几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图.doc

1、几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图作者：admin 文章来源：本站原创 点击数：366 更新时间：2008-2-2 几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图作者：李莹 文章来源：本站原创 点击数：289 更新时间：2006-11-27 文章属性： 用几何画板做圆锥曲线的三合一一、椭圆1. 作圆 O，使 O 在直线 l 上，半径为任意长；2. 作出圆 O 与直线 l 的的交点 A，B（A 在左） ，作线段 OB，在线段 OB 上任取一点，G ，作线段 CG 的中垂线m；3. 作直线 OG，OG 交 m 于 M，设定 G 为圆 O 上的动点，并在圆 O 上运动，则点 M 的轨迹即为椭圆。如图（1）其中：

2、OM+MC=OG（OG 为定值，且为圆 O 的半径）O、C 为焦点，OC 为焦距 2c，OG 为长轴 2a二、双曲线1. 同椭圆 1；2. 在点 A 的左边取点 E，连 EG，作线段 EG 的中垂线 n 交直线 l 于点 N；3. 追踪点 N，则点 N 随 G 在圆 O 上运动而运动，N 的轨迹即为双曲线其中：E、O 为焦点，OG 为长轴，NG-NO=OG 为定植。如图（2）三、抛物线1. 同双曲线 1；2. 在 E 的左边取点 F，作 l 的垂线 GP，交 l 于 P，作线段 PF，3. 以点 O 为圆心，PF 长为半径，作圆 O，交 GP 于 Q、R 两点，4. 分别追踪点 Q、R，则 Q

3、、R 的轨迹为 G 在圆 O 上运动而运动产生的轨迹，即抛物线。如图（3）其中：过 F 且与 l 垂直的直线为抛物线的准线。几何画板构造圆锥曲线 2008-10-01 15:43分类：默认分类 字号： 大 中 小 Copyright by LhfcwsCopied from http:/Helped by PestJust for fun.可以说算是拓展的新定义。如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3

4、、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。根据定义，我们需要确定的两个点 O1,O2 以及一个动点 P。O1P+O2P=k（k 为常数）。如上图，作一个圆 O1，取圆内一定点 O2，取圆上一动点 M。连结 O1M，O2M。作 O2M 中垂线L，交 O1M 于点 P。追踪交点 P。当 M 在圆上移动一周时，点 P 运动轨迹为一个椭圆。直线 L 刚好与椭圆相切。证明：其实很简单。作圆的目的就是为了能够找到一个定值 k，而此时，k=r。连结 O2P，根据中垂线定理， O2P=MP，又因为 O1P+MP=r，所以 O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。

5、2、双曲线和椭圆一样。根据定义，我们需要确定的两个点 O1,O2 以及一个动点 P。O1P-O2P=k（k 为常数）。如上图，作一个圆 O1，取圆外一定点 O2，取圆上一动点 M。连结 O1M，O2M。作 O2M 中垂线L，交 O1M 于点 P。追踪交点 P。当 M 在圆上移动一周时，点 P 运动轨迹为双曲线。直线 L 刚好与曲线相切。证明：其实也很简单。根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。所以 O2P=O1P+r，即 O2P-O1P=r=k。回到双曲线定义，证毕。可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆

6、，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。为方便阐述，故将图像放至直角坐标系里。原点为 O。y 轴上取一点 M，在 X 正半轴上找到 F 使FO=MO。过 M 作 y 轴垂线 L。连结 MF，作 MP 中垂线 Z。L 交 Z 于点 P。在 y 轴上移动点 M，P 的运动轨迹为抛物线。证明：就是保证 PL 垂直于准线 y 轴，利用中垂线定理保证 PL=PF，从而是定义成立。用几何画板作圆锥曲线统一定义的代数作法用几何画板作圆锥曲线统一定义的代数作法昆明*：阳光圆锥曲线在直角坐标系中，不同的圆锥曲线对应着不同的方程。但在极坐标中，有统一的方程，我们能作出它的统一的图像吗？其方程为（

7、极坐标中的方程式：）在几何画板中，我取得了成功。思路如下：首先是构建出极坐标系，给定动态的 e、 和 p，根据其方程： ，在几何画板中用代数的方法作出图形。作图步骤如下：1、 打开几何画板。在“显示”菜单中选择“参数设置”将选项“自动选择标签”下的“P 点”勾选；将“A 角度单位”下的“选择成弧度”勾选“确定”返回主界面。2、 在“图表”菜单中选择“网格形式”下的“极坐标(r，theta)”；然后在“图表”菜单中“建立坐标轴”。3、 用“文本编辑”工具双击标签 A，将 A 改成 O，将点 B 隐藏。4、 用“画线”工具“画出线段 CD”，在 CD 上取点 E，同时选中 C、D 两点。选择“作图

