1、2007 年山东高考数学理科 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项 （ 1）若 cos i sinz （ i 为虚数单位），则使 2 1z 的 值可能是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 （ 2）已知集合 11M， ， 11 242 xN x x Z，则 MN （ ） A 11， B 1 C 0 D 10， （ 3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A B C D （ 4）设 111 32a ， ， ，则使函数 ayx 的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为（
2、） A 1， 3 B 1 ， 1 C 1 ， 3 D 1 ， 1， 3 （ 5）函数 s i n 2 c o s 263y x x 的最小正周期和最大值分别为（ ） A ， 1 B ， 2 C 2 ， 1 D 2 ， 2 （ 6 ） 给 出 下 列 三 个 等 式 ： ( ) ( ) ( )f xy f x f y， ( ) ( ) ( )f x y f x f y ， ( ) ( )() 1 ( ) ( )f x f yf x y f x f y ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ( ) 3xfx B ( ) sinf x x C 2( ) logf x x D ( ) ta
3、nf x x （ 7）命题“ 对任意的 xR ， 3210xx ”的否定是（ ） A不存在 xR ， 3210xx 正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥 B存在 xR ， 3210xx C存在 xR ， 3210xx D对 任意的 xR ， 3210xx （ 8）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于15 秒； 第六组，成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为
4、x ，成绩大于等于 15秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为（ ） A 0.9， 35 B 0.9， 45 C 0.1， 35 D 0.1， 45 （ 9）下列各小题中， p 是 q 的充要条件的是（ ） p ： 2m 或 6m ； q ： 2 3y x m x m 有两个不同的零点 ():1()fxp fx ； : ( )q y f x 是偶函数 : cos cosp ； : tan tanq :p A B A ； : UUq B A痧 A B C D （ 10） 阅读右边的程序框图，若输入的 n 是 100，则输出的变量S 和 T 的值依次
5、是（ ） A 2500， 2500 B 2550， 2550 C 2500， 2550 D 2550， 2500 （ 11）在直角 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A 2AC AC AB B 2BC BA BC C 2AB AC CD D 22( ) ( )A C A B B A B CCDAB （ 12）位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 12 ，质点 P 移动五次后位 于点 (23)， 的概率是（ ） 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率 /组距 0.
6、36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 开始 输入 n 22x 1nn T T n 1nn 结束 输出 ST， s s n 否 00ST， A 212B 323 1C 2C 223 1C 2D 312231CC2第 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分答案须填在题中横线上 （ 13）设 O 是坐标原点， F 是抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点， A 是抛物线上的一点， FA与 x 轴正向的夹角为 60 ，则 OA 为 （ 14）设 D 是不等式组2 1023041xyxyxy ， ， ，表示的平面区域，则 D 中的点 ()P
7、x y， 到直线10xy 距离的最大值是 （ 15）与直线 20xy 和曲线 22 1 2 1 2 5 4 0x y x y 都相切的半径最小的圆的标准方程是 （ 16 ）函数 log ( 3) 1ayx ( 0 1)aa且， 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线10mx ny 上，其中 0mn ，则 12mn 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 设数列 na 满足 211 2 33 3 3 3n n na a a a ， a*N （ ）求数列 na 的通项； （ ）设n nnb a，求数列 nb
