1、1平面向量的概念及线性运算知识点：1向量的有关概念名称 定义 备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线0 与任一向量平行相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算交换律：abb
2、a结合律：(ab)ca(b c)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则aba (b)数乘 求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0(1)(a)( )a；(2)( )aaa；(3)(a b)ab23.向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线选择题：给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量，则 ab；向量与 相等则所有正确命题的序号是( )AB BA A B C
3、 D 解析 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量 与 互为相反向量，故错误AB BA 已知下列各式： ； ； ； AB BC CA AB MB BO OM OA OB BO CO AB AC BD ，其中结果为零向量的个数为( )CD A1 B2 C3 D4解析 由题知结果为零向量的是，故选 B.设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a 0；若 a与 a0 平行且|a|1，则 aa 0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D
4、3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a| a0 的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a| a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.设 a0，b 0 分别是与 a，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )Aa 0b 0 Ba 0b01 C |a0|b 0|2 D|a 0b 0|2解析 是单位向量，|a 0|1，|b 0|1设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是( )Aa 与 a 的方向相反 Ba 与 2a 的方向相同 C|a|a| D|a| |a3解析 对于 A，当
5、 0 时，a 与 a 的方向相同，当 0 时，a 与 a 的方向相反，B 正确；对于C，| a|a|，由于|的大小不确定，故| a|与|a|的大小关系不确定；对于 D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小设 a、b 是两个非零向量( )A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则|ab| |a|b|C若 |ab|a|b|，则存在实数 ，使得 b aD若存在实数 ，使得 b a，则| ab| a| b|解析 对于 A，可得 cosa，b1，ab 不成立；对于 B，满足 ab 时|ab|a| |b|不成立；对于 C，可得 cosa，b1，成立，而 D 显然不一定成立如图，已知 a，
6、b， 3 ，用 a，b 表示 ，则 等于( )AB AC BD DC AD AD Aa b B. a b C. a b D. a b34 14 34 14 14 34 14解析 ab，又 3 ， (ab)，CB AB AC BD DC CD 14CB 14 b (ab) a bAD AC CD 14 14 34如图，在正六边形 ABCDEF 中， ( )BA CD EF A0 B. C. D.BE AD CF 解析 由题图知 .BA CD EF BA AF CB CB BF CF 如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点， a，A b，则AB C 4A ( )
7、D Aa b B. ab Ca b D. ab12 12 12 12解析 连接 CD，C ，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且 a， bCD 12AB 12 AD AC CD a12已知向量 a3b， 5a3b， 3a3b，则( )AB BC CD AA， B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线CA，C ，D 三点共线 DB，C，D 三点共线解析： 2a6b2(a3b)2 ， 、 共线，又公共点 B，A、B 、D 三点BD BC CD AB BD AB 共线设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. C. D. AD 13AB 43AC AD 13AB 4
8、3AC AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析 3 ， 3( )，即 4 3 ， .BC CD AC AB AD AC AC AB AD AD 13AB 43AC 设 D，E ，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 等于( )EB FC A. B. C. D.BC 12AD AD 12BC 解析 ( ) ( ) ( )EB FC 12AB CB 12AC BC 12AB AC AD 5在ABC 中， c ， b，若点 D 满足 2 ，则 等于( )AB AC BD DC AD A. b c B. c b C. b c D. b c23 13 53 23 23
9、 13 13 23解析 2 ， 2 2( )，BD DC AD AB BD DC AC AD 3 2 ， b c.AD AC AB AD 23AC 13AB 23 13设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于( )OA OB OC OD A. B2 C3 D4OM OM OM OM 解析 ( )( )2 2 4OA OB OC OD OA OC OB OD OM OM OM 已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2 2 ，则( )OP OA BA A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向
10、延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上解析 2 2 ，2 ，点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B.OP OA BA AP BA 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若 2 ， ，则 等于( )AD DB CD 13CA CB A. B. C D23 13 13 23解析 2 ，即 2( )， ， .AD DB CD CA CB CD CD 13CA 23CB 23在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合) ，BC CD 若 x (1x) ，则 x 的取值范围是( )AO AB
11、AC A. B. C. D.(0，12) (0，13) ( 12，0) ( 13，0)6解析 设 y ， y y ( )y (1y ) .CO BC AO AC CO AC BC AC AC AB AB AC 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合 )，y ，BC CD (0，13) x (1x) ，xy ，x .AO AB AC ( 13，0)已知 a，b 是不共线的两个向量， x ab， ayb(x，y R )，若 A，B，C 三点共线，则点AB AC P(x，y)的轨迹是( )A直线 B双曲线 C圆 D椭圆解析 若 A，B，C 三点共线， ，即 xab(ay b)Error
