1、湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明1长郡中学 2008 年高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题 16 小题，满分 120 分，考试时间 80 分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效 .一、 选择题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )(A) 直线 y = x 上 (B) 抛物线 y = 上2x(C) 直线 y = x 上 (D) 双曲线 xy = 1 上2以等速度行驶的城际
2、列车，若将速度提高 25%，则相同距离的行车时间可节省 k%，那么 k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 203若1 0，则 一定是 ( )aa1,3(A) 最小， 最大 (B) 最小， 最大 33(C) 最小，a 最大 (D) 最小， 最大 1a134如图，将ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF ，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论错误的是（ ）(A) AE AF （B）EF：AF = ：12(C) AF2 = FHFE （D）FB ：FC = HB ：EC 5在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 CD 与 B
3、E 相交于点 F，已知BDF 的面积为 10，BCF 的面积为 20，CEF 的面积为 16，则四边形区域 ADFE 的面积等于（ ）(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446某医院内科病房有护士 15 人，每 2 人一班，轮流值班，每 8 小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 第 4 题湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明2二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7若 4sin2A 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = _ _ .8在某海防
4、观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后，A 船以每小时 12 海浬的速度往南航行，B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形.9如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 4、2，则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .10桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为 20cm，小球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm.11物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质 A 按逆时针方向以 l
5、 单位/ 秒等速运动，物质 B 按顺时针方向，以 2 单位/ 秒等速运动，则两个物质运动后的第 11 次相遇地点的坐标是 .12设 为一群圆, 其作法如下： 是半径为 a 的圆, 在 的圆内作四个,C,321 1C1C相等的圆 (如图), 每个圆 和圆 都内切, 且相邻21的两个圆 均外切, 再在每一个圆 中, 用同样的方2法作四个相等的圆 , 依此类推作出 , 3C,C,654则(1) 圆 的半径长等于 (用 a2表示)；(2) 圆 的半径为 ( k 为正整数，用 a 表示，不必证明) kC三、解答题（本题有 4 个小题，共 60 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。13.（本小题满
6、分 12 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，且AD 是圆 O 的直径，DC 与 AB 的延长线相交于 E 点，OCAB.(第 9 题)(第 11 题)第 12 题第 13 题湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明3(1) 求证 AD = AE；(2) 若 OC=AB = 4，求BCE 的面积.（1） 证 1.AD 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，ACD = 90，即 ACDE.又OCAE，O 为 AD 中点 AD = AE. 证 2 O 为 AD 中点，OC AE，2OC = AE， 又AD 是圆 O 的直径， 2OC = AD， AD = AE. （2）由条件得 ABCO
7、 是平行四边形， BCAD，又 C 为中点，AB =BE = 4，AD = AE，BC = BE = 4， 连接 BD，点 B 在圆 O 上，DBE= 90，CE = BC= 4， 即 BE = BC = CE= 4， 所求面积为 4 . 4 分314.（本题满分 14 分）已知抛物线 y = x2 + 2px + 2p 2 的顶点为 M，(1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A，B ，求实数 p 的值使 ABM 面积达到最小.解：(1) = 4p 2 8p + 8 = 4 ( p 1)2 + 4 0 ,抛物线与 x 轴必有两个不同交点. 4 分
8、(2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0),则|AB| 2 = |x2 x1|2 = (x1 + x2)2 4x1x22 = 4p2 8p + 8 2 = 4 ( p 1)2 + 42,|AB| = 2 . 5 分)p(又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x p)2 ( p 1 )2 1 .得 b = ( p 1 )2 1 .当 p =1 时，|b|及|AB|均取最小，此时 SABM = |AB|b|取最小值 1 . 5 分215 （本小题满分 16 分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明4胜一场 平一场 负一场积分
9、 3 1 0奖励（元/每人） 1500 700 0当比赛进行到 12 轮结束（每队均要比赛 12 场）时，A 队共积 19 分。(1) 试判断 A 队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元，设 A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为 W（元） ，试求 W 的最大值.解：（1）设 A 队胜 x 场，平 y 场，负 z 场，得 ，可得： 4 分9yx312z72zx319依题意，知 x0,y0,z0,且 x、y、z 均为整数， 解得： x ， x 可取 4、5、6 4 分0x721927319 A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当 x=4 时， y=7,z=1