8、”菜单下的“线段”。5、 用“选择”工具同时选中 C、E 点。 在“度量”中选择“距离”；同理“度量 E、D 距离”。6、 用“选择”工具双击 CE 调出“计算器”点击“CE”、“/（除号）”、“ED”、“确定”退出。7、 用“文本编辑”工具双击“CE/ED”弹出“度量值格式”，勾选“文本格式”；将标签 CE/ED 改成 e.（同时将 CE、ED 度量值（“显示”菜单下的）“隐藏”）。8、 用“画线”画出“线段 FG”，在“度量”菜单下选择“长度”，类似步骤 7，将标签 FG 改为 p。9、 用“画线”工具“画出线段 HI”，同时选中点 O，点击“作图”菜单中的“以圆心和半径画圆”（同时将 H

9、I 隐藏）；用“选择”工具选中圆 O 在“作图”菜单下选择“对象上的点 J”，得到 J 点。10、用“选择”工具选择右边的圆和极坐标轴的交点（单击得到点）K（注意左下角的提示：选择交点。），顺次选择“点 K”，“点 O”，“点 J”，在“度量”菜单下选择“角度”得到“KOJ 的弧度”。同理将KOJ 改成 。11、以下的工作就是计算了。双击“e”调出“计算器”对话框。用“选择”工具顺次点击“e”，“*”，“p”，“/”，“(”，“1”，“”，“e”，“”，“函数”栏中的“cos”，“”，“)”，“”“确定”退出“计算器”，将产生的“ ”标签改为标签 。12、用“选择”工具顺次(只)选中 ，。在“

10、图表”菜单中“按(r，theta)绘制”，得到点 M，（如果看不到，用“选择”工具移动 K 点，直到看到 M 点）。同时选择 K，M 点，在“作图”菜单中选择“轨迹”（如果效果不好，用“对象信息”工具双击“轨迹（曲线）”，弹出“轨迹 M 信息”，将“轨迹上的点”改成适当的数如：100，最大为 999）。 13、隐藏圆 O，点 K，点及线段 HI。14、用“选择”工具拖动“点 E”，观察轨迹的变化。用“选择”工具拖动“G点”，观察轨迹的变化。我们可以明显的看到：(1) 拖到 E 点，改变 e 的大小。E 在不同范围内变化时分别得到椭圆，双曲线，抛物线。当 0e1，改变 e 的大小，得到不形状的椭

11、圆。e 越小，椭圆越接近于圆。e 越大，椭圆越扁。 当 e1 时，改变 e 的大小，得到不形状的双曲线。e 越大，双曲线开口越阔。当 e1 时，得到抛物线。 (2) 拖到 G 点，可以改变 p 的大小，可得到离心率相同的不同形状的同类曲线。当然，我们可以追踪 M 点，拖到 K 点，看看点 M 在不同的大小 e 下，轨迹是什么样子。最后给出 M 点的轨迹。用几何画板构造椭圆（五） 用几何画板演示圆锥曲线的统一定义 解忠良 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数 e 的点的轨迹，当 0e1 时是椭圆；e1 时是双曲线；e1 时是抛物线。而

12、且这三种圆锥曲线有统一的极坐标方程。下面，我们就用几何画板演示圆锥曲线在极坐标系中的统一定义。1 建立坐标轴。2 根据坐标（5，5）、（5，5）画点，得到点 C、D。3 构造线段 CD，并在 CD 上构造点 E。4 测算 CE、DE 的距离。5 计算 的值，并用 e（离心律）表示 的值。6 画点（3，0），得到点发 F。7 过点 F 作 x 轴的垂线（准线）。8 测算 AF 的距离，并用 p 表示。9 在 y 轴上构造点 G。10 以 A 为圆心，AG 为半径作圆。11 在圆上构造点 H。12 修改坐标形式为极坐标。13 设置参数，把角度单位修改为弧度。14 测算点 H 的坐标。 15 求出点

