高三数学知识点.pdf

1、上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 1页 （ 共 22页 ）高 中 数 学 知 识 点 汇 总 （ 高 三 ）高 中 数 学 知 识 点 汇 总 （ 高 三 ） .1十 四 、 空 间 直 线 与 平 面 .2十 五 、 简 单 几 何 体 .10十 六 ： 排 列 组 合 与 二 项 式 定 理 .16（ 一 ） 排 列 组 合 .16（ 二 ） 二 项 式 定 理 .18十 七 ： 概 率 论 初 步 .19十 八 、 基 本 统 计 方 法 .21上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， Q

2、Q） ： 17521075874.第 2页 （ 共 22页 ）十 四 、 空 间 直 线 与 平 面1、 平 面 及 其 基 本 性 质 ：（ 1） 平 面 的 定 义 ：平 面 概 念 是 现 实 中 平 面 形 象 抽 象 的 结 果 ， 无 厚 度 ， 无 边 界 ， 在 空 间 延 伸 至 无 限 一 般 地 ， 平 面 用 一 个 大 写 的 英 文 字 母 或 小 写 的 希 腊 字 母 表 示 ， 如 平 面 M 、 平 面 N 或 平 面 、平 面 ， 也 可 以 用 平 面 上 的 三 个 （ 或 三 个 以 上 ） 点 的 字 母 表 示 （ 2） 点 与 直 线 的 关

3、系 ：点 A在 直 线 l上 ，或 直 线 l经 过 点 A A l点 B 不 在 直 线 l上 B l（ 3） 点 与 平 面 的 关 系 ：点 A在 平 面 上 ，或 平 面 经 过 点 A A 点 B 不 在 平 面 上 B （ 4） 直 线 与 平 面 的 关 系 ：直 线 l在 平 面 上或 平 面 经 过 直 线 l l 直 线 l与 平 面 相 交 于 点 A，或 称 A是 直 线 l与 平 面 的 交点 l A 直 线 l与 平 面 平 行 ，或 直 线 l与 平 面 没 有 公 共 点 l 或 l 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ：

4、 17521075874.第 3页 （ 共 22页 ）（ 5） 平 面 与 平 面 的 关 系 ：平 面 与 平 面 相 交 平 面 与 平 面 平 行 或 （ 6） 公 理 1：如 果 直 线 l 上 有 两 个 点 在 平 面上 ， 那 么 直 线 l在 平 面 上 若 A l ， B l ， 且 A ， B ， 则 l （ 7） 公 理 2：如 果 不 同 的 两 个 平 面 、 有 一 个 公 共 点 A， 那 么 、 的 交 集 是 过 点 A的 直 线 l对 于 不 同 的 两 个 平 面 、 ， 若 存 在 A ， 则l ， 其 中 l是 直 线 ， 且 A l （ 8） 公 理

5、 3 及 其 推 论 ：公 理3 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 确 定 一 个 平 面 （ 这 里“ 确 定 一 个 平 面 ” 的 含 义 是 “ 有 且 只 有 一 个平 面 ” ） 推 论1 一 条 直 线 和 直 线 外 的 一 点 确 定 一 个 平 面 推 论2 两 条 相 交 的 直 线 确 定 一 个 平 面 推 论3 两 条 平 行 的 直 线 确 定 一 个 平 面 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 4页 （ 共 22页 ）2、 空 间 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系 ：（ 1） 空

6、 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系 ： 相 交 直 线共 面 直 线 平 行 直 线异 面 直 线（ 2） 公 理 4：平 行 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行 （ 3） 定 理 1：如 果 一 个 角 的 两 边 与 另 一 个 角 的 两 边 分 别 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 或 互 补 （ 4） 异 面 直 线 的 定 义 ： 如 果 空 间 的 两 条 直 线 1l 、 2l 既 不 平 行 ， 也 不 相 交 ， 这 时 不 可 能 存 在 一 个 平 面 ，使 它 既 经 过 直 线 1l ， 又 经 过 直 线 2l ， 我 们 把