12、! xy1，故选 B.AB AC 设 a，b 不共线， 2apb， ab， a2b，若 A，B ，D 三点共线，则实数 p 的值为( )AB BC CD A2 B1 C1 D2解析 ab， a2b， 2ab.BC CD BD BC CD 又A，B ，D 三点共线， ， 共线AB BD 设 ，2apb(2ab)，22 ，p，1，p1.AB BD 已知平面内一点 P 及ABC，若 ，则点 P 与ABC 的位置关系是( )PA PB PC AB A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在ABC 外部解析 由 得 ，即 2 ，所以点 P 在线段 AC
13、PA PB PC AB PA PC AB PB AP PC AP PA AP 上已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 0，则ABC 的内角 A 等于( )OA OB OC A30 B60 C90 D1207解析 由 0，知点 O 为ABC 的重心，OA OB OC 又O 为ABC 外接圆的圆心，ABC 为等边三角形， A60.填空题：设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.若 1 2 (1， 2 为实12 23 DE AB AC 数)，则 1 2 的值为_解析 ( ) ，DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC 1
14、 2 ， 1 ， 2 ，故 1 2 .DE AB AC 16 23 12如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，则 _AB AD AO 解析 ABCD 为平行四边形， 2 ，已知 ，故 2AB AD AC AO AB AD AO 已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 a， b，则OA OB _， _(用 a，b 表示)DC BC 解析 如图， ba， ab.DC AB OB OA BC OC OB OA OB 已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与 (b3a)共线，则 _.解析 由已知得 ab k(b3a)，Error!解得
15、Error!已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式 ，则OA OB OC OD OA OC OB OD 四边形 ABCD 的形状为_解析 由 得 ， ，四边形 ABCD 为平行四边形OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD 8若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，则ABC 的形状为OB OC OB OC OA _解析： 2 ( )( ) ， ，OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC | | |，故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形AB AC AB AC 设点
16、 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 216，| | |，则| |_BC AB AC AB AC AM 解析 由| | |得， ，则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上的中线，AB AC AB AC AB AC | | | |2AM 12BC 在ABC 中，点 M，N 满足 2 ， .若 x y ，则 x_；y _AM MC BN NC MN AB AC 解析 ( ) ，MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12AB AC 12AB 16AC x ，y .12 16解答题：在ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB2GE，
17、设a， b，试用 a，b 表示 ， .AB AC AD AG 解 ( ) a b.AD 12AB AC 12 12 ( ) ( ) a b.AG AB BG AB 23BE AB 13BA BC 23AB 13AC AB 13AB 13AC 13 13设两个非零向量 e1 和 e2 不共线(1)如果 e 1e 2， 3e 12e 2， 8e 12e 2，求证：A、C 、D 三点共线；AB BC CD (2)如果 e 1e 2， 2e 13e 2， 2e 1ke 2，且 A、C、D 三点共线，求 k 的值AB BC CD 9(1)证明 e 1e 2， 3e 12e 2， 8 e12e 2，AB
18、BC CD 4e 1e 2 (8e 12e 2) ， 与 共线AC AB BC 12 12CD AC CD 又 与 有公共点 C，A、C、D 三点共线AC CD (2)解 (e 1e 2)(2e 13e 2)3e 1 2e2，A、C、D 三点共线，AC AB BC 与 共线，从而存在实数 使得 ，AC CD AC CD 即 3e12e 2(2e 1k e2)，得Error!解得 ，k .32 43专项能力提升设 a，b 不共线， 2apb， ab， a2b，若 A，B ，D 三点共线，则实数 p 的值是( )AB BC CD A2 B1 C1 D2解析 ab， a2b， 2ab.BC CD B
19、D BC CD 又A，B ，D 三点共线， ， 共线AB BD 设 ，2apb(2ab)，22 ，p，1，p1.AB BD 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点， a， b，则 等于( )AB AC AD Aa b B. ab Ca b D. ab12 12 12 12解析 连接 CD，由点 C， D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且 a，CD 12AB 12 b a.AD AC CD 12设 G 为ABC 的重心，且 sinA sinB sinC 0，则 B 的大小为( )GA GB GC A45 B60 C30 D1510解析 G 是ABC 的重心，
20、0， ( )，将其代入GA GB GC GA GB GC sinA sinB sinC 0，得(sinBsinA) (sinCsinA ) 0.又 ， 不共线，GA GB GC GB GC GB GC sinBsin A0，sinC sinA0，则 sinBsin AsinC 根据正弦定理知 bac，ABC 是等边三角形，则角 B60设 e1 与 e2 是两个不共线向量， 3e 12e 2， ke 1e 2， 3e 12ke 2，若 A，B ，D 三点共线，AB CB CD 则 k 的值为( )A B C D不存在94 49 38解析 由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 ，使得 .
21、AB BD 又 3e 12e 2， ke 1e 2， 3e 12ke 2，AB CB CD 3e 12 ke2(ke 1e 2)(3k)e 1 (2k1)e 2，BD CD CB 3e 12e 2(3k )e1(2k 1)e 2，Error!解得 k .94在 ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则 _(用 a，b 表示)AB AD AN NC MN 解析 由 3 得 (ab)，AN NC AN 34AC 34a b， (ab) a b.AM 12 MN AN AM 34 (a 12b) 14 14如图，经过OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q ，设m ， n ，m ，nR，则 的值为_OP OA OQ OB 1n 1m解析 设 a， b，由题意知 ( ) (ab)， nbm a， OA OB OG 23 12OA OB 13 PQ OQ OP PG 11 a b，由 P，G，Q 三点共线得，存在实数 ，使得 ，即 nbmaOG OP (13 m) 13 PQ PG a b，从而Error!消去 得 3.(13 m) 13 1n 1m