10、； 当 x=5 时，y= 4,z = 3 ； 当 x=6 时，y=1,z= 5. 4 分（2）W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= 600x+19300当 x = 4 时，W 最大，W 最大值= 604+19300=16900（元） 答略. 4 分16（本小题满分 18 分）已知：矩形 ABCD， （字母顺序如图）的边长 AB=3， AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系 xOy 中，使 AB 在 x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线 y = x1 经过这两个顶点中的一个.23（1）求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标；（2）以 AB 为直径作M
11、，经过 A、B 两点的抛物线，y = ax 2bxc 的顶点是 P 点. 若点 P 位于M 外侧且在矩形 ABCD 内部，求 a 的取值范围； 过点 C 作M 的切线交 AD 于 F 点，当 PFAB 时，试判断抛物线与 y 轴的交点湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明5Q 是位于直线 y = x1 的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 32解：(1)如图，建立平面直有坐标系，矩形 ABCD 中，AB= 3，AD =2，设 A(m 0)（ m 0 ), 则有 B(m3 0) ；C(m 3 2), D(m 2);若 C 点过 y = x1；则 2= (m3)1, 22m =
12、 1 与 m0 不合； C 点不过 y= x1；2若点 D 过 y= x1，则 2= m1, m=2, 33A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5 分（2）M 以 AB 为直径，M(3.5 0)，由于 y = ax2bxc 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点， 2 分045aba710y = ax 27ax 10a( 也可得：y= a(x2)(x5)= a(x 27x10) = ax27ax 10a ) y = a(x )2 a； 抛物线顶点 P( , a) 794794顶点同时在M 内和在矩形 ABCD 内部, a 2, a . 3 分329832 设切
13、线 CF 与M 相切于 Q，交 AD 于 F，设 AF = n, n0；AD、BC、CF 均为M 切线，CF= n2, DF=2n; 在 RtDCF 中，DF 2DC 2=CF2；3 2(2n) 2=(n2) 2, n= , F(2, )98当 PFAB 时，P 点纵坐标为 ； a = ，a = ; 49812湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明6抛物线的解析式为：y= x2 x5 3 分17抛物线与 y 轴的交点为 Q（0，5） ，又直线 y = x1 与 y 轴交点（ 0，1） ；32Q 在直线 y= x1 下方. 3 分32高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有 6
14、小题，每小题 5 分，共 30 分）1D 2D 3A 4C 5D 6B 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）7 . 82. 9 y = x2 x + . 2 15301020. 11( ,2). 3412(1) 圆 的半径 ； (2)圆 的半径 ( 1 )n 1 a .2Ca)1(kC2长郡中学 2009 理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）1函数 y 图象的大致形状是 （ ）1xA B C D2小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A
15、、 B、 C、 D、1639333满足不等式 的最大整数 n 等于 （ ）025n（A）8 （B）9 （C）10 （D）114甲、乙两车分别从 A，B 两车站同时开出相向而行，相遇后甲驶 1 小时到达 B 站，乙再驶 4 小时到达 A 站. 那么，甲车速是乙车速的 （yxOyxOyxOyxO湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明7（A）4 倍 （B）3 倍 （C）2 倍 （D）1.5 倍5图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为 2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）86如图，AB，CD 分别是O 的直径和弦，AD，BC 相交于点E，AEC=
16、 ，则CDE 与ABE 的面积比为 （ ）（A）cos （B）sin （C）cos 2 （D）sin 27两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为 a，奶油杯里的咖啡量为 b，那么 a 和 b 的大小为 （ ）（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关abab8设 A，B，C 是三角形的三个内角，满足 ，这个三角形是 BCA23,5（ ）（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 用数字 1，2，3，4，5，6，7，8
17、不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1=9=8=610如图，正三角形与正六边形的边长分别为 2 和 1，正六边形的顶点 O 是正三角形的中心，则四边形 OABC 的面积等于 _ .11计算： = _ . 62312五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛 1 场，并且只比赛一场） ，当赛程进行到某天时，A 队已赛了 4 场，B 队已赛了 3 场，C 队已赛了 2 场，D 队已赛了 1 场，那么到这天为止一共已经赛了 _ 场，E 队比赛了 _ 场.13已知AOB=30,C 是射线 OB 上的一点，且 OC=4，若以 C 为圆心，半径为 r 的圆与射线 OA 有两个不同的交点，则