7、不 能 置 于 同 一 平 面 的 两 条 直 线 1l 、 2l 叫 做 异 面 直 线 （ 5） 异 面 直 线 所 成 的 角 ：对 于 异 面 直 线 a和 b ， 在 空 间 任 取 一 点 P ， 过 P 分 别 作 a和 b 的 平 行 线 a和 b， 我 们 把 a与 b所 成 的 锐 角 或 直 角 叫 做 异 面 直 线 a与 b 所 成 的 角 取 值 范 围 是 (0, 2 （ 6） 异 面 直 线 的 性 质 ：过 两 条 异 面 直 线 中 的 一 条 且 平 行 于 另 一 条 的 平 面 是 唯 一 的 3、 空 间 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 ：（

8、 1） 直 线 与 平 面 垂 直 ：一 般 地 ， 如 果 一 条 直 线 l与 平 面 上 的 任 何 直 线 都 垂 直 ， 那 么 我 们 就 说 直 线 l与 平 面 垂 直 ，记 作 l ， 直 线 l叫 做 平 面 的 垂 线 ， l与 的 交 点 叫 做 垂 足 判 定 定 理 ：一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 都 垂 直 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 垂 直 a b ， a c ， b ， c ， b c A a 性 质 定 理 ：垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平 行 a ， b ， a b a b （ 2） 直

9、 线 与 平 面 平 行 ： 判 定 定 理 ：平 面 外 一 条 直 线 与 此 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 平 行 a ， b ， 且 a b a 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 5页 （ 共 22页 ） 性 质 定 理 ：一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 ， 则 过 这 条 直 线 的 任 一 平 面 与 此 平 面 的 交 线 与 该 直 线 平 行 a ， a ， b a b （ 4） 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ： 当 直 线 l与 平 面

10、相 交 且 不 垂 直 时 ， 叫 做 直 线 l与 平 面 斜 交 ， 直 线 l叫 做 平 面 的 斜 线 设 直 线 l与 平 面 斜 交 于 点 M ， 过 l上 任 意 点 A， 作 平 面 的 垂 线 ， 垂 足 为 O， 我 们 把 点 O叫 做 点 A在 平 面 上 的 射 影 ， 直 线 OM 叫 做 直 线 l在 平 面 上 的 射 影 ， 并 规 定 直 线 l与 其 在 平 面 上 的 射 影 OM 所 成 的 锐 角 叫 做 直 线 l和 平 面 所 成 的 角 当 直 线 l与 平 面 垂 直 时 ， 它 们 所 成 的 角 等 于 90； 当 直 线 l与 平 面

11、 平 行 或 直 线 l在 平 面 上 时 ， 它 们 所 成 的 角 为 0 直 线 与 平 面 所 成 的 角 的 取 值 范 围 是 0, 2 最 小 角 定 理 ： 已 知 的 斜 线 l与 所 成 的 角 为 ， l与 内 的 一 条 直 线 所 成 的 角 为 ， 则 ，此 为 最 小 角 定 理 已 知 OA是 平 面 的 斜 线 ， OB 是 OA在 内 的 射 影 ， OM ， 1AOB ， 2BOM ， 则1 2cos cos cos （ 5） 三 垂 线 定 理 ：在 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 如 果 和 穿 过 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 在 这 个

12、平 面 内 的 射 影 垂 直 ， 那 么 它 也 和这 条 斜 线 垂 直 三 垂 线 定 理 逆 定 理 ：如 果 平 面 内 一 条 直 线 和 穿 过 该 平 面 的 一 条 斜 线 垂 直 ， 那 么 这 条 直 线 也 垂 直 于 这 条 斜 线 在 平 面 内的 射 影 4、 空 间 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 ：（ 1） 空 间 平 面 与 平 面 平 行 ：判 定 定 理 ：一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 与 另 一 个 平 面 平 行 ， 则 这 两 个 平 面 平 行 a ， b ， a b P ， a ， b 性 质 定 理 ：如 果 两 个

