1、和 yuqiang 一起学画板第 1 页 共 22 页第三章 用变换菜单作图在前两章我们一起学习了用【工具箱】中的工具和【构造】中的作图命令构造一些基本图形，让我们再一次对上海的甘志高（laoshig）老师所作的工作(前两章是甘老师原创) 表示感谢！ 在本章我们一起来学习如何用【变换】菜单作图，本章内容是广东的朱宇刚（天涯过客）老师原创，在此我们对朱老师的工作表示感谢！观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的。 求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换。数学中所谓“变换” ，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变
2、。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是我们现在要学习的下图中的变换菜单。和 yuqiang 一起学画板第 2 页 共 22 页一、学习目标1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象；4、会基于“标记的镜面” （对称轴）作轴对称；5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。说明：【变换】菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中 选 中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。另外，对于【
3、旋转 】、【缩放】，要基于一个 标记中心，对于【反射】，要先【标记镜面】。如果要按可变的量进行变换， 还要 标记相关的量。不过，在 4.0x 版中，还有一些比较另类的用法，即使你事先没有标记中心，仍然可以选中对象，在弹出【旋转】或【缩放】对话 框后，再在工作区中 单击一点，此点可以被标记为中心，这种方法也可以用于改变事先标记好的中心；同样，标记角可以在 弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现；标记距离就比较特殊，如果事先没有标记，在 弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值来标记；标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条 线段（单击
4、的顺序会影响比值）等方法来立即标记一个比。每个菜单项的详细使用方法见附录，在 这里我们将以一些 简单的实例来说明各菜单项的使用方法二、功能范例（一）旋转对象例 1 画一个正方形运行结果：和 yuqiang 一起学画板第 3 页 共 22 页画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转 900（逆时针方向） ，得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转90 0（顺时针方
5、向） ，得第三条边；4、连结出第四条边。操作步骤：1、画线段 AB。2、双击点 A，点 A 被标记为中心。3、依次单击点 B 和线段 AB，选择【变换】| 【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图 3-1 所示的设置。图 3-14、双击点 B，标记新的中心。5、依次单击点 A 和线段 AB，选择【变换】| 【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图 3-2 的设置。和 yuqiang 一起学画板第 4 页 共 22 页图 3-26、连结上方两个顶点得第四边。拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请
6、参阅深度迭代画正多边形。2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。例 2 中心对称运行结果：如图 3-3 所示图 3-3拖动点 F，使DEF 从 0到 180变化，如图 3-4 所示。和 yuqiang 一起学画板第 5 页 共 22 页图 3-4最后结果，如图 3-5 所示。图 3-5基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习【按标记的角】旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚
7、线段绕对称中心旋转 1800，形成中心对称， ；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为 0，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从 0到 180，可以看到旋转 180后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图 36 所示。和 yuqiang 一起学画板第 6 页 共 22 页图 3-62、用选择工具双击点 O，标记为中心。3、同时选择点 A、B、C，线段 AB、AC 、BC 、O A、OB、OC，绕点 O 旋转 180，如图3-7 所示。图 3-74、用选择工具确保按顺序点 D、E、F 选中这三点，并注意不要多选其它对象，选择【变换】
8、| 【 标记角】命令，可以看到所标记的角闪烁。5、同时选择点 A、B、C，线段 AB、AC 、BC 、O A、OB、OC，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的对话框中作如图 3-8 所示的设置。图 3-8和 yuqiang 一起学画板第 7 页 共 22 页6、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图 3-9 所示。图 3-97、拖动点 F，使线段 EF 与 ED 重合，可以看到红色三角形与ABC 重合。说明：本例中标记的角度是图形， 这种情况要注意选取三个点的 顺序，按 “边上的点、 顶点、边上的点”来选 ，如果选择时按逆 时针方向， 标记的是正角；按顺时针方向， 标记的是负角，这
