ ） （2m
14、+n）=2+ + +2 4+2 =8，当且仅当 m= ，n= 时取等号故选 C【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容7 （5 分） （2013 柯城区校级三模）若 A，B，C 三点不共线，| |=2，| |=3| |，则 的取值范围是（ ）A B C D【分析】先设 ，再求出 =3x，由题意画出图形，再由三角形三边的性质求出 x 的范围，把边长代入余弦定理的推论求出 cosC 的表达式，代入 化简，由二次函数的性质求出它的范围【解答】解：设 ，则 =3x，由于 A，B，C 三点不共线，能构成三角形，如下图：由三角形三边的性质得， ，解得
15、，由余弦定理的推论得，cosC= = = ， = cosC=3x2 =5x22，由 得， 5x223，故选 D【点评】本题考查了向量的数量积在几何中的应用，以及三角形三边的性质、余弦定理的推论，二次函数的性质等，需要正确做出图形，考查了分析问题和解决问题的能力8 （5 分） （2015 仁寿县模拟）已知 F1、F 2 分别是双曲线 C： =1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B3 C D2【分析】求出 F2 到渐近线的距离，利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心，|OF 1|为半径的圆上
16、，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F 1（ c，0） ，F 2（c，0） ，一条渐近线方程为 ，则 F2 到渐近线的距离为=b设 F2 关于渐近线的对称点为 M，F 2M 与渐近线交于 A，|MF 2|=2b，A 为 F2M 的中点又 0 是 F1F2 的中点，OA F1M，F 1MF2 为直角，MF 1F2 为直角三角形，由勾股定理得 4c2=c2+4b23c 2=4（c 2a2） ，c 2=4a2，c=2a，e=2故选 D【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 7 小题，前 4 题每题 6 分，后
17、3 题每题 4 分，共 36 分，将答案填在答题纸上）9 （6 分） （2015 秋 杭州校级月考）设数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1=1 且 a1，a 3a 6 成等比数列，则数列a n的公差 d= ，前 n 项和 Sn 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：根据题意可得：（1+2d） 2=1（1+5d） ，整理得 4d2d=0，d0，d= ，利用等差数列求和公式，可得：S n=n+ = 故答案分别为： ； 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （6 分） （2015 秋 杭州校级月考）设抛物线
18、y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 A（0，2） 若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 F 到 l 的距离为 ，|FB|= 【分析】根据抛物线方程可表示出焦点 F 的坐标，进而求得 B 点的坐标代入抛物线方程求得 p，则 B 点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得 F 到 l 的距离、B 到该抛物线准线的距离【解答】解：依题意可知 F 坐标为（ ，0）B 的坐标为（ ，1）代入抛物线方程解得 p= ，F 到 l 的距离为 ；|FB |= + = 故答案为： ， 【点评】本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题11 （6 分） （2015 秋 杭州校级月考）已知 （ ， ）
19、，且 sin（ ）= ，则 sin= ，cos（+ ）= 【分析】利用三角函数的平方关系得到 cos（ ）的值，然后将 转化为 =（ ）+ 的形式，进而根据两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值【解答】解：（ ， ） ，cos（ ）= = ，sin=sin（ ）+ =sin（ ）cos +cos（ ）sin = + = ，cos（+ ）=cos（ ）+ =sin（ ）= 故答案是： ； 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题12 （6 分） （2015 秋 杭州期中）已知点 A（3， ） ，O
20、为坐标原点，点 P（x，y）满足 ，则满足条件点 P 所形成的平面区域的面积为 ， 在 方向上投影的最大值为 【分析】首先画出可行域，利用三角形面积公式求面积；明确令 在 方向上投影为，利用其几何意义求最值【解答】解：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由 得到 C（ 2，0）B（1， ） ，所以其面积为 ，令 在 方向上投影为 ，所以 y= ，过 B 时 z 最大，所以， 在 方向上投影的最大值为 ；故答案为： ， 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求得最值是关键13 （4 分） （2015 秋 杭州校级月考）已知 P 为ABC 内一点，
21、且 5 2 = ，则PAC 的面积与ABC 的面积之比等于 【分析】由 5 2 = ，可得 = + ，延长 AP 交 BC 于 D，则 = = ，从而可以得到 D 是 BC 边的三等分点，且 CD= CB，即可得出【解答】解：5 2 = ， = + ，延长 AP 交 BC 于 D，则 = = ，从而可以得到 D 是 BC 边的三等分点，且 CD= CB，设点 B 到边 AC 的距离为 d，则点 P 到边 AC 的距离为 d= d，所以PAC 的面积与 ABC 的面积之比为 故答案为： 【点评】本题考查了向量线性运算法则、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （4 分） （2015 秋 杭州校级月考）已知 ex+x3+x+1=0， 27y33y+1=0，则 ex+3y 的值为 1 【分析】由题意可知 x=3y，问题得以解决【解答】解：e x+x3+x+1=0， 27y33y+1=0 等价于 e3y+（3y） 3+（ 3y）+1=0，x=3y ，即 x+3y=0，e x+3y=e0=1，故答案为：1【点评】本题考查了指数的运算，以及方程的根的问题，属于基础题