13、 平 行 平 面 同 时 和 第 三 个 平 面 相 交 ， 那 么 它 们 的 交 线 平 行 ， a ， b ， 求 证 a b （ 2） 空 间 平 面 与 平 面 垂 直 ： 判 定 定 理 ：一 个 平 面 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 ， 则 这 两 个 平 面 垂 直 a ， a 性 质 定 理 ：两 个 平 面 垂 直 ， 则 一 个 平 面 内 垂 直 于 交 线 的 直 线 与 另 一 个 平 面 垂 直 ， l ， m l ， m m 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 6页 （ 共 22页 ）

14、（ 3） 二 面 角 ：设 两 个 平 面 、 相 交 于 直 线 AB ， AB 将 、 分 别 分 割 成 两 个 半 平 面 ， 由 、 的 半 平 面及 其 交 线 AB 所 组 成 的 空 间 图 形 叫 做 二 面 角 ， 记 作 AB 交 线 AB 叫 做 二 面 角 的 棱 ， 两 个 半平 面 、 叫 做 二 面 角 的 面 如 果 半 平 面 上 有 点 Q， 半 平 面 上 有 点 P ， 那 么 该 二 面 角 也 可 记作 P AB Q （ 4） 二 面 角 的 平 面 角 ：在 二 面 角 的 棱 AB 上 任 取 一 点 O， 过 O分 别 在 面 和 上 作 棱

15、 AB 的 垂 线 OM 和 ON ， 射 线 OM和 ON 所 成 的 角 叫 做 二 面 角 AB 的 平 面 角 二 面 角 的 大 小 就 用 它 的 平 面 角 来 度 量 ， 当 二 面角 的 平 面 角 是 时 ， 就 说 这 个 二 面 角 是 （ 0 ） 特 别 地 ， 当 2 时 ， 称 平 面 与 平 面 垂 直 ， 记 作 （ 5） 二 面 角 的 平 面 角 大 小 的 求 解 方 法 ： 定 义 法 ： 在 二 面 角 AB 的 交 线 AB 上 找 到 一 点 O， 然 后 分 别 在 这 两 个 面 内 作 AB 的 垂线 OM 、 ON ， 然 后 求 解 M

16、ON 即 可 ； 射 影 法 ： cos SS 射 影 的 面 积原 几 何 图 形 的 面 积 ， 其 中 为 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 注 意 ： 当 射 影 在 二 面 角 的 外 面 时 ， 射 影 的 面 积 取 负 值 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 7页 （ 共 22页 ）5、 空 间 图 形 中 的 有 关 距 离 ：点 M 和 平 面 的 距离 设 M 是 平 面 外 一 点 ， 过 点 M 作 平 面 的垂 线 ， 垂 足 为 N ， 我 们 把 点 M 到 垂 足 N 之间 的 距

17、离 叫 做 点 M 和 平 面 的 距 离 直 线 l和 平 面 的 距离 设 直 线 l平 行 于 平 面 ， 在 直 线 l 上 任 取 一点 M ， 我 们 把 点 M 到 平 面 的 距 离 叫 做 直线 l和 平 面 的 距 离 平 面 和 平 面 的 距离 设 平 面 平 行 于 平 面 ， 在 平 面 上 任 取 一点 M ， 我 们 把 点 M 到 平 面 的 距 离 叫 做 平面 和 平 面 的 距 离 异 面 直 线 a、 b 的 距离 设 直 线 a与 直 线 b 是 异 面 直 线 ， 当 点 M 、 N分 别 在 a、 b 上 ， 且 直 线 MN 既 垂 直 于 直

18、 线a， 又 垂 直 于 直 线 b 时 ， 我 们 把 直 线 MN 叫做 异 面 直 线 a、 b 的 公 垂 线 ， 垂 足 M 、 N 之间 的 距 离 叫 做 异 面 直 线 a和 b 的 距 离 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 8页 （ 共 22页 ）6、 立 体 向 量 的 相 关 问 题 ：（ 1） 中 点 坐 标 公 式 ：已 知 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z ， 若 ( , , )M x y z 是 线 段 AB 的 中 点 ， 则 有 1 21

