1、最优化模型计算LINGO软件与应用讲座,东南大学数学系 殷 翔,第二讲 最优化问题的LINGO建模与求解,第三讲 LINGO软件与外部文件间的数据传递,第四讲 应用LINGO软件求解数学建模问题,第一讲 最优化模型与LINGO入门,教材 (Text Book)LINGO和Excel在数学建模中的应用. 袁新生等编著. 科学出版社,参考书目 (Reference) LINGO用户指南(LINGO8.0的帮助文档) 最优化模型与实验. 朱德通编著. 同济大学出版社 Optimization Modeling with LINGO (Sixth Edition). LINDO Systems, In
2、c.() Applications of optimization with Xpress-MP. Dash Optimization Ltd.() 运筹学. 刁在筠等编著. 高等教育出版社 新编运筹学教程. 杨文鹏等编著. 陕西科学技术出版社,第一讲 最优化模型与LINGO入门,最优化问题的数学模型,LINDO公司的主要软件产品及功能简介,LINGO软件使用简介,LINGO常用函数,第一讲 最优化模型与LINGO入门,运筹学，即最优化理论，或在有的领域被称为管理科学，是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性学科。它主要解决最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。主要研
3、究方法是定量化、系统化和模型化方法，特别是运用各种数学模型和技术来解决问题。,由于实际问题的规模一般都很大，即使建立了数学模型，找到了求解方法，但面对庞大的计算量也只能望而却步。“工欲善其事，必先利其器”，一个方便而强大的求解最优化问题软件是必不可少的。LINGO优化软件包就是一个理想的软件工具。,最优化模型,实际问题的最优化模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,数学规划,线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP),纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP),整数规划(IP),0-1整数规划 一般整数规划,连续规划,第一讲 最优化模型与LINGO入门,LIN
4、DO 公司软件产品简要介绍,美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http:/,LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V10.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V5.0) Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V9.0),演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版 （求解问题规模和选件不同）
5、,第一讲 最优化模型与LINGO入门,LINGO软件能求解的优化模型,LINGO,LINDO,最优化模型,线性规划 (LP),非线性规划 (NLP),二次规划 (QP),连续优化问题,整数规划(IP),第一讲 最优化模型与LINGO入门,LINGO软件使用简介,例1：奶制品加工计划,50桶牛奶、,时间480小时、,加工至多100公斤A1,问题1：制订生产计划，使每天获利最大？,问题2：若市场有35元1桶牛奶，是否购买？每天最多 买多少?,问题3：如聘用临时工，其工资最多是每小时几元?,问题4：A1利润改为30元/公斤，是否需调整计划？,每天：,第一讲 最优化模型与LINGO入门,x1桶牛奶生产
6、A1,x2桶牛奶生产A2,获利 243x1,获利 164 x2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,每天获利,约束条件,非负约束,线性规划模型(LP),分析：首先考虑问题1，建立数学规划模型,第一讲 最优化模型与LINGO入门,Global optimal solution found at iteration: 4Objectivevalue: 3360.000Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1
7、.0000002 0.000000 48.000003 0.000000 2.0000004 40.00000 0.000000,max=72*x1+64*x2; x1+x2=50; 12*x1+8*x2=480; 3*x1=100;,第一讲 最优化模型与LINGO入门,打开LINGO8.0，在模型窗口输入LINGO程序,所有的决策变量均默认为非负,目标函数用max=或min=表示,每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有多个语句，语句可以跨行，注释语句以“！”开头,LINGO模型以语句“MODEL：”开头，“END”结束。（可略）,LINGO模型默认的文件格式为*.lg4，其它还有文本格式*
8、.lng,点击工具条上的按钮 ，执行程序，得到结果：,4次迭代后得到全局最优解,最优目标值为3360,最优解：20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2,“Slack or Surplus”表示松驰变量值，即约束条件中的资源剩余量。资源剩余为零的约束为紧约束（有效约束）,第一讲 最优化模型与LINGO入门,“Reduced Cost”表示变量在最优单纯形表中的判别数（检验数），表示当变量单位变化时, 目标值的变化量,Global optimal solution found at iteration: 4Objectivevalue: 3360.000Variable Value Reduced C
9、ostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 48.000003 0.000000 2.0000004 40.00000 0.000000,基变量的Reduced Cost值为0；非基变量xj的Reduced Cost值表示当该非基变量xj 增加一个单位时目标函数的减少量( max型问题),Global optimal solution found at iteration: 4Objectivevalue: 3360.000Vari