13、 H 的极角，并用 表示。16 计算 的值，并用 表示。17 修改格栅格式为极坐标。18 先后选中 ， 的值，并以其为极坐标画点，得到点 I。19 同时选中点 H、点 I，构造轨迹。20 在线段 CD 上拖动点 E，改变离心律 e 的值，可观察到点 I 的轨迹在椭圆、抛物线和双曲线之间变化（如图 13 所示）本文中的课件均用几何画板 40制作完成，其源程序可在 http/kl12server 126com 下载。图 1 01 时的图形用信息技术研究圆锥曲线的多种画法日照市莒县二中 张玉锋人教社 B 版教材体现着课标理念，更加贴近学生实际。为让教材与信息技术结合，编委们精心制作了大量的课件，方便

14、了教师上课，激发了学生学习的兴趣，在课件的演示中，变的简单、直观、易懂，提高了教学效率。必修 4 正弦函数 的图象部分，由范登晨、伊红旗、张万祥三位老师共同用几何画板制作的课件，就非常形象、生动、直观。课件的界面上，有许多可以改动的参数，学生更加明确改动参数后的图象。课件还设置了变换、还原按钮，容易操作。图象变换的课件，设置了三个按钮 A 变、 变、 变，学生能形象直观地看出图象的演变过程，从而很容易地解决了教学中的难点“先周期变换与先相位变换的区别。”受此启发，学生也学会了制作课件。圆锥曲线可以说是中学数学教学中的经典内容，此部分具有内容多，联系性强等特点，学生一般不容易搞清楚，不过这也是考

15、察学生思维能力，开发学生创造力的极佳内容。著名数学教育家波利亚曾说：“在数学里，能力指的是什么？这就是解决问题的才智我们所说的问题，不仅仅是寻常的，他们还要求人们具有某种程度的独立见解，判断力，能动性和创造精神。”以下是我们师生在课上利用几何画板画椭圆进行的一些探索。利用几何画板来画椭圆，一般可以利用代数法或利用课本上的“同心圆法”来构造。这儿就不细述了。有的同学在掌握了简单的方法后又根据椭圆的定义用几何法来构造椭圆。构造圆，圆心 F ；构造一自由点 。构造一自由点 A；构造直线 AF，线段 A 。构造线段 A 的垂直平分线 L，并与直线 AF 交于 O 点由 A 点和 O 点构造轨迹。构造动

16、画使 A 点沿圆运动。分析：由线段垂直平分线的性质和对定圆其半径为定值可知 OF+O =R=const。所以 O 为椭圆上一点。深入：通过点 A 的动态运动，观察椭圆与直线 L 的位置关系，可以推测线 L 是椭圆上过点 O 的切线。验证：据椭圆面镜光学特性(焦点发出的光线经椭圆面镜反射会聚另一焦点)。可以过 o 点作直线 L 的垂线N（即法线），双击线 N:做 F 点的像点 ;连接 O 。结论：可以发现线 O 经过点 。一方面说明线 L 为椭圆 O 点的切线；另一方面说明椭圆的特殊光学特性，这二者是相互证明的。同时我们可以得出 这样一个结论：以定长（椭圆上的点到两焦点距离和）为半径，以焦点 F

17、 为圆心做圆，另一焦点 与圆上任意一点连线的垂直平分线即为椭圆的一条切线。这样的结论在书本上是找不到的，又是学生们亲自参与得出的。再探索：当 点拖到圆外时，此时构造的轨迹是双曲线。通过分析可知，此时恰又满足双曲线 的定义（到两定点距离差为常数的点的轨迹）；同样线 L 仍可证明为双曲线的点 O 的切线；同样可以证明双曲线的椭圆的特殊光学特性（一焦点发出的光经双曲线面镜反射，反射光线延长线会聚另一焦点）。简单的将点 移动到圆外情况就大不相同。然而双曲线的结论又和椭圆有着惊人的相似。在兴奋的欣赏这“和谐美”之余，除了对几何画板“动态几何”的特殊形式表示惊叹外，不能不对自己的想法表示惊讶。“人人是创造

18、之人，实施是创造之时，处处是创造之地。”另外有些同学还可根据圆锥曲线的统一定义（到定点与定直线距离之比为常数 e 的点的轨迹）来构造椭圆。也不失为一种好方法。制作一调数棒。（e 为两线段的比例数，通过调节动点用来控制 e 的大小）做定点 O，定直线 L；过点 O 作线 L 的垂线 ；构造 上的动点 D； 过点 D 作线 L 的平行线 测算两平行线间的距离 d；标识距离 d*e，按标识距离 d*e 平移定点 O 到 ；以定点 O 为圆心 O 为半径作圆 C1。使线 交动圆 C1 为 A 和 两点；轨迹跟踪点 A 和 。作动画使点沿线 运动，此时轨迹跟踪给出椭圆图形。亦可选定 A 和点 D 来构造