19、 21 2222x xx y yy z zz （ 2） 异 面 直 线 所 成 的 角 ：已 知 直 线 m 的 方 向 向 量 为 1 1 1( , , )a x y z ， 直 线 n的 方 向 向 量 为 2 2 2( , , )b x y z ， 则直 线 m 与 直 线 n所 成 的 角 满 足 ：1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2cos x x y y z za ba b x y z x y z （ 3） 平 面 的 法 向 量 ：已 知 平 面 的 两 个 方 向 向 量 为 1 1 1 1( , , )d x y z 、 2 2 2 2( , ,

20、 )d x y z ， 法 向 量 为 ( , , )n x y z ， 则12 00d nd n ， 即 1 1 12 2 2 00x x y y z zx x y y z z ， 得 到 : :x y z 即 可 （ 4） 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ：已 知 直 线 AP 的 方 向 向 量 为 1 1 1( , , )d x y z ， 平 面 的 法 向 量 为 2 2 2( , , )n x y z ， 则直 线 AP 与 平 面 所 成 的 角 满 足 ：1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2sin x x y y z zd nd n x y

21、z x y z （ 5） 二 面 角 （ 平 面 与 平 面 所 成 的 角 ） ：基 向 量 法 ：二 面 角 A BD C 中 ， AE BD ， CF BD ， AC 、 EF 、 AE 、 CF 长 度 已 知 ， 则 由2 2( )AC AE EF FC ， 可 求 出 cos ,AE FC ， 从 而 求 得 ,AE FC ，则 二 面 角 A BD C 的 大 小 为 ,AE FC 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 9页 （ 共 22页 ）法 向 量 法 ：已 知 平 面 的 法 向 量 为 1 1 1 1

22、( , , )n x y z ， 平 面 的 法 向 量 为 2 2 2 2( , , )n x y z ， 则平 面 与 平 面 所 成 的 二 面 角 满 足 ： 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2cos n n x x y y z zn n x y z x y z 其 中 号 ， 可 以 结 合 具 体 情 形 加 以 判 断 ， 或 者 令 1n与 2n对 于 二 面 角 的 朝 向 相 反 （ 6） 点 到 平 面 的 距 离 ：已 知 点 P ， 平 面 的 法 向 量 为 1 1 1( , , )n x y z ， 则 任 取 平

23、面 上 的 点 M ， 于 是点 P 到 平 面 的 距 离 为 n PMn （ 7） 异 面 直 线 间 的 距 离 ：设 异 面 直 线 AB 、 CD间 的 距 离 为 d ， 则 BC n BD n AC n AD nd n n n n 其 中 ， n 满 足 0n AB ， 且 0n CD 注 意 ： 异 面 直 线 间 的 距 离 问 题 在 新 课 标 中 有 所 淡 化 ， 此 公 式 仅 作 了 解 即 可 要 注 意 体 会 点 到 平 面 的距 离 公 式 与 该 公 式 的 联 系 ， 从 而 体 会 点 面 之 距 、 异 面 直 线 之 距 间 的 相 互 转 化

24、上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 10页 （ 共 22页 ）十 五 、 简 单 几 何 体1、 多 面 体 ：（ 1） 多 面 体 的 相 关 定 义 ：概 念 定 义多 面 体 由 平 面 多 边 形 （ 或 三 角 形 ） 围 成 的 封 闭 体 多 面 体 的 面 ( )F 构 成 多 面 体 的 各 平 面 多 边 形 （ 或 三 角 形 ） 多 面 体 的 棱 ( )E 多 面 体 相 邻 多 边 形 （ 或 三 角 形 ） 的 公 共 边 多 面 体 的 顶 点 ( )V 棱 与 棱 的 交 点 凸 多 面

