1、 1高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数概念1.1 集合一、集合的概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素元 素 的 性 质 ： 确 定 性 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的 互 异 性 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象 无 序 性 集合中的元素是平等的，没有先后顺序二 、 集 合 与 集 合 之 间 的 关 系 （ 元 素 与 集 合 ）含 有 有 限 个 元 素 叫 有 限 集 ， 含 有 无 限 个 元 素 叫 无 限 集 ， 空 集 是 不 含 任 何 元 素 的 集 ， 记 做。 空 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ， 是
2、任 何 非 空 集 的 真子集。 任 何 集 合 是 它 本 身 的 子 集 。 子 集 ，真 子 集 都 具 有 传 递 性 。“包 含 ”关 系 子 集 （ 可 能 A 是 B 的 一 部 分 ； A 与 B 是 同 一 集 合 ）“相 等 ”关 系 元 素 相 同 （ 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 。 A A）“真 子 集 ”:如 果 A B,且 B A 那 就 说 集 合 A 是 集 合 B 的 真 子 集 ， 记 作 A B(或 B A) “属于”：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA三 、 集 合
3、的 运 算 交 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 A 且 属 于 B 的 元 素 所 组 成 的 集 合 ,叫 做 A,B 的 交 集 记作 A B(读 作 “A 交 B”)， 即 A B=x|x A， 且 x B 并 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 A 或 属 于 集 合 B 的 元 素 所 组 成 的 集 合 ， 叫 做 A,B的 并 集 。 记 作 ： A B(读 作 “A 并 B”)， 即 A B=x|x A， 或 x B 交 集 与 并 集 的 性 质 A A = A, A = , A B = B A， A A = A， A =
4、A ,A B = B A注意 、 和 的区别0四 、 数 学 中 一 些 常 用 的 数 集 及 其 记 法全体非负整数组成的集合称为非负整数级（或自然数集） ，记作 N； （0，1，2，3，4，）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 N*或 N+； （1，2 ，3，4，）全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z； （负整数、 0、正整数） 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q； （是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式）全体实数组成的集合称为数集，记作 R； （包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数）五、集合的表示列举法 把集合中的元素一一列举出来描述法 用集合中
5、所含元素的共同特征表示集合的方法韦恩图 用平面上封闭曲线的内部表示集合相关公式 ()=()()()=()()= = = =()= =21.2 1.3 函数及其表示 函数的性质一、函数的概念构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，x A 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫
6、做函数的值域分段函数：一个函数分成若干个子区间，而每个子区间的解析式不同映射：一般地设 A、B 是两个非空集合，如按一定的对应法则 ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ： 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ : ” A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射不同复合函数：复合函数：若 y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x)的值域复合函数的定义域：若已知 的定义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出()fx,ab()fgx()agxb偶
7、函数： 关于 y 轴对称()=() ()()=0奇函数: 关于原点对称 ()=() ()+()=0二、有关定义域能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义 域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零； 对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合指数为零底不可以等于零 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数
8、的定义域、值域要写成集合或区间的形式三、有关值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础四、判断两函数关系两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)五、一些有用的结论奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；若奇函数 的定义域包含 ，即()fx0()0f判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，必须注意使
9、定义域不受影响；讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点3六、证明函数单调性的一般方法正比例函数 =(0)0 0 (,0) (0,+)0时 在 上 0 （ ， 2 2,+)时增区间为 减区间为1，且 *axnxannN当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号n a表示a式子 叫做根式（radical） ，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表n nna示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0）anna由此可
10、得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 0结论：当 是奇数时， 当 是偶数时n)(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3、实数指数幂的运算性质 ra sr；（2） rsra)( ；（3） srab)(),0(Rsa ),0(Rs),0(二、指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential )1,0
11、(ayx且function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R。 底数大于 0 且不等于 1函数 与 关于 y=x 对称Nxalog)1,0(ay且52、指数函数的图象与性质 1a 1a0654321-1-4 -2 2 4 60 654321-1-4 -2 2 4 60向 x、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称、非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方、函数的值域为 （ 0， +）函数图象都过定点（0，1） 1a0图象逐渐上升、增函数 图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 a,0x在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 a,0x在第二象限内
12、的图象纵坐标都小于 1 ,x在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 ,x图象上升趋势是越来越陡、函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；图象上升趋势是越来越缓、函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出1） 在a，b上， 值域是 或)1a0()xf且 )b(f,a)a(f,b2） 若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当0x1()f Rx3） 对于指数函数 ，总有)()fx且 )(f4） 当 时，若 ，则1a21x(f2162.2 对数函数一、对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数（Logarithm） ，Nax)1,0(axaN记作： ，且
13、Nxalog0()1 底数， 真数， 对数式log注意注意底数的限制 ，且 1 a 2 xaxl注意对数的书写格式 3 Nalog对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数xy2log5lxy常用对数（common logarithm）：以 10 为底的对数 lg自然对数（natural logarithm）：以无理数 为底的对数叫自然数对数7182.e Nln二、对数式与指数式的互化 xNalogNax对数式 指数式对数底数 幂底数对数 指数真数 幂三、对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： ；01loga（3）底
14、数的对数是 1： ；（4）对数恒等式： ；logaNl（5） nalog四、对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10MN（1） ； （2）a(log)alogNal ；Nalog（3） nalal)(Rn换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） bcalogl 010c10b（1） ； （2）mnaaml abalogl7对数的性质 1a 10a32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8函数图象都在 y 轴右侧、函数的定义域为（0，）函数的定义域为（
15、0，）图象关于原点和 y 轴不对称、非奇非偶函数非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，0） 01loga图象逐渐上升增函数 图象逐渐下降减函数第一象限的图象纵坐标都大于 00log,1xa 第一象限的图象纵坐标都大于 0 0log,1xa第二象限的图象纵坐标都小于 0l,0a 第二象限的图象纵坐标都小于 0 l,xa当 时，底数越大越靠近 x 轴 当 时，底数越小越靠近 x 轴1a 1a、82.3 幂函数一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(Ra幂函数 时仅有一个零点。当 时没有零点0 0幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（
16、0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的 ),1图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸1（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在),0(x轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yyxx9第二章 函数的应用一、 方程的根与函数的零点1. 函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。)(Dxfy2. 函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象) )(fy与 轴交点的横坐标。即：方
17、程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点0(f)(fy函数 有零点)(f3. 函数零点的求法：求函数 的零点：xy（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(f（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并 2 )(xfy利用函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二x次函数有两个零点），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一个2交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零0cbxa x点求零点就是求方程 的实数根。 内有零点()
18、=0 ()()0 (,)二、零点存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c(a,b)，使得 f(c )=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根三、 二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函数 的零ab)(afbf0)(xfy)(xf点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf1确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；abab02求区间 ， 的中点 ；()1x3计算 ： 若 = ，则 就是函数的零点；1xf 1 )(f1若 ，则令 = （此时零点 ） ； 2 )(a0bx),(10xa若 ，则令 = （此时零点 ） ； 3 1xffa1b10判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点零点值 （或 ） ；否则重复步骤 24|baab