19、轨迹。选定点 和点 D 来构造轨迹。分析：此法利用两平行线间一条直线上任意点到另一条直线距离相等；圆上任意点到圆心距离相等的几何关系来构造椭圆的。尽管构造出的椭圆的平滑度不尽人意，但仍不时为利用几何构造椭圆的一妙法。又及：通过调节“调节棒”来改变 e 的值，同样可以得到双曲线，抛物线。对于 e 的数值与圆锥曲线的关系一目了然。通过一段时间的探索，我们觉得几何画板不仅可以很好的帮助学生理解他们所学的数学物理知识，而且可以灵活的变通，帮助学生理解各部分知识之间的联系。同时对于以抽象见称的数学亦可以以“实验”的形式进行。这不仅符合学生的认知过程，而且有利于培养学生独创精神。同样可以利用一些实际问题得

20、数学本质，把一些具体物理过程转化成“理想实验”，在几何画板下进行。我们用几何画板处理这样一个模型，也就是一定长杆（长度一定的直杆）沿光滑墙面下滑的几何模拟过程。（在这样一个问题的处理上，许多学生给出自己的方案，仅仅为说明有关椭圆问题，恕不全部列出，下面仅给出其中的一种方案）构造相互垂直的直线 L 和 ，且交点 P（用来表征墙，为直观可适当形象化，略）。构造 L 上的点 R，连接 PR；再构造线 L 的点 O，以 O 为圆心，PR 为半径构造圆 C，且交线 于点 ，连接 O 。选定线 PR，点 O 构造动画使点 O 水平运动。通过上述操作，双击“动画”按扭即可模拟定长杆的的沿墙滑动。然而问题远不

21、仅仅如此。学生还可以在这个软件上研究杆上任意一定点在杆的沿墙滑动过程中的轨迹问题。构造杆（线 OP）上一点 A，选定点 A，轨迹跟踪点；双击动画按扭。选定点 A 和点 O，构造轨迹。由鼠标拖动点 A 并观察轨迹的形状变化。构造圆锥曲线的方法不下数十种，这里就不一一尽述了，但有一种方法却叫人耳目一新。在和学生张传锟一起探讨李萨如图的构造方法时，无意中对椭圆的构造有了物理的思路。由物理波的叠加知，相同频率的互成任意角度的波的叠加是椭圆（0，180 度除外）。本文来自: 课件下载论坛(http:/ 详细出处参考：http:/ 优化学生思维226006 南通高等师范学校 顾新辉几何画板 （TheGeo

22、meters Sketchpad）是美国 Key Curriculum Press 公司制作的优秀教育软件，是传统几何尺规作图的延伸，它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换（包含平移、旋转、缩放、反射及迭代） 、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等“复合运算”，显示或构造出较为复杂的图形，为学生创造一个进行几何“实验”的动态环境，让学生任意拖动图形，观察图形及相关数据的变化，猜测和验证结论。因而借助几何画板 ，可以积大地调动学生的积极性、主动性和创造性，进而优化学生思维。本文试从如下几个角度加以阐述。 一一题多解，拓展思维1.1 构造椭圆平面解析几何中，对椭圆的研究占有极其重要的地位

23、，不仅因为它的图形美观，和谐，而且在生活中的应用也比较广泛。从而在介绍完圆锥曲线后，让学生借助几何画板软件，构造椭圆，方法多多益善。经过整理，得到十多种方法，主要有定义法（第一定义和第二定义） 、同心圆法、单圆法、双圆法、三角形法、包络线法、切线法、参数方程法、直接构造函数法等（图一是几个示意图，详见网址 ，大大拓展了学生的思维。同时还可以让学生设法推导它的方程，或者思考能否把相应方法作适当调整得到双曲线等。单圆法 包络线法 切线法图一1.2 作已知线段的三等分点给定线段 ，让学生借助几何画板 ，作出三等分点。AB学生一般给出如下两种方法：法一，与初中作法相似，具体见图二所示。法二，直接用缩