25、体 欧 拉 公 式 2V F E （ 2） 棱 柱 及 其 性 质 、 棱 锥 及 其 性 质 ：棱 柱 棱 锥定义 1、 有 两 个 面 互 相 平 行 ， 其 余 每 相 邻 两 个 面 的 公 共边 都 互 相 平 行 的 多 面 体 叫 做 棱 柱 ；其 中 ， 棱 柱 的 两 个 相 互 平 行 的 面 叫 做 棱 柱 的 底面 ， 其 他 的 面 叫 做 棱 柱 的 侧 面 ， 棱 柱 的 侧 面 都 是平 行 四 边 形 不 在 底 面 上 的 棱 叫 做 棱 柱 的 侧 棱 ，两 个 底 面 间 的 距 离 叫 做 棱 柱 的 高 2、 底 面 是 平 行 四 边 形 的 棱

26、柱 叫 做 平 行 六 面 体 ；3、 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 棱 柱 叫 做 直 棱 柱 ；4、 底 面 是 正 多 边 形 的 直 棱 柱 叫 做 正 棱 柱 ；5、 底 面 是 矩 形 的 直 棱 柱 叫 做 长 方 体 ；6、 所 有 棱 长 都 相 等 的 长 方 体 叫 做 正 方 体 1、 有 一 个 面 是 多 边 形 ， 其 余 各 面 是 有 一 个 公共 顶 点 的 三 角 形 的 多 面 体 叫 做 棱 锥 ；其 中 ， 棱 锥 的 多 边 形 的 面 叫 做 棱 锥 的 底 面 ，其 他 的 面 叫 做 棱 锥 的 侧 面 ， 棱 锥 的 侧 面 都 是 三角

27、 形 不 在 底 面 上 的 棱 叫 做 棱 锥 的 侧 棱 ， 侧 棱的 公 共 点 叫 做 棱 锥 的 顶 点 ， 顶 点 与 底 面 之 间 的距 离 叫 做 棱 锥 的 高 2、 底 面 是 正 多 边 形 ， 且 顶 点 在 底 面 的 射 影 是底 面 的 中 心 ， 这 样 的 棱 锥 叫 做 正 棱 锥 性质 1、 一 般 棱 柱（ 1） 侧 棱 平 行 且 相 等 ；（ 2） 侧 面 是 平 行 四 边 形 ；（ 3） 两 底 面 及 平 行 于 底 面 的 截 面 是 全 等 多 边 形 ；（ 4） 对 角 面 是 平 行 四 边 形 2、 直 棱 柱（ 1） 侧 棱 长

28、等 于 高 ；（ 2） 侧 面 和 对 角 面 是 矩 形 3、 正 棱 柱（ 1） 侧 面 是 全 等 的 矩 形 ；（ 2） 两 底 中 心 连 线 垂 直 于 底 面 1、 一 般 棱 锥棱 锥 被 平 行 于 底 面 的 平 面 所 截 ， 那 么 侧 棱和 高 被 这 个 平 面 分 成 比 例 线 段 ； 所 得 截 面 与 底面 相 似 ， 其 面 积 比 等 于 截 得 棱 锥 的 高 与 已 知 棱锥 高 的 平 方 比 2、 正 棱 锥（ 1） 各 侧 棱 相 等 ；（ 2） 各 侧 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形 ；（ 3） 各 条 高 都 相 等 ；（ 4） 侧

29、 棱 和 底 面 所 成 的 角 相 等 ；（ 5） 侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角 相 等 ；（ 6） 相 邻 两 个 侧 面 所 成 二 面 角 相 等 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 11页 （ 共 22页 ）（ 3） 立 体 图 形 图 示 ：三 棱 柱 ABC A B C 四 棱 柱 ABCD A B C D 六 棱 柱 ABCDEF A B C D E F 平 行 六 面 体 ABCD A B C D 长 方 体 ABCD A B C D 正 方 体 ABCD A B C D 直 三 棱 柱 ABC

30、 A B C 直 四 棱 柱 ABCD A B C D 直 五 棱 柱 ABCDE A B C D E 正 三 棱 柱 ABC A B C 正 四 棱 柱 ABCD A B C D 正 六 棱 柱ABCDEF A B C D E F 三 棱 锥 P ABC 四 棱 锥 P ABCD 五 棱 锥 P ABCDE上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 12页 （ 共 22页 ）正 三 棱 锥 P ABC 正 四 棱 锥 P ABCD 正 六 棱 锥 P ABCDE（ 4） “ 斜 二 测 ” 画 图 法 的 定 义 ： 规 定 按

