1、第 1 页（共 147 页）二次函数评卷人 得 分 一解答题（共 50 小题）1如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在请求出点 P的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点 M、N
2、运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积2已知：如图，直线 y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A（t ，0） ，与 y 轴相交于点B，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A 和点 B，点 C 在第三象象限内，且ACAB，tanACB= （1）当 t=1 时，求抛物线的表达式；（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t 的值第 2 页（共 147 页）3如图，Rt OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转 90，点 B 旋转到点C 的位
3、置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点） 、C、 H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由4如图，已知抛物线经过 A（ 2，0） ，B（ 3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的函数解析
4、式（2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，若四边形 AODE 是平行四边形，求点 D 的坐标第 3 页（共 147 页）（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足是 M，是否存在点 p，使得以 P、M 、A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax23ax4a 的图象经过点 C（0，2） ，交 x 轴于点 A、B（A 点在 B 点左侧） ，顶点为 D（1）求抛物线的解析式及点 A、B 的坐标；（2）将ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为 A，试求 A的坐标；（3
5、）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BPC=BAC ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6已知：如图 1，抛物线的顶点为 M，平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点A，B （点 A 在点 B 左侧） ，根据对称性AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的 “完美三角形” （1）如图 2，求出抛物线 y=x2 的“完美三角形”斜边 AB 的长；抛物线 y=x2+1 与 y=x2 的 “完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；（2）若抛物线 y=ax2+4 的“完美三角形” 的斜边长为 4，求 a 的值；（3）若抛物线 y=mx2+2x+n5 的“
6、 完美三角形”斜边长为 n，且 y=mx2+2x+n5 的最第 4 页（共 147 页）大值为1，求 m，n 的值7如图，已知抛物线 y=k（x +2） （x4） （k 为常数，且 k0）与 x 轴的交点为A、B ，与 y 轴的交点为 C，经过点 B 的直线 y= x+b 与抛物线的另一个交点为D（1）若点 D 的横坐标为 x=4，求这个一次函数与抛物线的解析式；（2）在（1）问的条件下，若直线 m 平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段 AB 间左右移动，它与直线 BD 和抛物线分别交于点 E、F，求当 m 移动到什么位置时，EF 的值最大，最大值是多少？（3）问原抛物线在第一象限是否存在点
7、 P，使得APB ABC ？若存在，请直接写出这时 k 的值；若不存在，请说明理由8如图，抛物线 y=ax2+bx3a 经过 A（ 1，0） 、C （ 0，3）两点，与 x 轴交于另一点 B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点 D（m ，m1）在第四象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点 D的坐标第 5 页（共 147 页）（3）在（2）的条件下，连接 BD，问在 x 轴上是否存在点 P，使PCB= CBD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由9如图，A，B 两点在 x 轴的正半轴上运动，四边形 ABCD 是矩形，C ，D 两点在抛物线 y=x2+8x 上（1）若
8、OA=1，求矩形 ABCD 的周长；（2）设 OA=m（0m4 ） ，求出四边形 ABCD 的周长 L 关于 m 的函数表达式；（3）在（2）的条件下求 L 的最大值10如图，已知抛物线经过原点 O 和点 A，点 B（ 2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点 B 作 BCx 轴交抛物线于点 C，连接 BO、CA，若四边形 OACB 是平行四边形（1）直接写出 A、C 两点的坐标；求这条抛物线的函数关系式；（2）设该抛物线的顶点为 M，试在线段 AC 上找出这样的点 P，使得PBM 是以 BM 为底边的等腰三角形，并求出此时点 P 的坐标；（3）经过点 M 的直线把 OACB 的面积分为 1：3
9、两部分，求这条直线的函数关系式第 6 页（共 147 页）11如图，抛物线 y= x4 与坐标轴相交于 A、 B、C 三点，P 是线段 AB 上一动点（端点除外） ，过 P 作 PDAC，交 BC 于点 D，连接 CP（1）直接写出 A、B、C 的坐标；（2）求抛物线 y= x4 的对称轴和顶点坐标；（3）求PCD 面积的最大值，并判断当PCD 的面积取最大值时，以 PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A（3，0 ） 、B（4 ，0）两点，且与 y 轴交于点 C，D （4 4 ，0） 动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以
10、每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点 G，使得 SGCB =SGCA ，再在抛物线上找点E（不与点 A、B、C 重合） ，使得GBE=45，求 E 点的坐标第 7 页（共 147 页）13如图，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A（1，0） ，C（2， 3）两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点 D，