18、 r 的取值范围是_14如图，ABC 为等腰直角三角形，若AD= AC，CE= BC，则1 _ 231（填“” 、 “b）又 a、b 是方程的两根 (a+b) 2-2ab=2525041)()(22bam(m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0.得 m1=8 m2=-4 经检验 m=-4 不合舍去m=8 x 2-7x+12=0 x1=3 x2=4 a=4，b=3 (2) 以 1 厘米/秒的速度沿 BC 所在直线向左移动。CBAx 秒后 BB=x 则 BC=4-xCMAC BCMBCA M )4(3x 即)4(21xySCB 2)4(83xyy= (0 x 4)638x当
19、 y= 时 = x1=3 x2=5(不合舍去)2)4(83经过 3 秒后重叠部分的面积等于 平方厘米。82011 年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷（初试）考生注意：本试卷全卷共 28 小题，分值 100 分，将答案写在答题卡上，考试时间 90 分钟。一、本大题共 5 小题，每小题 2 分，满分 10 分。1. 把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析2yx式为 。2. 函数 中，自变量 的取值范围是 。31xx3.已知 ,则代数式 的值为 。y214y4. 若 ， ， ， 则 的值为 。 （用含1am21a32201a湖南省四大名校自主招生考试数学试题
20、 段中明17的代数式表示）m5. 如图，等腰梯形 ABCD 中， AB DC,BE AD, 梯形 ABCD的周长为 26， DE=4，则 BEC 的周长为 。二、本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。6. 双曲线 、 在第一象限的图像如图， ，1y2 14yx过 上的任意一点 ，作 轴的平行线交 于 ，Ax2B交 轴于 ，若 ，则 的解析式是 。yC1OBS2y7. 若 能分解为两个一次因式的积，则整数 的值是662kxx k_。8. 若实数 满足 ，则 的最小值是 ab， 2127ab。9. 如图，边长为 1 的正方形 绕点 A 逆时针旋转 到正方形BCD30，则图中阴影部分
21、的面积为 。ABCD10. 一青蛙在如图 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的8格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为 ，青蛙从点 开始连续5A跳六次正好跳回到点 ，则所构成的封闭A图形的面积的最大值是 。11. 如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去若第一个正方形边长为，则第 个正方形的面积是 。nA12.如图，直线 过正方形 的顶点 ，点 到直线 的距离分别lBCDC、 l是 1 和 2，则正方形的边长是 。13.如图，小亮从 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 ，再沿直线前A30进
22、10 米，又向左转 ，照这样走下去，他第一次回到出发地 点30 A时，一共走了 米。14. 化简 的结果是 。512315. 计算： + + + 12314312065206。三、本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。ABCDA3030BCDl1 2湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明18ABCEFO16. 汽车从甲地开往乙地，每小时行 千米， 小时可以到达，如果每小时多行驶 千米，1ut 2u那么可以提前达到的小时数是 。17. 已知关于 的不等式组 恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是 。x203ax18.已知 yzxyzxzyzyz 2121,6,122则。19.
23、 若 ABC 的三条中线长为 3、4、5，则 S ABC为_ _20. 若直线 与直线 的交点坐标是（ ， ） ，则10732yx 8975437yxab的值是 204ba四、本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分21. 函数 y 的最小值是_2248xx22. 如图，以 RtABC 的斜边 BC 为一边在ABC 的同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为 O，连结 AO，如果 AB=4， AO= ，那么 AC 的长等26于 。23.设 i=1,2,3,.,n, 且 0 b B、ab C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关 4若 D 是ABC 的边 AB 上的一点，ADC=BC
24、A，AC=6，DB=5，ABC 的面积是 S，则BCD 的面积是 （ ）A、 B、 C、 D、S53S74S95S165如图，AEAB 且 AE=AB，BCCD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ） A、50 B、62 C、65 D、686如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为 b，数对（ a， b）所有可能的个数为 n，其中 a+b 恰为偶数的不同数对的参数为 m，则 m/n 等于 （ ）A、 B、 C、 D、21
25、61125437如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点，A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边 （ ） A、AB 上 B、BC 上 C、CD 上 D、DA 上8已知实数 a 满足 ，那么 的值是（ ）|206|207aa206A、2005 B、2006 C、2007 D、2008二、填空题：(本题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。)9小明同学买了一包弹球，其中 是绿色的， 是黄色的，余下的 是蓝色的。如果有14181512 个蓝色的弹球，那么，他总共买了（ ）个弹球10.已
26、知点 A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点 P 使AOP 为等腰三角形.则湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明21符合条件的点 P 共有（ ）个. 11不论 m 取任何实数，抛物线 y=x 2+2mx+m2+m-1 的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是（ ） 12将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( )13在梯形 ABCD 中，ABCD，ACBD 相交于点 O，若 AC=5，BD=12，中位线