31、 图 所 示 的 位 置 和 夹 角 作 三 条 轴 分 别 表 示 铅 垂 方 向 、 左 右 方 向 以 及 前 后 方 向 的 轴 ， 依次 把 它 们 叫 做 z 轴 、 y 轴 和 x轴 ； 规 定 在 z 轴 和 y 轴 方 向 上 线 段 的 长 度 与 其 表 示 的 真 实 长 度 相 等 ， 而 在 x轴 方 向 上 ， 线 段 的 长度 是 其 表 示 的 真 实 长 度 的 二 分 之 一 用 这 种 方 法 画 的 空 间 图 形 的 直 观 图 叫 做 斜 二 轴 测 图 ， 这 样 的 画 图 方 法 简 称 “ 斜 二 测 ” 画 图 法 （ 5） “ 斜 二

32、测 ” 画 图 法 有 两 条 重 要 性 质 ： 平 行 直 线 的 斜 二 测 图 仍 是 平 行 直 线 ； 线 段 及 其 线 段 上 定 比 分 点 的 斜 二 测 图 保 持 原 比 例 不 变 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 13页 （ 共 22页 ）2、 旋 转 体 ：旋 转 体 的 定 义 ： 平 面 上 一 条 封 闭 曲 线 所 围 成 的 区 域 绕 着 它 所 在 平 面 上 的 一 条 定 直 线 旋 转 而 形 成 的 几何 体 叫 做 旋 转 体 ， 该 定 直 线 叫 做 旋 转 体

33、的 轴 分 类 定 义 及 其 性 质 图 形圆 柱 将 矩 形 ABCD（ 及 其 内 部 ） 绕 其 一 条 边 AB 所 在 直 线旋 转 一 周 ， 所 形 成 的 几 何 体 叫 做 圆 柱 ；AB 所 在 直 线 叫 做 圆 柱 的 轴 ， 线 段 AD和 BC旋 转 而 成的 圆 面 叫 做 圆 柱 的 底 面 ， 线 段 CD旋 转 而 成 的 曲 面 叫 做 圆柱 的 侧 面 ， CD叫 做 圆 柱 的 一 条 母 线 ， 圆 柱 的 两 个 底 面 间的 距 离 （ 即 AB 的 长 度 ） 叫 做 圆 柱 的 高 圆 锥 将 直 角 三 角 形 ABC（ 及 其 内 部

34、） 绕 其 一 条 直 角 边 AB所 在 直 线 旋 转 一 周 ， 所 形 成 的 几 何 体 叫 做 圆 锥 ；AB 所 在 直 线 叫 做 圆 锥 的 轴 ， 点 A叫 做 圆 锥 的 顶 点 ，直 角 边 BC旋 转 而 成 的 圆 面 叫 做 圆 锥 的 底 面 ， 斜 边 AC 旋 转而 成 的 曲 面 叫 做 圆 锥 的 侧 面 ， 斜 边 AC 叫 做 圆 锥 的 一 条 母线 ， 圆 锥 的 顶 点 到 底 面 间 的 距 离 （ 即 AB 的 长 度 ） 叫 做 圆锥 的 高 易 知 ， 圆 锥 有 无 穷 多 条 母 线 ， 且 所 有 母 线 相 交 于 圆 锥的 顶

35、 点 ， 每 条 母 线 与 轴 的 夹 角 都 相 等 球 将 圆 心 为 O的 半 圆 （ 及 其 内 部 ） 绕 其 直 径 AB 所 在 的直 线 旋 转 一 周 ， 所 形 成 的 几 何 体 叫 做 球 ， 记 作 球 O；半 圆 的 圆 弧 所 形 成 的 曲 面 叫 做 球 面 易 知 ， 点 O到 球面 上 任 意 点 的 距 离 都 相 等 ， 把 点 O称 为 球 心 ， 把 原 半 圆 的半 径 和 直 径 分 别 称 为 球 的 半 径 和 球 的 直 径 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 14