10、able Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 48.000003 0.000000 2.0000004 40.00000 0.000000,“Dual Price”（对偶价格）表示在最优解下，某资源增加一个单位时，目标值的增量 （也称影子价格）,每个约束都有一对偶价格，非紧约束的对偶价格为0；紧约束（资源无剩余）的对偶价格非0，表示增加单位资源的最高出价,第一讲 最优化模型与LINGO入门,Ra
11、nges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 50.00000 10.00000 6.6666673 480.0000
12、 53.33333 80.000004 100.0000 INFINITY 40.00000,灵敏度分析,“Objective Coefficient Ranges”：约束条件不变，在最优解不变的条件下，目标系数允许变化的范围,x1系数范围(72-8=64,72+24=96),x2系数范围(64-16=48,64+8=72),“Righthand Side Ranges”：目标函数不变，在影子价格有意义（最优基不变）的条件下，约束右端允许变化的范围,至多增加10桶牛奶，或加工时间增加53小时,问题2：若1桶牛奶的市场价35元1桶牛奶的影子价格48 ，可以购买至多10桶（？）,问题3：临时工每小
13、时工资最多不超过1小时加工时间的影子价格2,问题4： A1利润改为30元/公斤，每桶牛奶生产A1的利润为30*3=9096，不调整计划,太好了！全交给LINGO去做吧！ 我现在需要考虑更重要的事！,第一讲 最优化模型与LINGO入门,目标函数与约束条件段集合段（SETS ENDSETS）数据段（DATA ENDDATA）初始段（INIT ENDINIT）,LINGO模型的构成：4个段,对于简单的模型，可以用上面方法直接输入LINGO模型。但是当问题规模较大或约束众多时，必须利用LINGO提供的建模语言，简单而有效表达模型。,注：线性问题不需要初始段,第一讲 最优化模型与LINGO入门,例2:
14、求有6个发点和8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。,第一讲 最优化模型与LINGO入门,分析：先建立该运输问题的数学模型,xij表示从第i个发点到第j个收点的货物运输量。,记cij表示从第i个发点到第j个收点的单位货物运价，ai表示第i个发点的最大供货量，dj表示第j个收点的需求量。,总运输费用最少,决策变量,目标函数,约束条件,各发点运出货物量不超过其产量,各收点收到货物量等于其销量,决策变量非负限制,各产、销点的产量和销量约束，决策变量限制,线性规划模型,第一讲 最优化模型与LINGO入门,model: !6发点8收点运输问题; sets: ! 集合段;wh/w1w6/: ai
15、;vd/v1v8/: dj;links(wh,vd): C, X; endsets min=sum(links: C*X); !目标函数; for(vd(J):sum(wh(I): X(I,J)=dj(J); !需求约束; for(wh(I):sum(vd(J): X(I,J)=ai(I); !产量约束; data: ! 数据段;ai=60 55 51 43 41 52;dj=35 37 22 32 41 32 43 38;C=6 2 6 7 4 2 9 54 9 5 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8
16、 1 4 3; enddata end,集合段（Sets-endsets）,数据段（data-enddata）,目标函数与约束条件段,第一讲 最优化模型与LINGO入门,sets: ! 集合段;wh/w1w6/: ai;vd/v1v8/: dj;links(wh,vd): C, X; endsets,data: ! 数据段;ai=60 55 51 43 41 52;dj=35 37 22 32 41 32 43 38;C=6 2 6 7 4 2 9 54 9 5 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1
17、4 3; enddata,min=sum(links: C*X); !目标函数; for(vd(J):sum(wh(I): X(I,J)=dj(J); !需求约束; for(wh(I):sum(vd(J): X(I,J)=ai(I); !产量约束;,集合要先定义、后使用,定义集合的名称、集合内成员（元素）、集合的属性（与集合结构相同的一维数组）,“”是特定省略号。集合links是以基本集合wh和vd为基础的派生集合，其属性C、X是二维数组,数据间可以用逗号或空格隔开,数据部分也可以指定一些标量变量值，称为参数,集合属性的右边输入一个值，将该属性所有成员都赋予这个值,用一个问号（?）取代数值，表
18、示该数据将在执行程序时通过对话框输入,同语句min=sum(links(I,J): C(I,J)*X(I,J);,sum是LINGO内部函数，作用是对某集合所有成员，求指定表达式的和； for是对某集合所有成员，分别生成一个约束表达式,sum和for可以嵌套使用,第一讲 最优化模型与LINGO入门,Global optimal solution found at iteration: 20Objective value: 664.0000Variable Value Reduced Cost X( W1, V1) 0.000000 5.000000X( W1, V2) 19.00000 0.0
19、00000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000X( W6, V8) 0.000000 3.000000,20次迭代后得到全局最优解,总费用最少为664,最优运输方案如下,最优解行数太多，略,第一讲 最优化模型与LINGO入门,LINGO提供的基本函数,LINGO有9种类型的函数：,一、基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符,二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数,三、金融函数：LINGO提供的两种金融函数,四、概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数,五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围,六、集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助,七、循