9、将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？（二）平移对象平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。在极坐标系中最多可以组合
10、出四种方法，如图 3-10 所示。和 yuqiang 一起学画板第 8 页 共 22 页图 3-10在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图 3-11 所示。图 3-11按标记的向量平移有一种方法，如图 3-12 所示。和 yuqiang 一起学画板第 9 页 共 22 页图 3-12例 3 画一个半径为 cm 的圆2运行结果：得到一个半径为 cm 的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。2基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移 1cm，得到的点与原来的点总是相距 cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。2操作步骤：1、画一个点 A。2、单击点 A，选择【变换】|【
11、平移】命令， 在弹出的对话框中作如图 3-13 的设置，平移后效果如图 3-14 所示。AA图 3-13 图 3-143、顺次单击点 A 和点 A，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令。4、最后效果如图 3-15 所示，无论如何移动，圆的半径固定为 cm。2图 3-15例 4 全等三角形和 yuqiang 一起学画板第 10 页 共 22 页运行结果：如图 3-16 所示。图 3-16拖动点 F 在线段 DE 上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线） 。3、在线段上画一
12、点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画ABC。2、画线段 DE，在 DE 上画一点 F；3、顺次单击点 D 和点 F，选择 【变换】|【标记向量】命令，标记从点 D 到 F 的向量。4、选取ABC 的三边和三个顶点，选择【变换】|【平移 】命令，在弹出的对话框中作如图 3-17 的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移） 。和 yuqiang 一起学画板第 11 页 共 22 页图 3-175、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图 13 所示。例 平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行
13、线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、用【直尺工具】画出线段 AB 和 AD，如图 3-18 所示。图 3-183、用【选择箭头工具】按顺序选取点 A、B，选择【变换】|【标记向量】命令，标记一个从点 A 指向点 B 的向量。4、确保只选中线段 AD 和点 D，选择【变换】|【平移】命令，设置线段 AD 和
14、点 D 按向量 AB 平移，如图 3-19 所示。图 3-19和 yuqiang 一起学画板第 12 页 共 22 页5、作出第四条边，改第四顶点标签为 C，如图 3-20 所示。图 3-20（三）缩放对象缩放是指对象关于【标记的中心】按【标记的比】进行位似变换。其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，选择【变换】|【标记线段比例】命令（此命令会根据选中的对象而改变） ，标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出【缩放对话框】后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位） ，选择【变换】|【标记比例系数】命令，可以标记一个比。
15、在弹出【缩放对话框】后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，选择【变换】|【标记比例】命令，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例 5 相似三角形运行结果：通过拖动点 F，让图形动态发生变化，以下三图是 F 点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响：基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。和 yuqiang 一起学画板第 13 页 共 22 页3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X ”型中转变。操作步骤：1、画A
16、BC。2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图 3-21 所示。图 3-213、在直线上画三个点 D、E、 F，用【选择箭头工具】依次选取点 D、E、F，选择【变换】|【 标记比例】命令，标记一个比。4、选取三角形的三边和三个顶点，选择【变换】|【缩放】命令，弹出缩放对话框后如图3-22 所示进行设置。单击点 A，确保对话框中的旋转中心为 A，图 3-225、拖动点 F 在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。（四）反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。