24、放功能，以点 为缩放中心，把点 以 为缩放比缩放。而后，我介绍一种通过矩形B13法构造三等分点：如图三，过点 作线段 的垂线，在垂线上任取一点 ，以AD为邻边构造矩形，连接对角线，交点记为 ，过点 作线段 的垂线，垂足ABD、 OAB为 ，连接线段 交对角线 于点 ,过点 作线段 的垂线，垂足为 ，则点ECFG即为一个三等分点。事实上，此法是美国两位中学生 David Goldenheim 和 Dan LitchfiledG构造“任意等分线段”的特例。进而引发学的探究欲望，纷纷寻找方法进行证明。图二 图三二多题一解，整合思维圆锥曲线统一定义构造圆锥曲线圆锥曲线的统一定义是：平面内到一定点 和一

25、条定直线 的距离之比（记为 ）是Fle一个定值的点的轨迹，当 时，是椭圆，当 时，是抛物线，当 时，是双01e1e1曲线。制作要点：1 先画定点 和定直线 。Fl2 新建参数 （圆锥曲线的离心率） ，初值设为 2。e3 过点 作直线 的垂线，在垂线 上任取一点 ，度量 的长度，以 为圆心，以llNF为半径画圆，N4 计算 的值，以此为标记距离，将 按“直角坐标”平移，水平方向按“标记距离”Fel平移，垂直方向平移距离为 0，得到直线 ，作出直线 与圆的交点l5 把 标记为镜面，直线 反射得到 ，拖动点 ，使它与圆有交点lllN6 追踪四个交点，改变参数 的值，即可得到相应轨迹。图四即为 时的图

26、形。e 0.8,12e动态改变 值可以看出曲线类别的变化，还可以考察它对相同类别的图像的影响。e图四用圆锥曲线统一的极坐标 的形式也可以画出圆锥曲线。(0)1cosep制作要点：1 把坐标系改为极坐标系2 新建参数 （圆锥曲线的离心率） ，新建参数 （焦点到准线的距离） 。2e3p3 绘制新函数 ，1cosp说明：因为此时极点与圆锥曲线的焦点重合，可以调整 来得到不同的圆锥曲线，e、进而可以研究许多圆锥曲线的统一性质，尤其是过焦点弦的有关问题【只要添上第 4 步：新建参数 ，初值设为“ ”，计算 ，画点 ；计算 ，1t501()t1(),At1180,()tt画点 ；连接线段 ，则得到焦点弦

27、】 。如过圆锥曲线的焦点1(8),)BtBB的一条直线与这曲线相交于 两点， 为 相应准线上一点则直线FA、MF的斜率成等差数列。又如：圆锥曲线过焦点的直线被焦点分成长为AM、的两部分，则 。,mn12nep三变换条件，激发思维平面内到两定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹是椭圆。在双12F、 12|F曲线的引入时，启发学生思考平面内到两定点 的距离之 差等于常数（小于 ）12、 12|F的点的轨迹是什么？让学生借助几何画板制作，发现只是双曲线一支，进而让学生补充完整双曲线的定义。继续激发学生思考：平面内到两定点 的距离之积（或商）等12、于常数的点的轨迹是什么？如果使用传统的黑板加粉

28、笔作为工具，很难画出或想象出它的形状。而在几何画板软件环境下，只要稍作修改，就可得到相应图形。如图五，如图六分别是积、商等于常数的点的轨迹之一。对应圆锥曲线的第二定义也可激发学生变换条件，平面内到一定点 和一条定直线F的距离之 和、差、积 是一个定值的点的轨迹又是什么？详见文 1l图五 图六四自设条件，创新思维自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似，如海岸线、浮云的边界等，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线。如果让学生自己创设条件，借助几何画板中的迭代或带参数的迭代，构造新的分形图案，则能很好地培养学生的创造性，如

29、曼德布罗特集，谢宾斯基三角形，树叶（图七）等。再如借助迭代功能构造长度为 的线段（如图八中线段n）以及第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案（如图九）123OA、，都是富有创意的制作。学生的思维一发不可收拾，又构造出蜗牛、漩涡、玫瑰花、蜘蛛网、海螺背影等精美图案（详见网址 谢宾斯基三角形 树叶图七图八 图九当然，借助几何画板还可以培养学生的极限思维，化归思维等等，在此不一一列举。学生在几何画板软件的帮助下，轻松愉快地进行学习、思维可以自由地驰骋、灵感不断地闪现。平面解析几何的学习就像一幅慢慢舒展的花卷，不断吸引学生去欣赏、去探索。参考文献1 顾新辉. 用“几何画板”制作平面内到