27、长为 ，213AOB 的面积为 S1，COD 的面积为 S2，则 =（ ）21S14已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k，则 k 的最小值为（ ）15已知 x、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x 2y+xy2=66，则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4=（ ）16如图 5，已知在圆 O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分 别在半径 OM，OP 以及圆 O 上，并且POM=45，则 AB 的长为（ ）三、解答题：(本题有 2 小题,每小题 10 分，满分 20 分。)17甲、乙两班同
28、时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训，甲班学生步行速度为 4km/h，乙班学生步行速度为 5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为 20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？18如图，已知矩形 ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P 在 CD 上移动，AP 与 DM 交于点E，PN 交 CM 于点 F，设四边形 MEPF 的面积为 S，求 S 的是大值. FNMPDECA B湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明222011 年雅礼中学自主招生考试数
29、学试卷一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）1飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示如果记 6 的对面的数字为 a，2 的对面的数字为b，那么 a+b 的为（ ）A11 B7 C8 D32如图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象（收支差额=车票收入支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格下面给出四个图象（如图所示）则（ ）A反映了建议（2） ， 反映了建议（1） B反映了建议（1） ，反映
30、了建议（2） C反映了建议（1） ，反映了建议（2） D反映了建议（1） ，反映了建议（2）湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明233已知函数 y=3（xm） （xn） ，并且 a，b 是方程 3（xm） （x n）=0 的两个根，则实数 m，n，a， b 的大小关系可能是（ ）Amnba B manb Ca mbnDam nb4记 Sn=a1+a2+an，令 ，称 Tn 为 a1，a 2，a n 这列数的“理想数” 已知 a1，a 2，a 500 的“理想数”为 2004，那么 8，a 1，a 2，a 500 的“ 理想数” 为（ ）A2004 B2006 C2008 D20105以半
31、圆中的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D，若 ，且 AB=10，则 CB 的长为（ ）A B C D46某汽车维修公司的维修点环形分布如图公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件各 50 件在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61 件，但调整只能在相邻维修点之间进行那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n）为（ ）A15 B16 C17 D18二、填空题（共 7 小题，每小题 6 分，满分 42 分）7若x表示不超过 x 的最大整数（如 等） ，则
32、= _ 8在ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE 交于点F，若 SABC=3，则四边形 DCEF 的面积为 _ 湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明249有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码 1、2、3，现任意抽取 3 面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 _ 10已知抛物线 经过点 A（4，0） 设点 C（1，3） ，请在抛物线的对称轴上确定一点 D，使得|AD CD|的值最大，则 D 点的坐标为 _ 11三角形纸片内有 100 个点，连同三角形的顶点共 103 个点，其中任意三点都不共线现以这些点为顶点作三
33、角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为 _ 12如图，已知点（1，3）在函数 的图象上正方形 ABCD 的边 BC 在 x轴上，点 E 是对角线 BD 的中点，函数 的图象又经过 A、E 两点，则点 E的横坐标为 _ 13按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算若 x=5，则运算进行 _ 次才停止；若运算进行了 5 次才停止，则 x 的取值范围是 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分）14如图，在 RtABC 中，斜边 AB=5 厘米，BC=a 厘米，AC=b 厘米，ab，且 a、b 是方程 x2（m 1）x+m+4=0 的两根，湖南
34、省四大名校自主招生考试数学试题 段中明25（1）求 a 和 b 的值；（2）若ABC与ABC 开始时完全重合，然后让 ABC 固定不动，将AB C沿 BC 所在的直线向左移动 x 厘米设ABC与ABC 有重叠部分，其面积为 y 平方厘米，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；若重叠部分的面积等于 平方厘米，求 x 的值15 （2006宁波）已知 O 过点 D（4，3） ，点 H 与点 D 关于 y 轴对称，过 H 作O 的切线交 y 轴于点 A（如图 1） （1）求O 半径；（2）sin HAO 的值；（3）如图 2，设O 与 y 轴正半轴交点 P，点 E、F 是线段 OP
35、 上的动点（与 P 点不重合） ，连接并延长 DE，DF 交O 于点 B，C，直线 BC 交 y 轴于点 G，若DEF 是以 EF 为底的等腰三角形，试探索 sinCGO 的大小怎样变化？请说明理由16青海玉树发生 7.1 级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地 30 千米的 A 镇，二分队因疲劳可在营地休息 a（0a 3）小时再往 A 镇参加救灾一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用 1 小时打通道路已知一分队的行进速度为 b 千米/时，二