11、需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点 P（m，0）作 x 轴的垂线（1m2） ，分别交平移前后的抛物线于点 E，F，交直线 OC 于点 G，求证：PF=EG14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C 三点，已知点 A（3，0） ，B（0 ，3） ，C （1 ，0） （1）求此抛物线的解析式（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D动点 P 在什么位置时，PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标第 8 页（共 147
12、页）15如图，在直角坐标系 xOy 中，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，A（1 ，0 ） ，B （0，2 ） ，抛物线 y= x2+bx2 的图象经过 C 点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l当 l 移动到何处时，恰好将ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由16如图所示，二次函数 y=2x2+4x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C（1）求 m 的值及点 B 的坐标；（2）求ABC
13、的面积；（3）该二次函数图象上有一点 D（x，y ） ，使 SABD =SABC ，请求出 D 点的坐标第 9 页（共 147 页）17在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=mx2（m+n ）x+n（m0）的图象与 y 轴正半轴交于 A 点（1）求证：该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与 x 轴的两个交点中右侧的交点为点 B，若ABO=45，将直线 AB 向下平移 2 个单位得到直线 l，求直线 l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设 M（p ，q）为二次函数图象上的一个动点，当3 p0 时，点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l 的下方，求 m 的取值
14、范围18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于点A（ 3， 0） 、C（1，0） ，与 y 轴交于点 B（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x轴的垂线，垂足为点 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D过点 P 在什么位置时，PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标；连接 PA，以 PA 为边作正方形 APMN，当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标第 10 页（共 147 页）19如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交
15、于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（ 1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标20如图 1，已知抛物线 y= x2+ x+ 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点
16、 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AEAC 交 DH 的延长线于点 E（1）求线段 DE 的长度；（2）如图 2，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少；第 11 页（共 147 页）（3）在（2）问的条件下，将得到的CFP 沿直线 AE 平移得到CFP，将CFP沿 CP翻折得到 CPF ，记在平移过称中，直线 FP与 x 轴交于点 K，则是否存在这样的点 K，使得 FFK 为等腰三角形？若存在求出 OK 的值；若不
17、存在，说明理由21在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+（m1）x+4m 的图象与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（0，4） ，已知点 E（0，1） （1）求 m 的值及点 A 的坐标；（2）如图，将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO，连结 AB、BE当点 E落在该二次函数的图象上时，求 AA的长；设 AA=n，其中 0n2，试用含 n 的式子表示 AB2+BE2，并求出使AB2+BE2 取得最小值时点 E的坐标；当 AB+BE取得最小值时，求点 E的坐标22已知二次函数 y=ax2+4amx（m0）的对称轴与 x 轴交于点 B，与直线l：y= 交于点 C，点 A
18、是该二次函数图象与直线 l 在第二象限的交点，点 D是抛物线的顶点，已知 AC：CO=1 ：2，DOB=45，ACD 的面积为 2（1）求抛物线的函数关系式；第 12 页（共 147 页）（2）若点 P 为抛物线对称轴上的一个点，且POC=45，求点 P 坐标23如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1 与抛物线 y=ax2+bx+c（a0）相交于点 A（1，0）和点 D（4，5） ，并与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴为直线 x=1，且抛物线与 x 轴交于另一点 B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点 E 是直线下方抛物线上的一个动点，求出ACE 面积的最大值；（3）如图 2，若
19、点 M 是直线 x=1 的一点，点 N 在抛物线上，以点A，D，M，N 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点 M 的坐标；若不能，请说明理由24如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点B 的左侧，A 为（1，0） ，抛物线与 y 轴交于点 C（0，4） ，对称轴为 x=1，连接BC（1）计算 a、b、c 的值；（2）若点 G 为直线 BC 上方的抛物线上的一动点，试计算以 A、B、G、C 为顶点的四边形的面积的最大值；（3）若点 H 为对称轴上的一个动点，点 P 为抛物线上的一个动点，当以H、 P、 B、C 四点为顶点的四边形为