8、 的前 n 项和 nS （ 18）（本小题满分 12 分） 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程 2 0x bx c 实根的个数（重根按一个计） （ ）求方程 2 0x bx c 有实根的概率； （ ）求 的分布列和数学期望； （ ）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 2 0x bx c 有实根的概率 （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知 1 22D C D D A D A B ， AD DC ，AB DC （ ）设 E 是 DC 的中点，求证： 1DE 平面 11ABD ； （ ）
9、求二面角 11A BD C的余 弦值 （ 20）（本小题满分 12 分） 如图，甲船以每小时 302 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 1A 处时，乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 1B 处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 2B 处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？ （ 21）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ，最小值为 1 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若直线 :l y kx
10、 m与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ AB， 不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 （ 22）（本小题满分 14 分） 设函数 2( ) ln ( 1)f x x b x ，其中 0b （ ）当 12b 时，判断函数 ()fx在定义域上的单调性； （ ）求函数 ()fx的极值点； （ ）证明对任意的正整数 n ，不等式231 1 1ln 1n n n 都成立 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） B C D A 1A 1D 1C 1B E 北 1B 2B 1A 2A 120 105 乙 甲 理科数学参考答案 第
11、 卷 一、选择题 （ 1） D （ 2） B （ 3） D （ 4） A （ 5） A （ 6） B （ 7） C （ 8） A （ 9） D （ 10） D （ 11） C （ 12） B 第 卷 二、填空题 （ 13） 212 p （ 14） 42 （ 15） 22( 2 ) ( 2 ) 2xy （ 16） 8 三、解答题 （ 17）（本小题满分 12 分） 解：（ ） 211 2 33 3 3 3n n na a a a ， 当 2n 时， 221 2 3 1 13 3 3 3n n na a a a - 得 1 13 3nna ， 13n na 在 中，令 1n ，得1 13a 13n
12、 na （ ）n nnb a， 3nnbn 233 2 3 3 3 3 nnSn ， 2 3 4 13 3 2 3 3 3 3 nn - 得 1 2 32 3 ( 3 3 3 3 )nnnSn 即 1 3 (1 3 )23 13nnnSn ， 1( 2 1)3 344nn nS （ 18）（本小题满分 12 分） 解：（ ）由题意知：设基本事件空间为 ，记“方程 2 0x bx c 没有实根”为事件 A ，“方程 2 0x bx c 有且仅有一个实根”为事件 B ，“方程 2 0x bx c 有两个相异实数”为事件 C ，则 ( ) 1 2 6b c b c ， ， ， ， ， 2( ) 4
13、0 1 2 6A b c b c b c ， ， ， ， ， ， 2( ) 4 0 1 2 6B b c b c b c ， ， ， ， ， ， 2( ) 4 0 1 2 6C b c b c b c ， ， ， ， ， ， 所以 是的基本事件总数为 36 个， A 中的基本事件总数为 17 个， B 中的基本事件总数为 2个， C 中的基本事件总数为 17 个 又因为 BC， 是互斥事件， 故所求概率 2 1 7 1 9( ) ( ) 3 6 3 6 3 6P P B B C （ ）由题意， 的可能取值为 012， ， ，则 170 36P ， 11 18P ， 172 36P ， 故 的分
14、布列为： 0 1 2 P 1736 118 1736 所以 的数学 期望 1 7 1 1 70 1 2 13 6 1 8 3 6E （ ）记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 D ，“方程 2 0x bx c 有实数”为事件 E ，由上面分析得 11()36PD ， 7()36P D E ， ( ) 7() ( ) 1 1P D EP E D PD （ 19）（本小题满分 12 分） 解法一 ： （ ）连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形， 1A 1D 1C 1B G 11BE AD A D ，且 11BE AD A D ， 四边形 11ADEB 为平行四边形 11DE AB 又 1D
15、E 平面 1ABD ， 1AB 平面 1ABD ， 1DE 平面 1ABD （ ）以 D 为原点， 1DA DC DD， ， 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 1DA ，则 (000)D ， ， ， (100)A， ， ， (110)B， ， ， (022)C ， ， ， 1(102)A ， ， ， 1 (1 0 2)DA ， ， ， (110)DB ， ， ， 设 ()x y z ， ，n 为平面 1ABD 的一个法向量 由 1DAn ， DBn ， 得 200.xzxy ，取 1z ，则 ( 231)， ，n 又 2 (0 2 3)DC ， ，