30、定点与定直线的距离之和差积商是定值的点的轨迹. 信息技术与课程整合中学数学. 2005.22 顾新辉.几何画板新版中的迭代与带参数的迭代应用. 信息技术与课程整合中学数学. 2004.43 张小斌. 谈谈圆锥曲线的几个定值. 数学通报. 2002.7圆锥曲线和直线的交点的几何构造（拓展：代数构造）如图：直线 GE 是过平面任意一点 G 和椭圆上任意一点 E，求作直线和椭圆的交点 F在几何画板 4.04 中，不能直接找出直线和椭圆的交点，（很使熟悉几何画板的老师恼火）这里通过代数和几何的思路找出直线和椭圆交点的一般方法。我们先考虑一下常规方法，即代数方法一、 思路分析以椭圆的中心为原点，焦点所在

31、直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 E 的坐标为（x 1，y 1），直线 GE 的方程为 yk（xx 1）y 1，椭圆的方程为 。它们联立，消去 y。由于此方程必有一个根 x1，由一元二次方程根与系数的关系得到另一个根 ，则 ，从而绘出点（ ）即 F二、操作步骤1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点） 建立直角坐标系画点 D，B，D 点在 x 轴上，E 点在 y 轴上对点 D 作反射变换（ y 轴）2）画椭圆 单击【自定义工具】单击【Conics 】Ellipse by FociPoint依次单击点 D、D、B；把点 D，点 D 的标签改为 F1、F 2，3）画直线 GE 点 G 为任一点，点

32、 E 是椭圆上一点。4）度量并计算 度量点 E 的坐标；度量距离（点 B，点 F2），并将其标签改为“a” ；度量距离（点 O，点 F2），并将其标签改为“c”；计算 并将计算的结果的标签改为“b”；度量斜率（直线 GE），并将其标签改为 “k”5）计算作为横纵坐标的值 计算 ，并将其标签改为 “xF”；计算 ，并将其标签改为“y F”6）绘点 F（x F ，y F）这里所介绍的的代数方法，它依赖于坐标系，当直线 GE 垂直于 x 轴时，k 未定义，点 F就消失了。从而使作图不具一般性。尤其是一大堆的计算，很化时间，耐心不好的老师，恐怕做不下去。那有没有简单的几何构图呢？当然有！那就是巧妙的几

33、何构造一、思路分析先请了解一下椭圆弦的几何性质。（最好理解这个性质，直线和圆锥曲线的关系作图，大多用到它）如图：EF 是椭圆的弦，其延长线交准线于 P，FF1 的延长线交准线于 Q，则 F1P 平分QF 1E。想一想：如果已知 P、E、F 1,你能否作出点 F？如果您注意到点 F 是两条直线的交点，只要作 E 关于直线 QF1 的对称点 E，则直线 PE 和直线 EF1 的交点就是 F。我们就用这样的想法来构造直线与椭圆的交点。二、操作步骤：1）画椭圆 建立直角坐标系画点 D，B，D 点在 x 轴上，E 点在 y 轴上对点 D 作反射变换（y 轴）单击【自定义工具】单击【Conics 】Ell

34、ipse by FociPoint依次单击点 D、 D、B ；把点 D，点 D 的标签改为 F1、F 2，2）画直线 GE E 为椭圆上一点3）画椭圆的准线 度量距离（点 F2，点 O）、（点 B，F 2），并把度量结果的标签分别改为“c” 和 “a” 计算 画圆（O, ）。圆与 x 轴交于 R 点画垂线（R ，x 轴）；隐藏圆4）画直线 GE 与椭圆的另一交点 画线段 F1P，点 P 是直线 GE 和准线的交点对点 E 作反射变换（线段 F1P）画直线（E，F 1）画交点 F（直线 GE，直线 EF1）说起来麻烦做起来易，你熟悉几何画板并理解作图原理的话，做出交点 F，不会要 2 分钟。三、