20、平行四边形时，求出点 H 的坐标第 13 页（共 147 页）25如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A（1 ，0） ，点 C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若 D 是抛物线位于第一象限上的动点，求BCD 面积的最大值及此时点D 的坐标26如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点C，若已知 B 点的坐标为 B（8，0）（1）求抛物线的解析式及其对称轴（2）连接 AC、BC ，试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由（3）M 为抛物线上 BC 之间的一点，N 为线段 BC
21、 上的一点，若 MNy 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由27如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4， 4） ，B（0，4）两点，直第 14 页（共 147 页）线 AC：y= x6 交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交AC 于点 F，交抛物线于点 G（1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式；（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；（3）在（2）的前提下，y 轴上是否存在一点 H，使A
22、HF=AEF？如果存在，求出此时点 H 的坐标，如果不存在，请说明理由28如图，抛物线 y=ax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1 ，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为该抛物线上一个动点；动点 P 作 y 轴的垂线交直线 AC 于点 D，点 P 的坐标是多少时，以 O 为圆心，OD 的长为半径的O 与 AC 相切？是否存在点 P，使ACP 为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由29抛物线 y1=ax2+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 在抛物线上，过 P（ 1，3）
23、 ，B（4，0）两点作直线 y2=kx+b（1）求 a、c 的值；第 15 页（共 147 页）（2）根据图象直接写出 y1y 2 时，x 的取值范围；（3）在抛物线上是否存在点 M，使得 SABP =5SABM ，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由30如图，抛物线 y=ax2+ x+c 过 A（1，0） ，B （0，2）两点（1）求抛物线的解析式（2）M 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，N 为 x 轴上对称轴上任意一点，若tanANM= ，求 M 到 AN 的距离（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PAB 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由3
24、1已知，如图，二次函数 y=ax2+bx6 的图象分别与 x 轴与 y 轴相交于点A（ 6， 0） 、点 B，点 C（ 6，6）也在函数图象上（1）求该二次函数的解析式第 16 页（共 147 页）（2）动点 P 从点 B 出发，沿着 y 轴的正方向运动，是否存在某一位置使得OAP +OAC=45？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）点 Q 为直线 AC 下方抛物线上一点，当以点 A、B 、C、Q 为顶点的四边形的面积最大时，求出点 Q 的坐标32如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx5 与 x 轴交于A（ 1， 0） ，B （5 ，0）两点，与 y 轴
25、交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 2，CE x 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标；（3）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y轴上分别找点 P，Q ，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标33如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4 ，点 D 为边 AB 上一点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以
26、OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系（1）求点 E 坐标及经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式；（2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP=DQ ；（3）若点 N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样第 17 页（共 147 页）的点 M 与点 N，使得以 M，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点的坐标；若
27、不存在，请说明理由34如图，抛物线的图象与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，且 A（ 6，0） ， D（2， 8） （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AC 下方的抛物线上一动点，不与点 A、C 重合，求过点 P 作x 轴的垂线交于 AC 于点 E，求线段 PE 的最大值及 P 点坐标；（3）在抛物线的对称轴上足否存在点 M，使得 ACM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由35求二次函数 y=2x24x+1 的顶点坐标，并在下列坐标系内画出函数的大致图象说出此函数的三条性质第 18 页（共