36、页 （ 共 22页 ）3、 几 何 体 的 表 面 积 ：（ 1） 直 柱 体 的 表 面 积 ： 直 棱 柱 的 侧 面 积 ：S ch侧 ， 其 中 h和 c分 别 是 直 棱 柱 的 高 和 底 面 周 长 ； 直 棱 柱 的 表 面 积 ： 2S ch 全 底 面 面 积 ， 其 中 h和 c分 别 是 直 棱 柱 的 高 和 底 面 周 长 ； 圆 柱 的 侧 面 积 ：2S rh侧 ， 其 中 r 和 h是 圆 柱 底 面 的 半 径 和 圆 柱 的 高 ； 圆 柱 的 表 面 积 ： 2=2 2S rh r 全 ， 其 中 r 和 h是 圆 柱 底 面 的 半 径 和 圆 柱 的

37、 高 （ 2） 椎 体 的 表 面 积 ： 正 棱 锥 的 侧 面 积 ：12S ch侧 ， 其 中 c和 h是 正 棱 锥 底 面 的 周 长 和 正 棱 锥 侧 面 等 腰 三 角 形 的 高 （ 也 称 斜 高 ） ； 正 棱 锥 的 表 面 积 ：1=2S ch全 底 面 面 积 ， 其 中 c和 h是 正 棱 锥 底 面 的 周 长 和 侧 面 等 腰 三 角 形 的 高 （ 也 称 斜 高 ） ； 圆 锥 的 侧 面 （ 扇 形 ） 积 ： =S rh 侧 ， 其 中 r 、 h分 别 是 圆 锥 底 面 半 径 和 母 线 长 ； 扇 形 的 半 径 是 圆 锥 的 母 线 ；

38、扇 形 的 弧 长 是 圆 锥 的 底 面 圆 的 周 长 ； 圆 锥 的 表 面 积 ： 2S rh r 全 ， 其 中 r 、 h分 别 是 圆 锥 底 面 半 径 和 母 线 长 ；注 意 ： 直 棱 柱 、 圆 柱 的 侧 面 积 公 式 统 一 为 S ch柱 ； 正 棱 锥 、 圆 锥 的 侧 面 积 公 式 统 一 为 1=2S ch锥 （ 3） 球 的 表 面 积 ： 24S r ， 其 中 r 是 球 的 半 径 4、 几 何 体 的 体 积 ：（ 1） 柱 体 的 体 积 ： 祖 暅 原 理 ： 约 在 公 元 前 5 世 纪 ， 我 国 数 学 家 祖 暅 在 研 究 “

39、 开 立 圆 术 ” 中 指 出 “ 夫 叠 棊 成 立积 ， 缘 幂 势 既 同 ， 则 积 不 容 异 ” 其 意 思 是 ： 体 积 可 看 成 是 由 面 积 叠 加 而 成 ， 用 一 组 平 行 平 面 截两 个 空 间 图 形 ， 若 在 任 意 等 高 处 的 截 面 面 积 都 对 应 相 等 ， 则 两 空 间 图 形 的 体 积 必 然 相 等 这 一论 述 被 后 人 称 为 祖 暅 原 理 棱 柱 的 体 积 公 式 ：V Sh棱 柱 ， 其 中 V棱 柱 、 S 和 h分 别 表 示 棱 柱 的 体 积 、 底 面 面 积 和 高 圆 柱 的 体 积 公 式 ：上

40、海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 15页 （ 共 22页 ）2V r h 圆 柱 ， 其 中 r 为 圆 柱 底 面 的 半 径 ， h为 圆 柱 的 高 （ 2） 椎 体 的 体 积 ： 等 底 等 高 的 棱 锥 的 体 积 相 等 ； 棱 锥 的 体 积 公 式 ：1=3V Sh棱 锥 ， 其 中 V棱 锥 、 S 和 h分 别 表 示 棱 锥 的 体 积 、 底 面 面 积 和 高 圆 锥 的 体 积 公 式 ：213V r h圆 锥 ， 其 中 r为 圆 锥 底 面 的 半 径 ， h为 圆 锥 的 高 （ 3）