35、拓展研究利用这个图形，可以研究弦 EF 中点 G 的轨迹，作 E 点的动画并跟踪 D 点，得下图拓展之二：线段 EF 上任一点的轨迹圆锥曲线的切线（几何构造）已知圆上一点和圆外一点作圆的切线，对熟悉尺规作图的您应该是小菜一碟，我们把这问题推广一下，把圆推广到圆锥曲线，又如何作它们的切线。这里仅以椭圆为研究对象，其它类似可以作出。问题一 过椭圆上一点作切线一、制作效果如上左图，拖动 F 点，F 点在圆上运动，直线始终也椭圆相切二、思路分析倘若单击菜单【显示】“显示所有隐藏”，您会发现切线是根据椭圆的光学性质构造出来，即如果把椭圆的内壁当一面理想的镜子的话，从焦点出发的光线，经椭圆反射后，通过另一

36、个焦点。入射光线和反射光线能确定，则其法线（F 1FF2 的角平分线）能确定，当然切线（法线过反射点 F 的垂线）也确定了。噫！椭圆是如何画出了的，椭圆是用几何画板自带的工具画出来的，其自定义工具时，隐藏的对象不能再显示了，除非改变其对象的属性。三、操作步骤1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点） 建立直角坐标系画点 D，E，D 点在 x 轴上，E 点在 y 轴上对点 D 作反射变换（ y 轴）2）画椭圆 单击【自定义工具】单击【Conics 】Ellipse by FociPoint依次单击点 D、D、E3）画切线 画点 F 点 F 在椭圆上画DFD 的角平分线画垂线（F，角平分线）4）简单修

37、饰，隐藏不必要的对象 如上右图四、拓展研究类似的可以画出双曲线、抛物线上点的切线，读者可以自己试一试问题二 过椭圆外一点，画椭圆的切线一、 制作效果如图：拖动 P 点，过 P 的两条直线始终和圆相切，P 点在椭圆内部时，切线消失二、思路分析单击菜单【显示】“显示所有隐藏”，这个图形能否让您联想到由包络线构造椭圆，包络线实际上就是椭圆的切线。由 H 点容易画出两条切线，从而画出 P。现在请您倒过来想，由 P 点能否画出点 H，从而画出包络线？如果在画出椭圆的基础上，得构造辅助圆，想一想，这两圆的圆心和半径分别是什么？三、操作步骤1）用自定义工具仿照上例画出椭圆，度量 EF1，EF 2 并计算 E

38、F1EF 2 （辅助圆的半径）如下图：2）画点 P 点 P 是椭圆外一点3）画圆（F1，EF 1EF 2）；画圆（ P，F 2）两圆相交于 H，G4）画中点 画线段（H，F 2）（G ，F 2）画中点 I（线段 GF2）；画中点 J（HF 2）5）画切线 画直线（P，I）和（P，J）6）隐藏不必要对象。四、拓展研究1）您能否画出图中的切点？2）应用这种作图思路（包络线）您能否相应作出双曲线、抛物线的切线？关于截面截面的精确做出应该是画法几何里面的一些常见的题目,应用几何画板把一些过程动态化,可以给这些方面带来很大的改观。我们的做法主要是基于下面的定理：Desargues 定理 : 若两个三角形

39、对应的顶点的连线共点，则对应边所在直线的交点共线，其逆也真。这个定理的适应范围很广，不仅在平面内成立，而且对于空间也成立，作为空间的情况在立体几何中常作为习题出现在参考书中，我们只应用其结论，不给证明。特别的，定理还包含平行的情况，认为是交于无穷远点。那么，应用定理来处理“求作通过不在一条直线上的三个已知点确定的平面与已知几何体的截面”就可以应用定理而采取以下步骤：1 先由三角形 PQR 作关于某平面 上的投影（平行投影或中心投影）得三角形P1Q1R1,求出 PQR 确定的平面 与平面 的交线 l。2 再作立体的表面与平面 的交线得截面图形。我们可以依此作出平面截对顶圆锥的交线得到圆锥曲线。先

40、画出对顶圆锥：（1） 画出一个椭圆，在椭圆上取一点 A，并画出这一点关于椭圆中心的对称点 A。（2） 从椭圆中心 O 引出一条线段 OO1，以 OO1 所在直线作为对顶圆锥的对称轴。OO1 的中点记为 S，即为对顶圆锥的顶点。（3） 将 A沿着向量 OO1 做平移，用得到的点 A1 与 A 作轨迹得到另一个椭圆，连接A 与其在另一个椭圆上的对称点 A1。得到对顶圆锥的基本构架。再构造平面 与椭圆所在的底面 的交线。（1） 在一个椭圆上取出 P1、Q 1、R 1 三点，连接三点构成一个三角形。作 P1、Q 1、R 1三点关于 S 的中心对称点，定在另一椭圆上，连接 P1、Q 1、R 1 与其在另