16、 ， (110)DB ， ， ， 设 1 1 1()x y z ， ，m 为平面 1CBD 的一个法向量， 由 DCm ， DBm ， 得 11112 2 00.yzxy ， 取 1 1z ，则 (1 11)， ，m ， 设 m 与 n 的夹角为 a ，二面角 11A BD C为 ，显然 为锐角， 33c o s 393 mnmn 3cos 3， B C D A 1A 1D 1C 1B E z y x F M 即所求二面角 11A BD C的余弦为 33 解法二： （ ）以 D 为原点， 1DA DC DD， ， 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 D
17、A a ，由题意知： (000)D ， ， ， ( 00)Aa， ， ， ( 0)Ba a， ， ， (02 0)Ca， ， ， 1(02 2 )C a a， ， ， 1( 02 )A a a， ， ， 1(002 )Da， ， ，(0 0)Ea， ， 1 (0 2 )D E a a ， ， ， 1 ( 0 2 )DA a a ， ， ， ( 0)DB a a ， ， ， 又 ( 0 2 ) ( 0 ) ( 0 2 )a a a a a a ， ， ， ， ， ， 1D E DB DA 1DA DB ， 平面 1ABD ， 1DE 平面 1ABD ， 1DE 平面 1ABD （ ）取 DB 的
18、中点 F ， 1DC 的中点 M ，连结 1AF ， FM ， 由（ ）及题意得知： 022aaF， ， ， (0 )M a a， ， ， 1 222aaF A a ， ， 22aaF M a ， ， 1 2 ( 0 ) 022aaF A D B a a a ， ， ， ， ( 0 ) 022aaF M D B a a a ， ， ， ， 1FA DB， FM DB ， 1AFM 为所求二面角的平面角 111c o s F A F MA F M F A F M B C D A 1A 1D 1C 1B E x y z F M 22 2 2 23 2 622a a a aaaaa ， ， ， ，2
19、2222 3443332aa aa 所以二面角 11A BD C的余弦值为 33 解法三： （ ）证明：如解法一图，连结 1AD ， AE ， 设 11AD A D G ， AE BD F ，连结 GF ， 由题意知 G 是 1AD的中点，又 E 是 CD 的中点， 四边形 ABED 是平行四边形，故 F 是 AE 的中点， 在 1AED 中， 1GF DE ， 又 GF 平面 1ABD ， 1DE 平面 1ABD ， 1DE 平面 1ABD （ ）如图，在四边形 ABCD 中，设 AD a ， AB AD ， AD DC ， AB DC ， AD AB 故 2BD a ，由（ ）得 2 2
20、2 2 2 22B C B E E C a a a ， 2DC a ， 90DBC ，即 BD BC 又 1BD BB ， BD平面 11BCCB ，又 1BC 平面 11BCCB ， 1BD BC， 取 1DC 的中点 M ，连结 1AF ， FM ， B C D A 1A 1D 1C 1B E F M H 由题意知： 1FM BC ， FM BD 又 11AD AB ， 1AF BD 1AFM 为二面角 11A BD C的平面角 连结 1AM ，在 1AFM 中， 由题意知： 1 322AF a， 22111 1 62 2 2F M B C B C C C a ， 取 11DC 的中点 H
21、 ，连结 1AH ， HM ， 在 1Rt AHM 中， 1 2AH a ， HM a ， 1 3AM a 2 2 2111 1c o s 2A F F M A MA F M A F F M 2 2 293 32236222a a aaa33 二面角 11A BD C的余弦值为 33 （ 20）（本小题满分 12 分） 解法一：如图，连结 11AB ，由已知 22 10 2AB ， 12 203 0 2 1 0 260AA ， 1 2 2 1A A A B， 又 1 2 2 1 8 0 1 2 0 6 0A A B ， 1 2 2AAB 是等边三角形， 北 1B 2B 1A 2A 120 10
22、5 甲 乙 1 2 1 2 1 0 2A B A A ， 由已知， 1120AB ， 1 1 2 1 0 5 6 0 4 5B A B ， 在 1 2 1ABB 中，由余弦定理， 2 2 21 2 1 1 1 2 1 2 1 22 c o s 4 5B B A B A B A B A B 22 22 0 (1 0 2 ) 2 2 0 1 0 2 2 200 12 10 2BB 因此，乙船的速度的大小为 10 2 60 30 220 （海里 /小时） 答：乙船每小时航行 302 海里 解法二：如图，连结 21AB ，由已知 1220AB ，12 203 0 2 1 0 260AA ， 1 1 2
23、 105B A A ， c o s 1 0 5 c o s ( 4 5 6 0 ) c o s 4 5 c o s 6 0 s i n 4 5 s i n 6 0 2(1 3)4 ， s in 1 0 5 s in ( 4 5 6 0 ) s i n 4 5 c o s 6 0 c o s 4 5 s i n 6 0 2(1 3)4 在 2 1 1AAB 中，由余弦定理， 2 2 22 1 2 2 1 2 1 1 1 22 c o s 1 0 5A B A B A A A B A A 22 2 ( 1 3 )( 1 0 2 ) 2 0 2 1 0 2 2 0 4 北 1B 2B 1A 2A 1