41、球 的 体 积 公 式 ：343V r球 ， 其 中 r 为 球 的 半 径 5、 球 面 距 离 ：（ 1） 球 面 距 离 ： 在 联 结 球 面 上 两 点 的 路 径 中 ， 通 过 该 两 点 的 大 圆 劣 弧 最 短 ， 因 此 该 弧 的 长 度 就 是这 两 点 的 球 面 距 离 球 面 距 离 公 式 ： AB R ， 其 中 A、 B 为 球 O上 的 两 点 ， 且 AOB ， R 为 球 O的 半 径 （ 2） 纬 度 ： 某 点 与 地 球 球 心 的 连 线 和 地 球 赤 道 面 所 成 的 线 面 角 ， 其 数 值 在 0 至 90 之 间 位 于 赤道

42、以 北 的 点 的 纬 度 叫 北 纬 ， 记 为 N ； 位 于 赤 道 以 南 的 点 的 纬 度 称 南 纬 ， 记 为 S （ 3） 经 度 ： 过 地 球 上 某 点 与 南 北 极 的 大 圆 的 半 圆 与 本 初 子 午 线 所 在 平 面 所 形 成 的 面 面 角 按 国 际规 定 英 国 首 都 伦 敦 格 林 尼 治 天 文 台 原 址 的 那 一 条 经 线 定 为 0 经 线 ， 然 后 向 左 右 延 伸 而 各 地 的时 区 也 由 此 划 分 ， 每 15 个 经 度 便 相 差 一 个 小 时 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信

43、， QQ） ： 17521075874.第 16页 （ 共 22页 ）十 六 ： 排 列 组 合 与 二 项 式 定 理（ 一 ） 排 列 组 合1、 计 数 原 理 I 乘 法 原 理 ：如 果 完 成 一 件 事 需 要 n个 步 骤 ， 第 1 步 有 1m 种 不 同 的 方 法 ， 第 2 步 有 2m 种 不 同 的 方 法 ， ， 第 n步 有 nm 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 1 2 nN mm m 种 不 同 的 方 法 2、 排 列 ：（ 1） 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 ( )m m n 个 元 素 ， 按 照

44、 一 定 的 次 序 排 成 一 列 ， 叫 做 从 n个 不 同元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 排 列 （ 2） 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 ( )m m n 个 元 素 的 所 有 排 列 的 个 数 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元素 的 排 列 数 ， 用 符 号 Pmn 表 示 （ 3） 排 列 数 公 式 ： !P ( 1)( 2) ( 1) !mn nn n n n m n m 特 别 地 ， 当 n m 时 ， P !nn n （ 4） n的 阶 乘 ：! ( 1) ( 2) 3 2 1n n n n 易 得 1! 1 ， 2!

45、 2 ， 3! 6 ， 4! 24 ， 5! 120 ， 6! 720 3、 计 数 原 理 II 加 法 原 理 ：如 果 完 成 一 件 事 有 n类 办 法 ， 在 第 1 类 办 法 中 有 1m 种 不 同 的 方 法 ， 在 第 2 类 办 法 中 有 2m 种 不 同的 方 法 ， ， 在 第 n类 办 法 中 有 nm 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 1 2 nN m m m 种 不 同 的方 法 4、 组 合 ：（ 1） 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 ( )m m n 个 元 素 组 成 一 组 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个元 素 的 一 个 组 合 （ 2） 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 ( )m m n 个 元 素 的 所 有 组 合 的 个 数 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个元 素 的 组 合 数 ， 用 符 号 Cmn 表 示 上 海 数 学 培 优 孟 老 师 联 系 电 话 （ 微 信 ， QQ） ： 17521075874.第 17页 （ 共 22页 ）（ 3） 组 合 数 公 式 ：一 般 地 ， 对 于 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 排 列 数 Pmn ， 可 看 作 由 以 下 2