36、分队的行进速度为（4+a）千米/时（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到 A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若 b=4 千米/时，二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几小时？17如图 1、2 是两个相似比为 1： 的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明26（1）在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E，F，如图 4求证：AE 2+BF2=EF2；（2）若在图 3 中，绕点 C 旋转小直角三角形，使它的斜边和 C
37、D 延长线分别与 AB 交于点E、F，如图 5，此时结论 AE2+BF2=EF2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图 6，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，满足CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，AE 、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N，试问线段BM、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由18定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向其中大小相等，方向相同的向量叫做
38、相等向量如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出 8 个不同的向量： 、 、 、 、 、 、 、 （由于 和 是相等向量，因此只算一个） （1）作两个相邻的正方形（如图一） 以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为 f（2） ，试求 f（2）的值；（2）作 n 个相邻的正方形（如图二） “一字型”排开以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为 f（n） ，试求 f（n）的值；湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明27（3）作 23 个相邻的正方形（如图三）排开以其中的一个顶点为起点，另
39、一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为 f（23） ，试求 f（23）的值；（4）作 mn 个相邻的正方形（如图四）排开以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为 f（mn） ，试求 f（mn）的值2011 年湖南省长沙市雅礼中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）1飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示如果记 6 的对面的数字为 a，2 的对面的数字为 b，那么a+b 的为（ ）A11 B7 C8 D3分析：由图一和图二可
40、看出看出 1 的相对面是 5；再由图二和图三可看出看出 3 的相对面是 6，从而 2 的相对面是 4湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明28解答：解：从 3 个小立方体上的数可知，与写有数字 1 的面相邻的面上数字是 2，3，4，6，所以数字 1 面对数字 5，同理，立方体面上数字 3 对 6故立方体面上数字 2 对 4则 a=3，b=4，那么 a+b=3+4=7故选 B2如图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象（收支差额=车票收入支出费用）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格下
41、面给出四个图象（如图所示）则（ ）A反映了建议（2） ， 反映了建议（1） B反映了建议（1） ，反映了建议（2） C反映了建议（1） ，反映了建议（2） D反映了建议（1） ，反映了建议（2）分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（1）不改变车票价格，减少支出费用，则收支差额变大，解答：解：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是 y 增大，车票价格不变，即平行于原图象，反映了建议（ 1） ，建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，反映了建议（ 2） 故选 B3已知函数 y=3（xm） （xn） ，并且 a，
42、b 是方程 3（xm） （x n）=0 的两个根，则实数m，n，a，b 的大小关系可能是（ ）Amnba Bm anb Ca mbn Damnb湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明29分析：首先把方程化为一般形式，由于 a，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b 之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断解答：解：由 3（x m） （xn） =0 变形得（x m） （xn）=3 ，xm 0 xn0 或 xm0 x n0，x m xn 或 xm xn a b 是方程的两个根，将 a b 代入，得：a m an，bm bn 或 am an，bm bn，综合一下，只
43、有 D 可能成立故选 D4记 Sn=a1+a2+an，令 ，称 Tn 为 a1，a 2，a n 这列数的“ 理想数”已知 a1，a 2，a 500 的“理想数” 为 2004，那么 8，a 1， a2，a 500 的“理想数”为（ ）A2004 B2006 C2008 D2010分析：本题需先根据 得出 nTn=（S 1+S2+Sn） ，再根据a1，a 2，a 500 的“理想数”为 2004，得出 T500 的值，再设出新的理想数为 Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果解答：解：nTn=（S 1+S2+Sn）T500=2004设新的理想数为 Tx501Tx=8501+500T500Tx=（8501+500T 500） 501=8+5004 =2008 故选 C5以半圆中的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D，若，且 AB=10，则 CB 的长为（ ）A B C D4分析：作 AB 关于直线 CB 的对称线段 AB，交半圆于 A，连接 AC、CA ，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答湖南省四大名校自主招生考试数学试题 段中明30解答：解：如图，若 ，且 AB=10，AD=4，BD=6，作 AB 关于直线 BC 的对称线段 AB，交半圆于 D，连接 AC