24、20 105 乙 甲 100(4 2 3) 11 10(1 3 )AB 由正弦定理 111 2 1 1 1 2222 0 2 ( 1 3 ) 2s i n s i n 421 0 ( 1 3 )ABA A B B A AAB ， 1 2 1 45A A B ，即 1 2 1 6 0 4 5 1 5B A B ， 2 (1 3 )c o s 1 5 s i n 1 0 5 4 在 1 1 2BAB 中，由已知 12 10 2AB ，由余弦定理 ， 2 2 21 2 1 1 2 2 2 1 2 22 c o s 1 5B B A B A B A B A B 2 2 2 2 ( 1 3 )1 0 (
25、 1 3 ) ( 1 0 2 ) 2 1 0 ( 1 3 ) 1 0 2 4 200 12 10 2BB ， 乙船的速度的大小为 10 2 60 30 220 海里 /小时 答：乙船每小时航行 302 海里 （ 21）（本小题满分 12 分） 解：（ ）由题意设椭圆的标准方程为 22 1( 0 )xy abab ， 由已知得： 3ac ， 1ac， 2a， 1c ， 2 2 2 3b a c 椭圆的标准方程为 22143xy （ ）设 11()Ax y， ， 22()B x y， ， 联立 221.43y kx mxy ， 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 ( 3 ) 0k x m k x
26、 m ， 2 2 2 2 2 212 2212 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0 3 4 08344 ( 3 ) .34m k k m k mmkxxkmxxk ， 即 ， 则，又 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k ， 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右 顶 点 (20)D， ， 1AD BDkk ，即 12 122yyxx ， 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0y y x x x x ， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 4
27、03 4 3 4 3 4m k m m kk k k ， 229 1 6 4 0m m k k 解得： 1 2mk ， 2 27km ，且均满足 223 4 0km ， 当 1 2mk 时， l 的方程为 ( 2)y k x，直线过定点 (20)， ，与已知矛盾； 当2 27km 时， l 的方程为 27y k x，直线过定点 207， 所以，直线 l 过定点，定点坐标为 207， （ 22）（本小题满分 14 分） 解：（）由题意知， ()fx的定义域为 ( 1 ) ， ， 322( ) 2 11b x x bf x x xx 设 2( ) 2 2g x x x b ，其图象的对称轴为 1
28、( 1 )2x ， ， m a x 11() 22g x g b 当 12b 时，m ax 1( ) 02g x b ， 即 2( ) 2 3 0g x x x b 在 ( 1 ) ， 上恒成立， 当 ( 1 )x ， 时， ( ) 0fx ， 当 12b 时，函数 ()fx在定义域 ( 1 ) ， 上单调递增 （）由（）得，当 12b 时，函数 ()fx无极值点 12b 时，3122( ) 01xfx x 有两个相同的解 12x ， 11 2x ， 时， ( ) 0fx ， 12x ， 时， ( ) 0fx ， 12b 时，函数 ()fx在 ( 1 ) ， 上无极值点 当 12b 时， (
29、) 0fx 有两个不同解，1 1 1 22 bx ，2 1 1 22 bx ， 0b 时， 1 1 1 2 12 bx ， 2 1 1 2 02 bx ， 即 1 ( 1 )x ， ， 2 1x ， 0b时， ()fx ， ()fx随 x 的变化情况如下表： x 1( 1 )x， 1x 2()x ， ()fx 0 ()fx 极小值 由此表可知： 0b 时， ()fx有惟一极小值点1 1 1 22 bx ， 当 10 2b 时，1 1 1 2 12 bx ， 12 ( 1 )xx ， ， 此时， ()fx ， ()fx随 x 的变化情况如下表： x 1( 1 )x， 1x 12()xx， 1x
30、1()x ， ()fx 0 0 ()fx 极大值 极小值 由此表可知： 10 2b 时， ()fx 有一个极大值1 1 1 22 bx 和一个极小值点2 1 1 22 bx ； 综上所述： 0b 时， ()fx有惟一最小 值点 1 1 22 bx ； 10 2b 时， ()fx有一个极大值点 1 1 22 bx 和一个极小值点 1 1 2bx x ； 12b 时， ()fx无极值点 （）当 1b 时，函数 2( ) ln( 1)f x x x ， 令函数 2 2 2( ) ( ) l n ( 1 )h x x f x x x x ， 则 222 1 3 ( 1 )( ) 3 2 11xxh x x x xx 当 0x ， 时， ( ) 0fx ，所以函数 ()hx 在 0， 上单调递增， 又 (0) 0h (0 )x ， 时，恒有 ( ) (0) 0h x h，即 23ln( 1)x x x 恒成立 故当 (0 )x ， 时，有 23ln( 1)x x x 对任意正整数 n 取 1 (0 )x n ， ，则有231 1 1ln 1n n n 所以结论成立