17、反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。和 yuqiang 一起学画板第 14 页 共 22 页例 6 轴对称运行结果：从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。基本思路：1、画一条直线并标记它为镜面；2、在直线的一旁画一个三角形；3、选取这个三角形的全部，进行反射；4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。操作步骤：1、用画直线工具画一条直线。2、选中这条直线，选择【变换】|【标记镜面】命令，标记这条直线为对称轴。3、在直线的一旁画一个ABC，结果如图 3-2
18、3 所示。图 3-23 4、选取ABC 的全部，选择【变换】|【反射】命令，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图 3-24 所示。和 yuqiang 一起学画板第 15 页 共 22 页图 3-24例 用对称变换画一个等腰三角形。本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、先用工具完成到如图 3-25 所示。图 3-253、双击线段 AD，标记为镜面。4、确保只选取了点 B 和线段 AB，选择【变换】| 【反射】 ，效果得如图 3-26 所示。图 3-265、隐藏点 D 和线段 AD，按 Ctrl+H，隐藏这两个对象。6、画出第三条边，并改
19、第三个顶点的标签为 C，如图 3-27 所示。和 yuqiang 一起学画板第 16 页 共 22 页图 3-27任意拖动三个顶点之一，可以看到，无论形状如何改变，ABC 始终是等腰形。（五）迭代与深度迭代问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，你不嫌繁的话，得用旋转变换 16 次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是【迭代】 。例 1、正十七边形的画法操作步骤：1、 画两个点，让 B 点围绕点 A 旋转 得 ，连接 如图 3-28 所示。36017B图 3-282、选定 B 点，单击菜单“变换”“迭代” ，出现【迭代】对话框，如图 3-29 所示。图 3-293、
20、单击 ，工作区中的变化如图 3-30 所示，注意到“迭代规则数：3” ，图形在原有的B基础上，增加了 3 条线段。 （想一想，应让计算机重复画几条线段？）和 yuqiang 一起学画板第 17 页 共 22 页图 3-304、 重复按小键盘上的“”键，直到迭代规则数变为 16（也就是要让计算机重复画 16条） ，注意工作区中图形的变化，如图 3-31 所示。图 3-315、 单击【迭代】按钮，正十七边形构造完毕，如图 3-32 所示。图 3-32迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的 B 点。2)由选定的点
21、产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选） ，如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。迭代的深度（即重复的次数） ，可用参数控制，即深度迭代，请看例 2和 yuqiang 一起学画板第 18 页 共 22 页例 2、正 n 边形的画法运行结果：如图 3-33 所示，选定参数 n，按小键盘上的 “”或“”键，可改变 n 的值，从而改变多边形的边数，即得到正 n 边形（这在黑板上是画不出的） 。图 3-33基本思路：1、画两个点，标记其中一个点作为正 n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；2、 “新建参数”n，用 3600 除以 n，得正 n 边形的圆心角；3、选取圆心角后【标记角度
22、】 ，让第一顶点绕中心按【标记的角度】旋转,得第二顶点；4、选取参数 n、进行第一顶点到第二顶点的【深度迭代】 ；5、选取参数 n，按小键盘上的“+、”键可以改变参数，得到动态的正 n 边形。操作步骤：一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）1、 按“Alt”键，调出计算器，输入 “360”（“”由单位按钮输入） ，如图 3-34 所示。和 yuqiang 一起学画板第 19 页 共 22 页图 3-342、 单击计算器的【数值】按钮，选择【新建参数】命令，弹出【新建参数对话框】 ，如图3-35 所示。图 3-353、 将新建参数的对话框进行如图 3-36 所示的设置。和 yuqiang
23、一起学画板第 20 页 共 22 页图 3-364、单击新建参数的对话框的【确定按钮】后，单击计算器上的【确定按钮】 ，再调出计算器，计算 n1。画出点 A 和点 B，如图 3-37 所示。图 3-375、让 B 点绕点 A 旋转“ ”，得 ，连接 。如图 3-38 所示：360nB图 3-38二、深度迭代和 yuqiang 一起学画板第 21 页 共 22 页1、同时选取点 B、 “n15” ；2、按住 Shift 键不放，选择 【 变换】| 【深度迭代】命令，弹出如图 3-39 所示的迭代对话框；图 3-39说明：此步如不按住 Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项
24、会根据按键、工具按钮的选取状态而改 变。本例中 为了能动态地构造正 n 边形，必须用深度迭代。3、单击工作区中的点 ，使图 3-39 中“初象”下面框中的问号变成 ，单对话框中的B B“迭代”按钮。4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数 n，用小键盘上的“+、”键可以改变 n 的大小。说明：参数可以减少到 2 以下甚至负数， 这时已不能构成多 边形，在 进阶实例中，大家会学习到控制参数大于或等于 3 的技巧。如图 3-40 所示，为当 n=6 时的图形。图 3-40【本章小结】通过本章学习，大家可以看到，利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些特点。前面章节的方法中，主要是根据图形本身的定义来作图，作图过程需要用的辅助对象较多，步骤较繁。运用变换菜单作图，大多是根据图形的几何性质来作，这样做的优势在于，作图速度快，可以精确作图。和 yuqiang 一起学画板第 22 页 共 22 页
