1、习题 1313-1如图为半径为 R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为 P(沿 x轴)。（1） 0P；（ 2）x0。解：可利用公式 cosSSqddA算出极化电荷。首先考虑一个球的环形面元，有： 2in()R，（1） 0时，由 cos知 10P，2cosinsi20qPRdd ；（2）x0时，2200coscosxR，22csisP 2230004oRPR。13-2平行板电容器，板面积为 2cm1，带电量 C109.87，在两板间充满电介质后，其场强为 V/14.6，试求：（1）介质的相对介电常数 r；(2)介质表面上的极化电荷密度。解：（
2、1）由 0rE，有：18.7014.1085. 46270 ESQr（2） (1)7.6PC13-3面积为 S的平行板电容器，两板间距为 d，求：（1）插入厚度为 3d，相对介电常数为 r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（ 2）插入厚度为 的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为：0E，而电介质内的场强为： 0rr，所以，两板间电势差为： 023rdU，那么，0(1)rSQCd，而SC， 0321r；（2）插入厚度为 3d的导电板，可看成是两个电容的串联，有：0012/S，xyORxyORdSPsinrcosx3drd300213CdSC32。13-4在两个带等量异
3、号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为 0与 (绝对值)，试求：（1）电介质内的场强 E；（2）相对介电常数 r。解：（1）由： 0SEdqA，有：0（ 给出的是绝对值）（2）又由0r，有：000rE。13-5在 导 体 和 电 介 质 的 分 界 面 上 分 别 存 在 着 自 由 电 荷 和 极 化 电 荷 。 若 导 体 内 表 面 的 自 由 电荷 面 密 度 为 ， 则 电 介 质 表 面 的 极 化 电 荷 面 密 度 为 多 少 ？ (已 知 电 介 质 的 相 对 介 电 常 数 为 r)解：由 SqPdA，考虑到 0(1)r，有： 0(
4、1)rqE，与Sd联立，有： 00(1)rq，得：()rqq，r。13-6如图所示，半径为 0R的导体球带有电荷 Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为 1和 2，相对电容率为 r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。解：利用介质中的高斯定理iSSDdqA内。（1）导体内外的电位移为： 0rR， 24r； 0R， D。（2）由于 0rE，所以介质内外的电场强度为：0rR时， 1E； 1Rr时，22004DQr；2时，3004rr； 2R时， 2004Er。13-7一圆柱形电容器，外柱的直径为 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强
5、度大小为 0/EkV，试求该电容器可能承受的最高电压。解：由介质中的高斯定理，有： 02rE，rrR 00ln22RRrrrrRUEdd ，击穿场强为 0， rE，则 0lrU，令 0rd，有：00ln， 0n1er，max0l147RUEKVre。13-8一平行板电容器，中间有两层厚度分别为 1d和 2的电介质，它们的相对介电常数为1r和 2，极板面积为 S，求电容量。解： 12D，10rE，20r，而： 012rrdUd，有：12rrrSSQC。13-9利用电场能量密度2ewE计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为 R，带电量为 。解：首先求出场强分布：130224QrREr2 200 0
6、30 0()()442R RQWdVdrrd 03Q。13-10半径为 cm.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为c.4和 5，当内球带电量为 C10.38时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布： 112 2203 3204ErRqrErR1r2O3R21考虑到电场能量密度21ewE，有：球与球壳之间的电能：21 22 2001 0012()4()8RqqWEdVrdR 4.01J球壳外部空间的电能： 3 222002 003()Rr 5.，系统储存的电能： 412.81WJ；（2）如用导线把壳与球连在一起
7、，球与球壳内表面所带电荷为 0，所以 10W而外表面所带电荷不变，那么：52.。13-11球形电容器内外半径分别为 1R和 ，充有电量 Q。 （1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按 CQ2e算得的电容器所储电能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为： 204Er， （ 12Rr）利用电场能量密度21ewE，有电容器内电场的能量：21 222200 100102()()4()88R QQWdVrd；（2）由2121 22012()44R RUr，则球形电容器的电容为： 120214RCU，那么，2012()8eQW。 （与前面结果一样）13-12一平行板电容器的板面积为
8、S，两板间距离为 d，板间充满相对介电常数为 r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度 0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压 U不变而把介质取出。解：（1）维持两板上面电荷密度 0不变，有介质时：221001rrSdWE，（ 0rDE， 0）取出介质后：22021SdW，外力所做的功等于静电场能量的增加：20211()rSd；（2）维持两板上电压 U不变，有介质时：20211UdSCWr，取出介质后：20221dSCW，01()r。思考题 1313-1介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？答： Pcos。13-2不同介质交界面处的极化电荷分布如
9、何？答： 11ne， 22ne()P即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。13-3介质边界两侧的静电场中 D及 E的关系如何？答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。13-4真空中两点电荷 Aq、 B在空间产生的合场强为 BAE.系统的电场能为d21d2100e VVEW000 d21BABAVVE.（1）说明等式后面三项能量的意义；（2） BA、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ （3）将 两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？答：第一项表示点电荷 所形成的电场的能量，第二项是点电荷 所形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。