28、147 页）36抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（3，0） ，B （1，0）两点，与 y 轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点 P，使 SPAB =SABC ，写出 P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QBC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由37如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，直线 y=x1 与抛物线交于 A， C 两点，其中点 C 的横坐标为 2（1）求二次函数的解析式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点
29、 E，求线段 PE 长度的最大值第 19 页（共 147 页）38已知二次函数 y=x2+bx3（b 是常数）（1）若抛物线经过点 A（ 1，0） ，求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P （m ， n）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为 P，当点 P落在该抛物线上时，求 m 的值；（3）在1x2 范围内，二次函数有最小值是6，求 b 的值39在平面直角坐标系 xOy 中，点 C 是二次函数 y=mx2+4mx+4m+1 的图象的顶点，一次函数 y=x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B（1）请你求出点 A、B、C 的坐标；（2）若二次函数 y=mx2+4mx+4m+1
30、与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围40如图 1，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，点P 为抛物线的顶点第 20 页（共 147 页）（1）求该抛物线的解析式；（2）求PAB 的正弦值；（3）如图 2，四边形 MCDN 为矩形，顶点 C、D 在 x 轴上，M、N 在 x 轴上方的抛物线上，若 MC=8，求线段 MN 的长度41如图，经过原点的抛物线 y=x2+2mx（m0）与 x 轴的另一个交点为 A，过点 P（ 1，m ）作直线 PA x 轴于点 M，交抛物线于点 B记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（点 B、C 不重合） ，
31、连接 CB、CP（I）当 m=3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（II）当 m 1 时，连接 CA，若 CACP ，求 m 的值；（III）过点 P 作 PEPC，且 PE=PC，当点 E 落在坐标轴上时，求 m 的值，并确定相对应的点 E 的坐标42如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1， 0）和点 B（3，0） ，点 C 为抛物线与 y 轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 E 为直线 BC 上方抛物线上的一点，请求出BCE 面积的最大值（3）在（2）条件下，是否存在这样的点 D（0，m） ，使得BDE 为等腰三角形？如果有，请直接写出点 D 的坐标；如果没有，
32、请说明理由第 21 页（共 147 页）43在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c（b，c 都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2） （1）当2x2 时，求 y 的取值范围（2）已知点 P（m，n）在该函数的图象上，且 m+n=1，求点 P 的坐标44如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 O 和 B（4，4） ，且对称轴为直线 x= （1）求抛物线的函数表达式；（2）D 是直线 OB 下方抛物线上的一动点，连接 OD，BD，在点 D 运动过程中，当OBD 面积最大时，求点 D 的坐标和OBD 的最大面积；（3）如图 2，若点 P 为平面内一点，点 N
33、 在抛物线上，且NBO= ABO ，则在（2）的条件下，直接写出满足POD NOB 的点 P 坐标45如图，抛物线 y=ax2 x2（a0 ）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标第 22 页（共 147 页）46在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（8，0）和点 C（9，3） 抛物线y=ax28ax+c（a，c 是常数， a0）经过点 B、C，且与 x 轴的另
34、一交点为 A对称轴上有一点 M，满足 MA=MC（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形 ABCM 的面积；（3）如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 ADBC，求点 D 的坐标47如图，直线 y=kx3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，经过 A，B 两点的抛物线 y 轴交于点 B，经过 A，B 两点的抛物线 y=（x1） 2+m 与 x 轴负半轴交于点 C（1）求 m 和 k 的值；（2）过点 B 作 BDx 轴交该抛物线于点 D，连接 CD 交 y 轴于点 E，连结 CB求BCD+OBC 的度数；在 x 轴上有一动点 F，直线 BF 交抛物线于
35、P 点，若ABP=BCD 时，求此时点 P 的坐标第 23 页（共 147 页）48如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为二次函数的顶点，已知点（ 1，0） ，点C（ 0，3） ，直线 DE 为二次函数的对称轴，交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F（1）求抛物线的解析式和点 D 的坐标；（2）直线 DE 上是否存在点 M，使点 M 到 x 轴的距离于到 BD 的距离相等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点 Q 是线段 BD 上的动点，点 D 关于 EQ 的对称点是
36、点 D，是否存在点 Q 使得 EQD与EQB 的重叠部分图象为直角三角形？若存在，请求出 DQ的长；若不存在，请说明理由49如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C（0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围；（3）若直线与 y 轴的交点为 E，连结 AD、AE，求ADE 的面积第 24 页（共 147 页）50如图，ABCD 与抛物线 y=x2+bx+c 相交于点 A，B ，D ，点 C 在抛物线的对称轴上，已知点