20、环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数,八、数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输出,九、辅助函数：各种杂类函数,第一讲 最优化模型与LINGO入门,一、基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符,算术运算符（对数值进行操作） 一元算术运算符： 取反函数二元运算符（5种）： 乘方 乘 除 加 减,逻辑运算符（在集循环函数的条件表达式中，以控制在函数中哪些集成员被包含、或被排斥。在创建稀疏集时，用于成员资格过滤器中 ） 逻辑运算符（种） ：#not# 否定该操作数的逻辑值，not是一个一元运算符#eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase
21、#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase#ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase#lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase#le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase#and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase#or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true,关系运算符（指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约
22、束条件 ）关系运算符（3种） ：= =,第一讲 最优化模型与LINGO入门,二、数学函数：包括三角函数和常规的数学函数,abs(x) 返回x的绝对值 sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制 cos(x) 返回x的余弦值 tan(x) 返回x的正切值 exp(x) 返回常数e的x次方 log(x) 返回x的自然对数 lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数 sign(x) 如果x=0时，返回不超过x的最大整数；当x0时，返回不低于x的最大整数。 smax(x1,x2,xn) 返回x1，x2，xn中的最大值 smin(x1,x2,xn) 返回x1，x2，xn中的最小值,第一讲 最优化模型
23、与LINGO入门,三、金融函数：LINGO提供的两种金融函数,fpa(I,n) 返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。 若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以fpa(I,n)算得。,fpa(I,n)的计算公式为：,fpl(I,n) 返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用。,fpl(I,n)的计算公式为：,fpa(I,n)与fpl(I,n)两个函数间的关系：,第一讲 最优化模型与LINGO入门,四、概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数,pbn(p,n,x) 二项分布的累积分布函数。当n、x不是整数时，用线性插值法进
24、行计算。 pcx(n,x) 自由度为n的2分布的累积分布函数。 peb(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。 pel(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。 pfd(n,d,x) 自由度为n和d的F分布的累积分布函数。 pfs(a,x,c) 当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。当c、x不是整数时，采用线性插值进行计算。 phg(pop,g,n,x) 超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g
25、是正品数。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。 ppl(a,x) Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。 pps(a,x) 均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。 psl(x) 单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。 psn(x) 标准正态分布的累积分布函数。 ptd(n,x) 自由度为n的t分布的累积分布函数。 qrand(seed) 产生服从(0,1)区间的拟随机数。qrand只允许在模型的数
26、据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个mn的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。 rand(seed) 返回0和1间的伪随机数，依赖给定种子。典型用法是U(I+1)=rand(U(I)。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。,第一讲 最优化模型与LINGO入门,五、变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围,变量界定函数（4种）实现对变量取值范围的附加限制： bin(x) 限制x为0或1 bnd(L,x,U) 限制LxU free(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数 gin(x) 限制x为整数,在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+。free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。,集操作函数、循环函数、数据输入输出函数，以及辅助函数将在以后的讲座中继续为大家介绍,
