1、楚雄师范学院2013 年数学建模培训第一次预赛论文题 目 分油最优化模型 姓 名 系（院） 数学系 专 业 信息与计算科学 2013 年 5 月 14 日分油最优化模型【摘要】 本文主要是针对分油问题建立动态规划模型，从特殊的分油问题利用图解法求出决策方案，最后用剩余类知识将其推广到一般的模型。【关键字】 线性规划 图表显像法 作图法 递归作图一、问题重述有一个人用装 10 斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买 5 斤，但是没有秤，只有二只空瓶，一个能装 7 斤油，另一个能装 3 斤油。试建立模型分析应如何用这 3 个瓶把 10 斤油分成两份各为 5 斤的油。二、问题
2、分析这是韩信分油法，首先将上述的问题表述为数学语言：现有三个无刻度的容器A、B 、C ，容量分别为 10、7、3斤。容器A中装满10斤油，B、C均空，如何利用三个容器将10斤油二等分？ 一般地，我们经过一番逻辑思索,逐项列举的图解法，可以得出其结果。但是当容器A、B、 C容量很大时，这种逻辑方法就显得非常吃力。 因此对于这个分油问题，我们将其进行推广，记三个容器A 、B 、C的容量分别为a、b、 c斤， ；现容器 A中装满a升油，B、C 均空。如何利用三个容器将a升油二等分? 对于这个问题，我应用数学剩余类知识构造出数学模型，提出一种规格化的方法进行求解。三、问题假设1、假设在每次倒油时都没有
3、油遗失；2、假设三个容器是干净没有污秽的；2、假设 A、B、C 三个容器没有破损；3、假设在进行上述活动时没有意外发生。四、符号说明：表示容器*向容器*倒入油：B 中的油量kx：C 中的油量y：第 次倒油时， B 容器内的油改变量ku：第 次倒油时， C 容器内的油改变量vD：允许决策集合五、模型的建立与求解1、基本问题解决基于问题，我们通过逻辑推理，用最基本方法：将一容器内的油向另外的容器中倾倒的方法，得出下面两种分油方法（方法 1 和方法 2） ，并运用动态规划模型的思想列出表格，最终得出结果。方法 1各容器油量的变化过程如下操作顺序 A（斤） B(斤） C（斤）A 10 0 0AB 3
4、7 0BC 3 4 3CA 6 4 0BC 6 1 3CA 9 1 0BC 9 0 1AB 2 7 1BC 2 5 3方法 2各容器油量的变化过程如下操作顺序 A（斤） B(斤） C（斤）A 10 0 0AC 7 0 0CB 7 3 0AC 4 3 3CB 4 6 0AC 1 6 3CB 1 7 2BA 8 0 2CB 8 2 0AC 5 2 32.模型构成 分油问题可看作一个多步决策问题，记第 倒油时，B 中的油量k为 ，C 中的油量为 ，将二维向量 定义为状态，我们用序数kxky),(kkyxs组 的变化来表示整个倒油过程，集合),(y30,7 yxS（1）称为状态集合，由于每次都以为着摸
5、一个容器被灌满或者被倒空，所以允许状态集合为 7,02;7,01;70,370, xyxyxyxyxS（2）记 次倒油时， B 容器内的油改变量为 ，C 内油的改变量为 ，将二维向量k kukv定义为决策，则允许决策集合为 D，由各容器的的容量可知),(kkvud3,7D（3）状态变化规律是kkdS1（4）（4）式称为状态转移律，则制定分油方案归结为如下的多步决策问题：求决策 ，使状态 按照状态转移律（4） ，由初始状态DkSk)0,(s经有限步 n 到状态 。)0,5(ns3.模型求解 我们可以通过编写程序，利用计算机进行求解，也可以用图解法来处理这个问题，如图（1）所示，所有的操作应该在举
6、行 OABC 的界面上进行，决策变量 沿方格线左右平移 7 格表示由 B 向 A 倒空油或者 A 向 B 倒满kd油； 沿方格上下平移 3 格，表示由 A 向 C 倒空油或者 C 向 A 倒满油； 沿k kd方格线左上方 移过 k 行，表示 B 向 C 倒 k 斤油； 沿方格右下方 移过15 kd45k 行，表示 C 向 B 倒 k 斤油；寻求决策方案的过程即是在上述规定下，将坐标点从（0,0）移至（0,5）的过程。根据图（1）这个模型，我们还可以很快的找到问题的另外一组解，如图（2） 。3210 1 2 3 4 5 6 7ABC图（1） ，分油问题方案 13210 1 2 3 4 5 6 7
7、ABC图（2） ，分油问题方案 24.结果分析 将图 1，图 2 画在同一坐标轴上，如图 3（虚线为图 1 方案，实线为图 2 方案） ，可看到 X 轴上坐标 1,2,3,4,5,6,7 都曾被箭头所指，从而可知，利用这三个容器可分出 1,2,3,4,5,6,7,斤油。这里并不要求 A 的容量一定是 10 斤。3210 1 2 3 4 5 6 7ABC图（3） ，分油结果5.模型评价与推广 对于这个分油问题，我们可拓展思路，提出疑问，即 3 个容器 A,B.C 的容量分别为 斤， ；现容器 A 中装满 斤油，B,C 为cba,ca空，如何利用容器将 斤油二等分？当 c=1 时，自然可以将油分出 1 至 b 斤；当 ，时我们可以利用上述的1图解法，对问题进行求解，也可以将油分出 1 至 b 斤。参考文献【1】数学建模教育与国际数学建模竞赛 工科数学专辑。【2】数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987 年第一版，1993 年第二版，2003 年第三版；第一版在 1992 年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获“ 全国优秀教材奖“)【3】数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，(1989)数学模型选谈 (走向数学从书) ，华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社；(1991) 【4】数学建模-方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社(1993)