37、B（1，0） ，BC=4（1）求抛物线的解析式；（2）求 BD 的函数表达式第 25 页（共 147 页）二次函数参考答案与试题解析一解答题（共 50 小题）1如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P，使PBC 为等腰三角形？若存在请求出点 P的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的
38、对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点 M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积【分析】 （1）代入 A（1，0）和 C（0，3） ，解方程组即可；（2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到 BC，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2t，S MNB= （2t）2t=t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处【解答】解：（1）把
39、A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，解得：b=4，c=3 ，第 26 页（共 147 页）二次函数的表达式为：y=x 24x+3；（2）令 y=0，则 x24x+3=0，解得：x=1 或 x=3，B（3，0） ，BC=3 ，点 P 在 y 轴上，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1，当 CP=CB 时，PC=3 ，OP=OC+PC=3 +3 或 OP=PCOC=3 3P 1（ 0，3+3 ） ，P 2（0，3 3 ） ；当 BP=BC 时，OP=OB=3，P 3（ 0，3） ；当 PB=PC 时，OC=OB=3此时 P 与 O 重合，P 4（ 0，0） ；综上
40、所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（0 ， 33 ）或（0，3）或（0，0） ；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t，由 AB=2，得 BM=2t，则 DN=2t，SMNB= （2t）2t=t 2+2t=（t 1） 2+1，即当 M（2， 0） 、N （2，2）或（2，2）时MNB 面积最大，最大面积是 1第 27 页（共 147 页）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键2已知：如图，直线 y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A（t ，0） ，与 y 轴相交于点B，抛
41、物线 y=x2+bx+c 经过点 A 和点 B，点 C 在第三象象限内，且ACAB，tanACB= （1）当 t=1 时，求抛物线的表达式；（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t 的值第 28 页（共 147 页）【分析】 （1）把点 A（1，0） ，B （0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；（2）如图：作 CHx 轴，垂足为点 H，根据AOBCHA，得到= = ，根据 tanACB= = ，得到 = = ，根据 OA=t，得到点 C 的坐标为（t4，2t ） （3）根据点 C（t4，2t）在抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴
42、上，得到 t4= ，即b=2t8，把点 A（t ，0） 、B（0，2）代入抛物线的表达式，得t 2+bt+2=0，可知t2+（2t 8）t+2=0，即 t28t+2=0，据此即可求出 t 的值【解答】解：（1）t=1，y=kx +2，A（1，0 ） ， B（0，2 ） ，把点 A（1，0） ，B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得 ，解得， ，所求抛物线的表达式为 y=x2x+2（2）如图：作 CHx 轴，垂足为点 H，得AHC=AOB=90，ACAB，OAB+CAH=90，又CAH+ACH=90，OAB= ACH，AOBCHA，第 29 页（共 147 页） = = ，tanACB= = ，
43、 = = ，OA=t ，OB=2，CH=2t，AH=4，点 C 的坐标为（ t4，2t） （3）点 C（ t4，2t）在抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴上，t4= ，即 b=2t8，把点 A（t，0） 、B（0，2）代入抛物线的表达式，得t 2+bt+2=0，t 2+（ 2t8）t+2=0，即 t28t+2=0，解得 t=4 ，点 C（t4，2t）在第三象限，t=4+ 不符合题意，舍去，t=4 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大3如图，Rt OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，OAB
44、=90，OA=4，AB=2，把 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转 90，点 B 旋转到点第 30 页（共 147 页）C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点） 、C、 H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐
45、标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据旋转的性质可求出 C 的坐标和 A 的坐标，又因为抛物线经过原点，故设 y=ax2+bx 把（ 2，4） ， （4，0）代入，求出 a 和 b 的值即可求出该抛物线的解析式；（2）四边形 PEFM 的周长有最大值，设点 P 的坐标为 P（a，a 2+4a）则由抛物线的对称性知 OE=AF，所以 EF=PM=42a，PE=MF= a2+4a，则矩形 PEFM 的周长L=242a+（a 2+4a）=2（a1） 2+10，利用函数的性质即可求出四边形 PEFM 的周长的最大值；（3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点） 、C 、H 、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y=4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的 N 点坐标所以有x 2+4x=4，解方程即可求出交点坐标