41、一椭圆上的镜像点，得到了三条母线。在母线上取 P、Q、R 三点，连接 P、Q、R 构成一个三角形。（2） 我们可以应用 Desargues 定理了，将对应的边的连线交点画出，P 1Q1 PQ=R0,P1R1 PR=Q0,Q1R1 QR=P0,则三点共线，画出这条线。构造截面图形。（1） 我们用构造母线的方法再构造一条母线 BB1，这条母线与平面 的交点的轨迹即为圆锥曲线。（2） 连接 B 与 P1（或 Q1、R 1）与 l 交于一点 G，连接 P、G 交 BB1 于 M，M 即为平面 与母线 BB1 的交点，选取 B，M 做轨迹，就可得到圆锥曲线了。图中可以任意移动 P、Q、R 三点，可以得到

42、不同截面下的各种圆锥曲线。本结论的特情况曾在中学数学教学参考上所讨论的，即在某一平行与两底面的截面 （截得的交线为圆，平面图形为与底面离心相同的椭圆）上先画出两个点 Q(Q1)、R(R 1)，显然也就是 R0、Q 0 点，连接 QR 所在的直线为 l，再取两点 P1、B 在平面 (即椭圆) 上，作出过 P1、B 的母线，P 为 P1 所在母线上的任意点，连 P1、B 所在直线与 l 交于一点 G，连接 P 与 G 连线，交 B 所在的母线即为 M, 点取 B，M 做轨迹，就可得到圆锥曲线了。虽然方法简明，但思路并不是很明确，按本文这样扩展有很清晰的思路和牢固的理论根据，也会有更广的适应性，似乎

43、更为恰当。 另，对于动态演示一些截面图形的连续变化效果，用这一定理也有很好的效果。如我们讨论作过正方体一顶点 A 且平行于 BD 的平面 截正方体所得不同的截面图形。这么明显的效果，其技巧不过是用 Desargues 定理来实现。（1） 画出一个正方体，标记顶点 A，画出 CC1 所在的直线，并在 CC1 上取一点 P，平面 通过 P、A 点。先来确定 与底面 的交线，我们用 C1 和 P 重合的时特殊情况来处理，因为此时一定过 BB1 与 DD1 的中点，连 C1 与 BB1 的中点与 CB 交于 Q，连C1 与 DD1 的中点与 CD 交于 R，连 P、R 一定过 A 点。即为交线 l。（

44、2） 保证 P 在 CC1 上，从 Q 点可以连 P 点交 BB1 于 E，E 是截面上的一点，同理得到 DD1 上的一点为 F。连接 PEAF，得到图 3。（3） P 在 CC1 外时，直接可以得到与 C1B1、C 1D1 交点连线即得图 2 的情况。（4） 需要说明的是，此时还保留着四边形 PEAF，可以用这样的方法来处理，保证 P 在 CC1 上，连接 A 与 P 做直线，同时选中 CC1 线段，作交点，虽然这个交点仍为 P，但运动范围不会超出 CC1，利用其做出时是选中状态，按 Shift 键点选 E、A、F，这样作出的内部就不会超过图 1 的范围。 （5） 图 1 的确定，是在 P

45、到了一定的高度，此时，PQ 与 CB所在的直线有交点，PQ 与 CD所在的直线也有交点，连接两个交点的直线与 AD、 AB都有交点，与 A 连接即为图 1 的情况。这样就基本完成了。剩下的只需隐藏，动画就可以了。下图给出了关于 AC 垂直的平面截正方体的情况，做法类似，只给出图形。类似的我们还可以给出更复杂的情况，如正六棱柱与正八面体等，只给出正八面体图形，不再赘述。球与多面体我们借助这套工具的应用有很多，只要您有好的创意，就能够做出好的效果。这里给出几个很多人曾经作过的一些经典的范例。先谈一谈球，球的表现和应用一直是比较脱节的，在很多的地方都只是利用球面上的几个圆来解决问题。但是，球的表现还是很引人注意的。我们参考 kunkel 的范例给出一种做法。其实有人可能奇怪，我们了解球的方程，不是很容易的就得到一个曲面吗？用翻折的办法作出另一面的轨迹不就可以了吗？的确可以的，我们可以通过修改我们的 3.3 节的范例来得到球。