1、1平面向量基础知识梳理一、向量的概念：有向线段： 叫做有向线段.向量： 叫做向量.向量通常用有向线段 或 表示.ABa向量的模：向量 的 又叫做向量的模，记作 .两个重要概念：零向量： 叫做零向量.记作 .注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的.单位向量： 叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.相等向量： 叫做相等向量. 向量 与 相等记作 .ab平行向量： 叫做平行向量. 向量 与 平行可记作 .规定： 与任一向量平行.即 ， ， .0 0aAB0共线向量： 叫做共线向量.注意：若 与 是共线向量，则 与 的方向 ，它们所在的直线 abab它们的夹角是 .
2、相反向量： 叫做相反向量.的相反向量是 ， 的相反向量是 ， 的相反向量是 .a a 0两个非零向量 和 的夹角： .ab二、向量的运算：向量的加法：向量 与 的和的定义：ab向量加法法则：三角形法则（请画图于右） + （首尾相连）ABC平行四边形法则（请画图于右） + （起点相同）向量加法运算律：交换律：2结合律：特例： = ， = ， = .0aa00向量加法的坐标运算：设 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ，则 = .bba向量的减法：向量 与 的差的定义：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作 +( )abababab= .b 是怎样的一个向量?答： .a向量减法法则
3、：设 = ， = ，aOAbB则 = - = .（请画图于右）.重要结论：设 ， 是两个不共线向量，则以 AB、AD 为邻边的平行BD四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.特例： = ， = ， = .0aa00向量减法的坐标运算：设 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ，则 = .bba实数与向量的积：定义：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如a a下：| |= ；a当 0 时， 的方向与 的方向 ，当 0 时， 的aa a方向与 的a方向 ；当 =0 时， = .a运算律：（ ）= ；（+） = ；（ ）a a ba= .实数与向量的积的坐标运
4、算：特例：若 R，则 = .0O ABA BD3向量的数量积（或内积）：定义：已知非零向量 和 ，它们的夹角为 ，则 = .ab ba运算律： = ；（ ） = = ba a；（ + ） = .ac注意：向量的数量积没有结合律！特别地， = ，或| |= .a a向量的数量积的坐标运算：设 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ，则 = .abba特例： = ， = .00三、重要定理、公式及方法：平面向量基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 有且1e2 a只有一对实数 1、 2，使 = 1 + 2 .ae向量模的计算公式：设 =（x，y） ，则
5、| |= .a如何证明 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） 、C（x 3，y 3）三点共线？两个向量平行、垂直的充要条件：充 要 条 件大 前 提向 量 表 示 坐 标 表 示平 行=(x1，y 1), a=(x2，y 2),b且 0 ab ab垂 直=(x1，y 1), a=(x2，y 2),b且 、 a0b ab ab注意：若不考虑上面的大前提，则4向量 =(x1，y 1),和 =(x2，y 2)平行的充要条件是 x1y2-x2y1=0.ab向量 =(x1，y 1),和 =(x2，y 2)垂直的必要不充分条件是 x1x2+y1y2=0.已知向量 =(x1，y 1),和 =(x2，y 2)，它们的夹角为 ，则 cos= .ab线段的中点坐标公式：已知 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则线段 P1P2的中点坐标是 .三角形的重心坐标公式：设ABC 三顶点的坐标为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则ABC 的重心 G的坐标是 .
